四旋翼飛行器靜態(tài)H∞輸出反饋控制

丁　力，　李興成，　馮俊萍，　李尚榮，　計鵬程

(江蘇理工學(xué)院機械工程學(xué)院，江蘇 常州　213001)

0　引言

隨著空中機器人技術(shù)的發(fā)展，四旋翼飛行器被廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)，如建筑現(xiàn)場測繪與管理、電力巡線、橋梁架線、農(nóng)田噴霧等[1-2]。然而，四旋翼是一個

強耦合、欠驅(qū)動、非線性的多輸入多輸出系統(tǒng)，要實現(xiàn)其穩(wěn)定控制具有很大的挑戰(zhàn)。因此，開發(fā)高精度、高性能的四旋翼飛行控制系統(tǒng)是工業(yè)領(lǐng)域和學(xué)術(shù)領(lǐng)域共同關(guān)心的熱點。

為解決上述問題，SALIH A L等[3]將四旋翼動力學(xué)模型劃分成俯仰、橫滾、偏航與高度4個通道，設(shè)計了4個PID控制器實現(xiàn)各個通道的穩(wěn)定控制；JAFARI H等[4]提出了一種基于LQR的四旋翼位姿控制器，通過求解Riccati方程獲得反饋增益，實現(xiàn)四旋翼的狀態(tài)反饋控制。近年來，研究人員發(fā)現(xiàn)在穩(wěn)定位姿控制的基礎(chǔ)上，當(dāng)四旋翼受到內(nèi)外部集總干擾影響時，其動力學(xué)模型也會隨之改變[5]。如何以有效的控制策略來補償集總干擾已成為四旋翼技術(shù)研究的重點。CABECINHAS D等[6]提出了一種非線性自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制器來補償集總干擾的影響，實現(xiàn)了四旋翼跟蹤“8”字型軌跡；在獲得精準模型的基礎(chǔ)上，DONG W等[7]利用擴張觀測器實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)及集總干擾的準確估計，并設(shè)計級聯(lián)式比例控制器保證四旋翼在低速條件下的穩(wěn)定飛行。

本文另辟蹊徑，借鑒新加坡國立大學(xué)陳本美教授提出的靜態(tài)H∞輸出反饋控制算法[8]設(shè)計了四旋翼飛行器的位姿控制器。然而，對于該控制算法增益的求解，大多數(shù)迭代算法需要一個穩(wěn)定的初始增益，這對于實際系統(tǒng)是很難實現(xiàn)的。因此，陳教授團隊采用Riccati方程來求解增益[9]，雖然提高了計算效率，但求解精度并不是很理想，往往會陷入局部最優(yōu)值。本文在獲得四旋翼線性模型的基礎(chǔ)上，采用靜態(tài)H∞輸出反饋控制算法分別設(shè)計姿態(tài)和位置兩環(huán)控制器，并嘗試利用布谷鳥算法(Cuckoo Search，CS)求解各控制環(huán)的輸出反饋增益。最后，通過仿真算例驗證了所提控制算法的有效性。

1　動力學(xué)建模

四旋翼飛行器通常被當(dāng)作六自由度單剛體進行建模[10]，其結(jié)構(gòu)如圖1所示，包括4個旋翼產(chǎn)生的拉力fi(i=1,2,3,4)和力矩Mi(i=1,2,3,4)、姿態(tài)角η=[φθψ]T、位置量ε=[xyz]T、總拉力u=[f1f2f3f4]T和重力mg。

圖1　四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)圖Fig.1　Structure of quad-rotor aircraft

定義Euler-Lagrangian方程為

(1)

式中:ν=[pqr]T為角速度;q=[xyzφθψ]T為廣義坐標;I為慣性矩陣。

通過帶廣義力的Euler-Lagrangian方程可推導(dǎo)出四旋翼的動力學(xué)模型，即

(2)

(3)

為了便于本文所提控制算法的設(shè)計，需獲得上述模型的線性形式，故假設(shè)在四旋翼懸停配平處偏航角很小，即ψ≈0。最終，四旋翼飛行器的動力學(xué)模型可表示為

(4)

四旋翼系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

(5)

進而，可將式(5)改寫成

x=[xyzuvwψθφrpq]T。

(6)

