基于混沌系統(tǒng)與改進(jìn)Zig-Zag變換的圖像加密方案

安守楠，呂　翔

(1.中北大學(xué)軟件學(xué)院，山西 太原 030051；2.山西中醫(yī)藥大學(xué))

0　引言

為了保證數(shù)字圖像在傳輸中的安全性，對圖像加密十分重要。最常用的加密都是采用置亂-擴散的方法。數(shù)字置亂是通過特定的技術(shù)打亂原圖中的像素位置，使其在視覺上變得雜亂無章可循，而擴散則是不改變像素的位置，對像素值進(jìn)行改變，達(dá)到加密的目的。常見的置亂方法有Arnold變換[1]、幻方變換[8]、仿射變換等，但是其實現(xiàn)都較為復(fù)雜，安全性較低。

本文采用Zig-Zag變換[15]圖像加密方案，有實現(xiàn)簡單，復(fù)雜度低，密鑰周期大的特點，Zig-Zag變換廣泛運用于圖像加密方案中。

混沌系統(tǒng)的初值與參數(shù)極端敏感性、非周期性和長期演化軌道不可預(yù)測性等特性與圖像加密系統(tǒng)的密鑰敏感性、密文呈噪聲特性和明文敏感性相對應(yīng)。文獻(xiàn)[3]對Logistic混沌加密系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，引進(jìn)兩個與明文相關(guān)的密鑰，提高了安全性。文獻(xiàn)[4]對圖像從里到外不同范圍的各層進(jìn)行Arnold變換，使得層與層之間的置亂相互干擾，達(dá)到打亂Arnold周期性的目的，然后采用斜帳篷映射，對像素值進(jìn)行擴散。文獻(xiàn)[15]利用Zig-Zag變換對彩色圖像進(jìn)行預(yù)處理，增強加密效果；在此基礎(chǔ)上，利用Zig-Zag變換對預(yù)處理后的3個通道進(jìn)行像素位置的置亂；對三維Logistic混沌序列進(jìn)行多次處理，實現(xiàn)多次擴散，提高了加密效率和安全性。

基于以上的分析，在對標(biāo)準(zhǔn)Zig-Zag變換改進(jìn)的基礎(chǔ)上，提出Logistic混沌與改進(jìn)Zig-Zag變換的圖像加密方案。首先將標(biāo)準(zhǔn)Zig-Zag進(jìn)行改進(jìn)，利用改進(jìn)后的Zig-Zag[10]變換對圖像進(jìn)行置亂，然后采用Logistic混沌系統(tǒng)[3]產(chǎn)生混沌序列，轉(zhuǎn)化為混沌矩陣，為了達(dá)到更好的效果，最后將置亂矩陣與混沌矩陣進(jìn)行像素值融合，最終得到加密圖像。

1　相關(guān)知識介紹

1.1　Zig-Zag變換

Zig-Zag[15]是一種掃描置亂的方法。標(biāo)準(zhǔn)的Zig-Zag變換是從圖像的左上角元素開始掃描，使其按照“Z”字形向下掃描，獲得一維序列，并按照一定方式轉(zhuǎn)換成二維矩陣。但標(biāo)準(zhǔn)Zig-Zag變換僅限于方陣中，而且有些元素位置始終不變，適用性不強，所以對其進(jìn)行改進(jìn)。如圖1所示。從圖1可以看出，1,2,15,16的位置沒有發(fā)生改變，為了達(dá)到更好的置亂效果，對其進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的Zig-Zag變換從右下角開始掃描，按照“Z”字形向上掃描，可以使每個元素的位置發(fā)生改變，不僅適合于方陣，還適合于矩陣。如圖2所示。從圖2可以看出，所有元素的位置都發(fā)生了改變。

圖1　標(biāo)準(zhǔn)Zig-Zag

圖2　改進(jìn)后的Zig-Zag

在ZigZag變換過程中，由于矩陣中元素個數(shù)有限確定，所以經(jīng)過有限次Zig-Zag變換后一定可以回到原始狀態(tài)，即Zig-Zag變換具有周期性。不同維數(shù)方陣的Zig-Zag如表1所示，由表 1中可見，Zig-Zag變換擁有更大的密鑰周期。

表1　不同維數(shù)矩陣Zig-Zag變換周期

1.2　Logistic混沌系統(tǒng)

一維Logistic[16]是目前研究最為廣泛的一種混沌映射，其表達(dá)式如式⑴所示：

式中x(0)∈(0,1)為初始值，μ∈(3.5699,4]時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

2　算法描述

2.1　圖像加密

設(shè)原始圖像I的大小為M*N，G(x,y)表示圖像I在點(x，y)處的像素灰度值，G'(x,y)表示為加密后的圖像在點(x，y)處的像素灰度值。

步驟1將原始圖像I進(jìn)行Zig-Zag變換，次數(shù)為p，得到一維序列L，將其按照行優(yōu)先的順序轉(zhuǎn)換成二維矩陣A，A的大小為M*N；

