識(shí)得雙變量 且辨構(gòu)造法

韓長(zhǎng)峰 衛(wèi)小國(guó)

(1.安徽省阜陽(yáng)太和中學(xué) 236600; 2.山東省單縣第一中學(xué) 274300)

衛(wèi)小國(guó)(1979-)，男，漢，湖北武漢人，山東省單縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)教師，主要數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究、數(shù)學(xué)建模與自主招生試題研究.

一、常規(guī)的偏移問(wèn)題—消元構(gòu)造

例1 (2016年高考課標(biāo)Ⅰ卷理)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明：x1+x2<2.

解(1)a的取值范圍(0,+∞).

接下來(lái)證明：?x∈(-∞,1)g(x)-g(2-x)>0；也即要證?x∈(-∞,1),ex(2-x)-xe2-x>0.令h(x)=ex(2-x)-xe2-x.

則h′(x)=(ex-e2-x)(1-x)，易知當(dāng)x<1時(shí)，ex-e1-x<0.

于是，在(-∞,1)上，h(x)=ex(2-x)-xe2-x單調(diào)遞減且h(1)=0，即可證得.

評(píng)注解決函數(shù)不等式的證明問(wèn)題，思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.而極值偏移問(wèn)題，要另借對(duì)稱(chēng)和整體思想構(gòu)造函數(shù)；本質(zhì)上是將雙變量通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)一側(cè)的單調(diào)性研究.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時(shí)，x1+x2<0.

二、對(duì)數(shù)均值不等式——換元構(gòu)造

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

當(dāng)λ2≥1時(shí)，可見(jiàn)t∈(0,1)時(shí)，h′(t)>0，

所以h(t)在t∈(0,1)上單調(diào)增，又h(1)=0，則h(t)<0在t∈(0,1)恒成立，符合題意．

當(dāng)λ2<1時(shí)，可見(jiàn)t∈(0,λ2)時(shí)，h′(t)>0，t∈(λ2,1)時(shí)h′(t)<0,所以h(t)在t∈(0,1)上不能恒小于0，不符合題意，舍去．

綜上所述，λ≥1.

類(lèi)似的試題有: (2014年天津卷)設(shè)f(x)=x-aex.已知函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，且x1

三、絕對(duì)值類(lèi)雙變量—分離構(gòu)造

含絕對(duì)值型函數(shù)，常規(guī)是要分類(lèi)討論,而若與雙變量結(jié)合，通法顯然無(wú)能為力，只有充分利用函數(shù)的性質(zhì)，將絕對(duì)值“剝離”，為分離構(gòu)造提供條件.具體操作，且以下題為例進(jìn)行分析.

例3 (2017年山東濰坊市一月檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=x2-x,g(x)=lnx.

若a∈[e,3],?x1,x2∈[1,2](x1≠x2),

當(dāng)a∈[e,3]時(shí)，2a+1∈[2e+1,7]，故h(x)在[1,2]上單調(diào)遞減.

不妨設(shè)1≤x1h(x2).

當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，2x-2x2≤0，可知只需a∈[e,3]時(shí)， 3(2x-2x2)+x3-2x2+x+m≥0?x3-8x2+7x+m≥0,x∈[1,2].

不難求得m的取值范圍是[10,+∞).

評(píng)注絕對(duì)值的消除，是借函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行的，而后將x1,x2分列于不等式兩側(cè)，試題化為某一函數(shù)的單調(diào)性的論證與求參問(wèn)題.

類(lèi)似的試題有: ( 2016年皖西十校聯(lián)考)已知f(x)=(a+1)lnx+ax2+1; (2)當(dāng)a≤-2時(shí)求證：對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞)都有 |f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.

參考文獻(xiàn)：

[1]邢友寶.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2014(7)：19-22.

[2]藍(lán)云波,何洪標(biāo).活躍在各類(lèi)考試中的對(duì)數(shù)平均不等式[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué),2016(5)：22-25.