利用公式化通法解題

邢雅峰

(廣東省汕尾市海豐縣彭湃中學 516400)

由等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}的乘積構成的新數(shù)列{an·bn}的求和問題，稱之為“差比型”數(shù)列．求這類數(shù)列前n項的和時當然是“錯位相減法”，這種固定的求解模式學生易掌握，但對運算化簡能力要求較高計算量略大易出錯，那么有沒有一個通用結論公式，在計算上更快捷、更準確呢？經(jīng)過一番探索，有了如下公式化結論的發(fā)現(xiàn).

一、公式化結論的證明

證明由Sn=(k+b)q+(2k+b)q2+(3k+b)q3+…+(kn+b)qn，

①

所以qSn=(k+b)q2+(2k+b)q3+(3k+b)q4+…+(kn+b)qn+1.

②

①-②得： (1-q)Sn=(k+b)q-(kn+b)qn+1+k(q2+q3+q4+…+qn),

二、牛刀小試

例1 (2017年天津理)已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12,b3=a4-2a1，S11=11b4.

(1)求{an}和{bn}的通項公式；

(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和(n∈N*).

解析這里著重第二問.(1)an=3n-2,bn=2n.

(2)由(1)可得a2n=6n-2,b2n+1=22n-1,a2nb2n-1=(3n-1)×4n.

例2 (2017年山東文)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1+a2=6，a1·a2=a3.

(1)求數(shù)列{an}通項公式；

解析(1)可解得an=2n.

三、高考中書寫解題的規(guī)范格式(不失分)

例3 (2014年新課標Ⅰ文)已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.

(1)求{an}的通項公式.

以上是答案，那么高考如何答題才能既保證結果的正確性, 又得到過程分呢？我們只需在這步 (可以省去這步后面繁瑣的化簡整理)，

參考文獻：

[1]李秉權. 解密錯位相減法[J]. 中學數(shù)學研究(廣東)，2017(8):7-8.

[2]胡炯濤. 高中數(shù)學成功之路(特級教師導學叢書)[M].上海:上海交通大學出版社，1996.