步驟2計算圖像的像素值總和sum，進(jìn)行式⑵的處理，給定參數(shù)μ，將x(0)和u作為Logistic混沌系統(tǒng)的初始值，迭代式⑴產(chǎn)生混沌序列長度為M*N的混沌序列c(i)，迭代次數(shù)為q，對混沌序列中的每個元素進(jìn)行式⑶的處理，使序列內(nèi)的每個元素都取值于0-255之間。得到序列c'(i)。

步驟3將序列c'(i)按照行優(yōu)先的順序轉(zhuǎn)換成二維矩陣N，矩陣N的大小為M*N。

步驟4將二維矩陣A和二維矩陣N對應(yīng)位置按照式⑷進(jìn)行像素值的融合運算，得到加密矩陣I'，即為加密圖像。

加密過程如圖3所示：

圖3　加密過程

2.2　圖像解密

圖像解密即為加密的逆過程，過程如圖4所示。

圖4　解密過程

解密過程首先根據(jù)密鑰x(0),μ將式⑴迭代q次，產(chǎn)生混沌序列，對混沌序列進(jìn)行式⑵⑶的處理得到混沌矩陣，將密文矩陣與混沌矩陣進(jìn)行像素值的融合，得到變換絕陣，對變換矩陣進(jìn)行p次的Zig-Zag反變換，得到原始圖像。

3　實驗結(jié)果與性能分析

本文選取了大量的大小為256*256的灰度圖像進(jìn)行測試，這里給出經(jīng)典圖像lena的加密結(jié)果作為代表，本次實驗環(huán)境是Inter(R)Core(TM)i3CPU,內(nèi)存為2GB,64位windows7操作系統(tǒng)的PC機，MATLAB2014a，取u=3.7,p=2,q=500，x(0)由計算所得,圖5(a)表示原始圖像，圖5(b)表示加密圖像。

圖5　實驗結(jié)果

3.1　密鑰空間

具備足夠大的密鑰空間是一個機密系統(tǒng)加密性能強大的必備條件，本文的密鑰有sun,μ,p,q，計算精度按10-15計算，則密鑰空間 k=1015*4=1060≈2180，能夠有效抵抗窮舉攻擊。

3.2　密文統(tǒng)計特性

3.2.1　圖像直方圖

密文特性通常通過直方圖表示出來，圖像直方圖越均勻，表示密文統(tǒng)計特性越好，加密效果越好，實驗結(jié)果如圖6所示。圖6(a)表示原始圖像直方圖，圖6(b)表示加密圖像直方圖。

圖6

3.2.2　相關(guān)性分析

明文圖像由于其畫面連貫性強，相鄰像素的像素值一般比較接近或者相同，存在很強的相關(guān)性。攻擊者將此作為一個重要的突破口，所以加密后的圖像相關(guān)性越低說明加密效果越好。本文隨機選取明文圖像和密文圖像相鄰的2000對像素灰度值進(jìn)行比較，計算公式如⑸所示，其中x,y表示相鄰像素的灰度值，Rxy為相鄰兩個像素相關(guān)系數(shù)。其相關(guān)系數(shù)表述如表⑵所示。

由公式⑸可以得出表⑵中的數(shù)據(jù)，說明加密能夠破壞其相關(guān)性。

表2　相關(guān)系數(shù)

3.3　信息熵分析

信息熵反映了圖像信息的不確定性，一般認(rèn)為，信息熵越大，不確定性越大（信息量越大），可視信息越少。信息熵的計算公式如下所示：

這里，L為圖像的灰度等級數(shù)，p(i)表示灰度值i出現(xiàn)的概率。對于L=256的灰度值圖像，信息熵的理論值為8。通過計算得到本文加密圖像的信息熵值為7.999383，接近于理論值（即8），而明文圖像的信息熵與理論值有明顯差別。

4　結(jié)束語

本文在對已有的標(biāo)準(zhǔn)Zig-Zag變換的基礎(chǔ)上，對其進(jìn)行改進(jìn)，提出了基于混沌序列與改進(jìn)Zig-Zag變換的圖像加密算法，算法基于置亂-擴散的思想，首先將標(biāo)準(zhǔn)Zig-Zag進(jìn)行改進(jìn)，利用改進(jìn)后的Zig-Zag變換對圖像進(jìn)行置亂，然后采用Logistic混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列，轉(zhuǎn)化為混沌矩陣，為了達(dá)到更好的效果，最后將置亂矩陣與混沌矩陣進(jìn)行像素值融合，得到加密圖像，實驗證明效果良好。

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