式中，u，v，w為三軸線速度。

2　飛行控制器設(shè)計

2.1　靜態(tài)H∞輸出反饋控制理論

對于如圖2所示的線性時不變系統(tǒng)，其靜態(tài)輸出反饋控制律為u=-Ky=-KCx。在該系統(tǒng)中，若存在增益K使得Riccati方程漸進穩(wěn)定，則(A,B)穩(wěn)定；若存在矩陣L使得A-LC穩(wěn)定，則(A,C)可觀。因此，要使得該系統(tǒng)輸出反饋穩(wěn)定，則必然存在增益K使得A-BKC穩(wěn)定。

圖2　線性時不變系統(tǒng)Fig.2　Linear time-invariant system

2.2　L2增益設(shè)計問題

通常，帶干擾閉環(huán)系統(tǒng)的輸出能量對干擾信號的抑制能力可以用L2增益來描述[11]。定義

(7)

式中，γ>γ*，γ*為最小增益。當(dāng)γ=γ*時，則該系統(tǒng)的控制問題可被轉(zhuǎn)換成H∞控制問題。本文采用CS算法來求解增益K使得系統(tǒng)穩(wěn)定且L2增益以γ為界。

H∞輸出反饋控制2.3CS算法描述

CS算法是由英國學(xué)者YANG X S[12]提出的一種模擬布谷鳥巢寄行為和Lévy飛行行為的新啟元算法。在算法中，每個巢中的卵代表增益K的一個可行解，尋優(yōu)的思想是利用潛在優(yōu)解來代替巢中的劣解。

CS算法采用局部隨機搜索和全局搜索的方式來尋找最優(yōu)解。其中，局部搜索的方程為

(8)

算法中的全局搜索由Lévy飛行決定，即

(9)

式中，α>0為縮放因子,λ為常數(shù)。

算法中的目標函數(shù)為

(10)

式中：α，ε，β與σ為調(diào)節(jié)參數(shù)；ts為調(diào)節(jié)時間；os為超調(diào)量。

算法具體流程如圖3所示。

圖3　CS算法流程圖Fig.3　Flow chart of CS algorithm

2.4　姿態(tài)控制器設(shè)計

在四旋翼飛行器控制器的姿態(tài)環(huán)中，需要穩(wěn)定的變量主要有俯仰角和滾轉(zhuǎn)角，另外，作為姿態(tài)環(huán)額外的測量量，三軸角速度也需要被鎮(zhèn)定，因此，姿態(tài)環(huán)的被控量為yin=[φθpqr]T。姿態(tài)環(huán)的狀態(tài)空間方程為

(11)

式中:Din為陣風(fēng)擾動輸入矩陣;din為機身坐標系X軸與Y軸上的陣風(fēng)擾動速度向量。陣風(fēng)擾動模型可由Gauss-Markov方程產(chǎn)生[13]

(12)

式中:ρ*為干擾系數(shù)；Bw為干擾輸入矩陣;qu和qv為零均值噪聲信號;τs為與風(fēng)速相關(guān)的時間常數(shù)，若本文設(shè)定縱橫向風(fēng)速為5 m/s，則τs=3.2 s。

圖4給出了姿態(tài)環(huán)的控制結(jié)構(gòu)，其中，輸出反饋增益Kin可由CS算法優(yōu)化求得，具體來講就是通過CS算法極小化目標函數(shù)Fi的值，從而找到一個最優(yōu)或次優(yōu)的增益矩陣。進而，可計算出姿態(tài)環(huán)的靜態(tài)輸出反饋控制率為

uin=-Kinyin+U。

(13)

圖4　姿態(tài)環(huán)控制框圖Fig.4　Control structure of attitude loop

2.5　位置控制器設(shè)計

在四旋翼飛行器控制器的位置環(huán)中，需要穩(wěn)定的變量為三軸位置、三軸線速度以及偏航角。因此，位置環(huán)的被控量為yo=[xyzuvwψ]T。

若不計陣風(fēng)擾動的影響，姿態(tài)環(huán)的狀態(tài)空間方程為

(14)

根據(jù)式(11)可得系統(tǒng)矩陣Aic=Ain-BinKinCin。

當(dāng)俯仰角與滾轉(zhuǎn)角很小時，位置環(huán)方程可近似為

(15)

因此，整個四旋翼系統(tǒng)的控制量為

xa=[φθpqruvwψ]T。

(16)

