初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)常見(jiàn)的幾種模型

◎張效國(guó)

數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中起著很重要的作用，其中有很多知識(shí)可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)教學(xué)，通過(guò)建模學(xué)習(xí)后，學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握將會(huì)更牢固，在解答問(wèn)題時(shí)將會(huì)更加得心應(yīng)手．那么在初中階段有哪些數(shù)學(xué)知識(shí)可以通過(guò)數(shù)學(xué)建模的形式來(lái)解決呢？現(xiàn)就此問(wèn)題談一下自己的看法．

一、方程（組）模型

方程（組）是研究數(shù)量關(guān)系最基本的數(shù)學(xué)模型，求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是：針對(duì)給出的問(wèn)題，設(shè)合適的未知數(shù)，找出相等關(guān)系，但要注意驗(yàn)證結(jié)果是否符合實(shí)際要求．

例1、王老師家在商場(chǎng)和學(xué)校之間，離學(xué)校1千米，離商場(chǎng)2千米．一天王老師騎車到商場(chǎng)買獎(jiǎng)品后再到學(xué)校，結(jié)果比平常步行直接到學(xué)校遲到20分鐘．已知騎車的速度是步行的2．5倍，買獎(jiǎng)品的時(shí)間為10分鐘．求騎車的速度．

分析與解答：王老師從家到商場(chǎng)再到學(xué)校一共走了5千米（可以通過(guò)畫示意圖來(lái)說(shuō)明）假設(shè)步行的速度為x千米／小時(shí)，那么，騎車的速度是2．5x千米／小時(shí)．根據(jù)題意可知騎車用的時(shí)間比原來(lái)步行多用10分鐘，因此可列分式方程：解這個(gè)方程得，x＝6，2．5x＝2．5×6＝15，所以騎車的速度是15千米／小時(shí)．

例2：（2013，益陽(yáng)）“二廣”高速在益陽(yáng)境內(nèi)的建設(shè)正在緊張的進(jìn)行，現(xiàn)有大量的砂石需要運(yùn)輸．“益安”車隊(duì)有載重量8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運(yùn)輸一次能運(yùn)輸110噸砂石．

求“益安”車隊(duì)載重量8噸、10噸的卡車各有多少輛？

分析與解答：假設(shè)8噸的卡車有x輛，10噸的卡車有y輛，那么8噸的卡車一次能運(yùn)8x噸，10噸的卡車一次能運(yùn)10x噸．根據(jù)題意列方程組得：，所以，載重量8噸、10噸的卡車各有5輛和7輛．

以上兩個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題就是應(yīng)用方程或方程組的模型來(lái)解決問(wèn)題的典型問(wèn)題，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)一定要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用這種模型來(lái)解決問(wèn)題．

二、不等式模型

日常生活中不等關(guān)系是普遍存在的，許多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題很難確定（有時(shí)也不需要確定）具體的數(shù)值．但可以求出或確定這一問(wèn)題中某個(gè)量的變化范圍，從而對(duì)所有研究問(wèn)題的面貌有一個(gè)比較清楚的認(rèn)識(shí)．

例：用若干輛載重量為8噸的汽車運(yùn)一批貨物，若每輛汽車只裝4噸，則剩下20噸貨物；若每輛汽車裝滿8噸，則最后一輛汽車不滿也不空．請(qǐng)問(wèn)：有多少輛汽車？

分析與解答：假設(shè)有汽車x輛，則該批貨物共有（4x＋20）噸，（x－7）輛裝8噸，則最后一輛汽車不滿也不空，說(shuō)明它的載貨在0到8噸之間，根據(jù)題意得：0＜4x＋20－8（x－1）＜8，解之得：5＜x＜7，x只能取整數(shù)，所以x＝6，因此共有6輛汽車．

上面的例題是數(shù)學(xué)中的分配問(wèn)題，其他問(wèn)題如價(jià)格問(wèn)題、工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、方案選擇和設(shè)計(jì)問(wèn)題都可以應(yīng)用不等式模型來(lái)解決，因此，不等式模型在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要積極加以滲透．

三、函數(shù)模型

課程標(biāo)準(zhǔn)中指出，能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來(lái)解決某些實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系變化，結(jié)合對(duì)函數(shù)關(guān)系的分析，嘗試對(duì)變量的變化規(guī)律進(jìn)行初步預(yù)測(cè)，能用一次函數(shù)，二次函數(shù)等來(lái)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．在學(xué)習(xí)了正、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)后，學(xué)生的頭腦中已經(jīng)有了這些函數(shù)的模型．因此，一些實(shí)際問(wèn)題就可以通過(guò)建立函數(shù)模型來(lái)解決．

例：某商人開始時(shí)將進(jìn)價(jià)為每?jī)r(jià)8元的某種商品按10元出售，每天可出售100件，他想采用提高售價(jià)的辦法來(lái)增加利潤(rùn)，經(jīng)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這種商品每提高1元，則每天的銷售量就會(huì)減少10件．

（1）寫出售價(jià)x元／件與每天所得利潤(rùn)y元之間的函數(shù)關(guān)系式．

（2）每件售價(jià)為多少元時(shí)，才能使一天利潤(rùn)最大．

分析與解答：因?yàn)橐岣呤蹆r(jià)，所以x＞10，因此，在10元售價(jià)的基礎(chǔ)上提高了（x－10）元，就會(huì)少買10（x－10）＝10x－100件，因此，售價(jià) x元／件與每天所得利潤(rùn)y元之間的函數(shù)關(guān)系式是：

以上數(shù)學(xué)模型是我在實(shí)際教學(xué)中一點(diǎn)粗淺的總結(jié)，當(dāng)然除了以上模型外，還有其他更多的數(shù)學(xué)模型，在平時(shí)的教學(xué)中要有意識(shí)地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成數(shù)學(xué)模型意識(shí)，這樣可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的理解和掌握，調(diào)整學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，深化知識(shí)層次，進(jìn)而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力．

參考文獻(xiàn)：

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［2］古麗娜孜·澤那勒．探討新課改下初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略［J］．時(shí)代教育，2017（12）：155．

［3］吳玲玉．初中數(shù)學(xué)建模的影響因素及其對(duì)策［D］．集美大學(xué)，2017．