向量在立體幾何中的應用研究

摘要：我們最早在初中階段就開始接觸向量，向量成為一種新的教學方法融入了數(shù)學的學習過程中，同時向量也是現(xiàn)代數(shù)學的一個典型的特征。通過學習向量的有關知識，讓我們能夠在解決立體幾何方面的問題更加的得心應手。在本文中，將就向量在立體幾何中的應用進行分析與研究。

關鍵詞：向量；立體幾何；聯(lián)系；應用

向量的引入能夠讓我們把立體幾何中較為抽象與晦澀難懂的問題轉變成較為容易理解的問題，成為了解決立體幾何問題的強有力的工具。初中所學的向量僅是其中的入門知識，通過初中的學習能夠為高中學習更深奧的向量知識，解決更難的立體幾何問題奠定了一定的基礎，而立體幾何是高中數(shù)學范疇內的核心內容，向量此時充當了轉換的媒介，只有學習好與向量有關的知識才能真正地學懂立體幾何。將向量充分應用才能使問題變得簡化，進而保證解題的步驟更加程序化，難度有所降低。

一、 向量與幾何問題的關系

在高中數(shù)學教材正式引入向量后，復數(shù)在高中數(shù)學中的作用便被逐漸代替。這足以說明與復數(shù)相比，向量的應用更為廣泛并且在高中數(shù)學中的作用更為重要。并且通過觀察學生的學習成績不難發(fā)現(xiàn)，向量的引入能夠降低學生學習立體幾何的難度，使學生的數(shù)學成績呈現(xiàn)出提高的趨勢。復數(shù)的弊端在于其僅能解決二維空間，即平面中的問題，而對解決空間立體幾何的問題則存在較多的局限性。向量則不同，平面向量可用于解決平面幾何問題，而空間向量則用于解決立體幾何問題。不僅如此，向量的有關知識及觀點不僅涉及數(shù)學這一學科，在物理學科及其分支學科都極具靈活性且應用廣泛，因此其在數(shù)學應用中更加得心應手。一位在國際享有盛譽的教育家曾說對于學習最好的刺激就是學生對其學習材料有興趣，單調的學習會導致學生大腦疲勞，進而降低學習的積極性?，F(xiàn)在的數(shù)學教材中都含有向量為主的知識，用向量替代復數(shù)能夠在教學過程中最大程度上激發(fā)學生的學習興趣，學習過程中不至于感到過于枯燥，還能有效地降低學生學習空間立體幾何的壓力。

通常情況下將向量分成平面向量與空間向量，一般平面向量用于幾何證明題中，比如證明線段的垂直、平行以及平面的平行、垂直、相切等問題。此外，向量也可用于與不等式有關的問題。而空間向量更多的用于求解點與線、線與線、平面與線、平面與平面的距離或者是其在相交后所產生的夾角、判斷其位置等問題。例如證明兩條直線平行，利用向量法的解題思路是在兩條直線上各取兩個點，將直線平行問題轉化為向量平行的問題。而對于證明直線垂直的幾何問題僅需要在兩條直線上取向量并證明其數(shù)量積為零即可。對于求解二面角等難度較大的立體幾何問題則需要借助法向量。

利用向量解決問題能夠將問題簡化，并在以后求解中逐漸形成自己的解題模式。把向量應用于立體幾何中是真正做到了數(shù)學教學中一直所強調的數(shù)形結合，并且將其優(yōu)勢發(fā)揮的淋漓盡致。

二、 向量在立體幾何中應用情況

向量在立體幾何中的應用以向量與向量之間的運算為基礎。首先，把立體幾何中的各個元素之間的關系研究清楚，這樣的好處在于能夠讓學生把問題簡化的同時還能實現(xiàn)高效率的學習，讓學生擅于將數(shù)形進行有機結合，使其數(shù)形結合的思維逐漸形成，最終把晦澀難懂的立體幾何問題轉變成代數(shù)問題，最終降低其難度。

不過，值得注意的是，向量法也具有一定的局限性，在立體幾何的問題中仍舊存在著向量法所不適用的問題，而我們能做到的就是找出最適合的方法，簡單來講，就是我們不應拘泥于某一種特定的解題方法，而是應該擅于將向量與其他解題方法進行有機地結合去解決問題。比如，向量法局限性在于其計算量較大，因此，這就對學生計算的速度以及準確性提出了要求，并且這對計算能力不佳的學生無疑是一個挑戰(zhàn)，一旦在計算過程中出現(xiàn)錯誤就將直接導致最后結果的錯誤。不僅如此，向量法有時在解決有一定難度的問題時具有一定的技巧性，而這就對學生的基礎知識的扎實程度以及對問題的理解能力提出了較高的要求。

三、 如何用向量法解決立體幾何問題

向量法求解立體幾何有兩種方法，分別是直接用向量計算以及通過建立直角坐標系。建立直角坐標系法解決立體幾何問題分為四個步驟，首先建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，建立直角坐標系的原則是優(yōu)先考慮經過同一個點并且相互垂直的三條線，或者是兩兩垂直的直線，并作第三條線保證其相互垂直。其次把解題過程中涉及的坐標一一列舉，務必保證不能出錯，否則將直接導致整道幾何題全部錯誤。然后寫出解題所需要的向量坐標，此外，應注意避免出現(xiàn)向量計算中容易犯的錯，即弄混向量的坐標起點與終點。最后進行計算，此時應注意計算的準確性以及用對公式。

四、 結束語

總的來講，向量在立體幾何問題中的廣泛應用讓我們解決立體幾何問題更為輕松，也不再被原有的解題模式所束縛，不再屈從過去先畫圖，再證明最后計算的“老路子”，真正的降低立體幾何問題的解題難度，讓學生不再苦惱于如何在立體幾何中加入輔助線，而是將幾何問題轉變成數(shù)字問題，開創(chuàng)了解決立體幾何問題的新局面。

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作者簡介：馬彥彬，安徽省亳州市，安徽省渦陽第一中學。