淺談高中數(shù)學(xué)數(shù)列

程奕博

鄲城縣第一高級(jí)中學(xué) 河南周口 466000

在高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中，除了基礎(chǔ)知識(shí)體系的不斷完善以外，還需要我們高中生能夠在實(shí)際解題過(guò)程中應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)，提高解題效率[1]。對(duì)于數(shù)列部分的內(nèi)容，其基本類(lèi)型就只有等差數(shù)列和等比數(shù)列兩種形式，然而，通過(guò)不同的組合，題目中的數(shù)列類(lèi)型則可以千變?nèi)f化，如此則增加了數(shù)列此類(lèi)題目的解題難度。因此，在日常的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們高中生應(yīng)當(dāng)注意對(duì)數(shù)列解題方法的積累，從而提高自己對(duì)不同數(shù)列題目的適應(yīng)性。

1 倒序相加法在數(shù)列解題中的應(yīng)用

例1 在已知數(shù)列{an}中，該數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列，則證明該數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=(n（a1+an）)/2是否成立？

解析：在該題目中，對(duì)于已經(jīng)給出的等差數(shù)列{an}來(lái)說(shuō)，我們能夠直接利用公式法求出其前n項(xiàng)和公式，如果采用這一方法，則該題目的證明則可以變?yōu)椋?/p>

Sn=n（a1+an）/2=n（a1+a1+（n-1）d）/2=na1+n（n-1）/2d

這里，我們還可以使用倒序相加法，該方法能夠使整個(gè)證明過(guò)程更加直觀、簡(jiǎn)單。

解：已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的表達(dá)式如下：

Sn=a1+a2+···+an①

利用倒序相加法，可以將其變形為Sn=an+an-1+···+a1②

圖4所示為氯氣物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)為0.02%的氮?dú)怏w系中氯氣的吸附穿透曲線（吸附壓力為0.3 MPa，氮?dú)饬髁繛?5 mL/min，室溫）。分析可知，兩種活性炭基脫氯劑均具備微量氯深度凈化性能，均能將氯含量脫除至物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)小于0.00002%。但相比而言，CT-01I具備更優(yōu)的微量氯深度凈化性能，其氯穿透時(shí)間為61.3 min，遠(yuǎn)優(yōu)于AC-101的44.6 min。

如此，則① + ②得：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+···+（an+a1）

根據(jù)等差數(shù)列首尾項(xiàng)關(guān)系可以得出a1+an=a2+an-1=···，因此，2Sn=n（a1+an）

即：Sn=n（a1+an）/2。

2 錯(cuò)位相減法在數(shù)列中的應(yīng)用

在數(shù)列相關(guān)解題方法中，以錯(cuò)位相減法的特征最為明顯，通過(guò)已知條件中的相關(guān)內(nèi)容分析，就能夠發(fā)現(xiàn)其能夠適用錯(cuò)位相減法。

例2 對(duì)于數(shù)列{an}為公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，而數(shù)列{bn}為公比為q的等比數(shù)列，其中，數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=2，且a4+b4=27，S4=10+b4。求兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求證Fn+12=-2an+10bn（Fn=anb1+an-1b2+···+a1bn，n ∈ N^*）。

解析：在該題目中，已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列，通過(guò)聯(lián)立方程組的方式，能夠得到以下方程組：

解方程組可得：d=3，q=2。

由于已知數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的首項(xiàng)均為2，則數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式如下：

an=3n-1，n∈N^*

bn=2^n，n∈N^*

對(duì)于該證明部分，已經(jīng)求得bn=2n，n∈N*，將其代入Fn=anb1+an-1b2+···+a1bn可以將其轉(zhuǎn)換為 Fn=2an+22an-1+···+2na1①

且 2Fn=22+23an-1+···+2n+1a1②

則利用錯(cuò)位相減法，可以得以下結(jié)果：

Fn=-2an+22（an-an-1）+23（an-1-an-2）+···+2n（a2-a1）+2a1bn

變形后可得：

Fn=-2an+4bn+3（22+23+···+2n）=-2an+4bn+6bn-12=-2an+10bn-12

3 分組求和法在高中數(shù)列中的應(yīng)用

在數(shù)列題目中，分組求和法主要適用于能夠?qū)㈩}目中所求數(shù)列分解成為等差數(shù)列與等比數(shù)列來(lái)分別求和的方法，因此，這對(duì)于我們高中生的轉(zhuǎn)換能力有著一定的要求。

例3某數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=1/an-1+3n-2，(a≠0)，試求該數(shù)列的前n項(xiàng)和。

解析：從題目中我們能夠直接看出該數(shù)列的通項(xiàng)公式為等比數(shù)列與等差數(shù)列的組合形式，因此，在計(jì)算其前n項(xiàng)和的過(guò)程中，可以將其轉(zhuǎn)換為分別求等比數(shù)列前n項(xiàng)和與等差數(shù)列前n項(xiàng)和的形式。

即 Sn=（1+1/a1+···+1/an-1）+[1+4+···+（3n-2）]

這里需要對(duì)其進(jìn)行分組討論：

（1）當(dāng)a=1時(shí)

Sn=（3n+1）n/2

（2）當(dāng)a≠1時(shí)

Sn=（3n-1）n/2+(a-a1-n)/(a-1)

4 結(jié)語(yǔ)

在高中數(shù)列知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，僅僅掌握基本的數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們高中生應(yīng)當(dāng)通過(guò)大量的數(shù)列題目進(jìn)行練習(xí)，了解更多的數(shù)列解題方法，以適應(yīng)不同的數(shù)列變式。并且，對(duì)于同一數(shù)列類(lèi)型，采用的解題方法也并不具有唯一性，多元化的解題方式也是提升我們高中生數(shù)列解題能力的重要手段。