若能找到一個矩陣H滿足

(17)

聯(lián)立式(14)和式(16)就能得到

(18)

若考慮陣風(fēng)擾動的影響，則式(18)可改寫成

(19)

位置環(huán)的靜態(tài)輸出反饋控制律可由CS算法求得

uic=-Koyr

(20)

式中，yr=[(x-Xr) (y-Yr) (z-Zr)uvw(ψ-ψr)]T。輸出反饋增益Ko可由CS算法優(yōu)化求得，求解的過程與增益Kin的相同。

綜上所述，四旋翼飛行器位置環(huán)控制如圖5所示。

圖5　位置環(huán)控制框圖Fig.5　Control structure of position loop

3　數(shù)值仿真

為驗證本文所提控制策略的有效性，在本算例中，控制四旋翼去跟蹤預(yù)定的階躍信號(Xr,Yr,Zr)=(1 m,0.8 m,0.5 m)，仿真時間持續(xù)10 s。為了模擬集總干擾的影響，除了在姿態(tài)環(huán)中加入陣風(fēng)擾動，在位置環(huán)的測量端加入幅值為0.1的白噪聲信號，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6　仿真結(jié)果Fig.6　Simulation result

從圖中可以看出，三軸位置均能在4 s內(nèi)跟蹤上預(yù)定信號，三軸姿態(tài)均能在3 s內(nèi)被鎮(zhèn)定住，即姿態(tài)環(huán)響應(yīng)速度快于位置環(huán)響應(yīng)速度，這表明了本文控制結(jié)構(gòu)的合理性；三軸位置的最大超調(diào)量不超過20%，最大穩(wěn)態(tài)誤差不超過9%，這表明本文控制算法具有較強的抗干擾能力。

求解輸出反饋增益時，先優(yōu)化姿態(tài)環(huán)的增益，再優(yōu)化位置環(huán)的增益，CS算法優(yōu)化的迭代曲線如圖7所示。需要指出CS算法的收斂性證明可由Markov模型來證明[14]，本文不再贅述。

圖7　迭代曲線Fig.7　Iterative curve

從圖7可以看出，姿態(tài)環(huán)與位置環(huán)均在6代內(nèi)就開始收斂，收斂速度很快。計算求得的姿態(tài)與位置的輸出反饋增益分別為

Ko=

另外，圖8給出了四旋翼角速度和線速度的響應(yīng)，角速度和線速度也均能在2 s左右被鎮(zhèn)定住。

圖8　速度的響應(yīng)Fig.8　Response of velocities

為了測試本文所提控制算法在四旋翼軌跡跟蹤方面的性能，讓四旋翼跟蹤“8”字型軌跡，跟蹤過程持續(xù)40 s，懸停時間持續(xù)5 s。控制器的輸出反饋增益使用上個算例中的優(yōu)化結(jié)果，集總干擾的設(shè)置也與上個算例的條件相同。整個仿真結(jié)果如圖9～圖10所示。

圖9　三維跟蹤曲線Fig.9　3D trajectory tracking curve

圖10　XZ平面軌跡Fig.10　Trajectory in XZ plane

從圖中可以看出，四旋翼在靜態(tài)H∞輸出反饋控制器的作用下基本能夠跟蹤上參考軌跡，對集總干擾也有一定的抑制；懸停時，位置的變化范圍在Z軸方向上不超過±0.3 m，能夠保持位置與位姿的穩(wěn)定。這說明，本控制算法具有較強的魯棒性。

4　結(jié)論

本文采用一種靜態(tài)H∞輸出反饋控制算法設(shè)計了集總干擾下四旋翼飛行器的姿態(tài)與位置控制器，可以獲得如下結(jié)論：

1) 靜態(tài)H∞輸出反饋控制算法可利用輸出反饋增益來補償集總干擾，實現(xiàn)四旋翼系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定控制，本文設(shè)計的控制算法響應(yīng)速度快、魯棒性高和抗干擾能力強；

2) CS算法能夠在有限的迭代次數(shù)內(nèi)獲得最優(yōu)的輸出反饋增益矩陣，尋優(yōu)能力強，收斂速度快；

3) 階躍響應(yīng)和軌跡跟蹤仿真均驗證了本文所提算法的有效性，今后將嘗試將此控制算法寫入控制硬件中，在實際飛行中測試控制算法的有效性。

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