解析函數(shù)的兩個(gè)充要條件之間的關(guān)系

于倩 沈明瑒 陶元紅

摘要：解析函數(shù)是復(fù)分析的主要研究內(nèi)容，它在數(shù)論、流體力學(xué)、電磁學(xué)等方面有著廣泛的應(yīng)用。本文通過梳理解析函數(shù)的五個(gè)充分必要條件，剖析了其中利用二元實(shí)變函數(shù)的性質(zhì)判定復(fù)變函數(shù)解析的充要條件，展示了解析函數(shù)與二元實(shí)函數(shù)之間的密切聯(lián)系，并強(qiáng)調(diào)了解析函數(shù)的無窮可微性是這兩個(gè)充分必要條件之間等價(jià)的重要聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：解析函數(shù)；二元函數(shù)；充要條件；無窮可微性

復(fù)變函數(shù)是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域上的推廣，其主要核心是解析函數(shù)。解析函數(shù)除了擁有與實(shí)變函數(shù)相同的一些性質(zhì)以外還具備一些獨(dú)有的良好性質(zhì)如無窮可微性，滿足方程以及能展成泰勒級數(shù)等。復(fù)分析主要通過微分、積分和級數(shù)的方法研究解析函數(shù)。因此為了更好地研究學(xué)習(xí)解析函數(shù)，本文首先梳理判定函數(shù)解析的五個(gè)充要條件。

一、判定函數(shù)解析的五個(gè)充要條件

定義1如果復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微，則稱是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，或稱在區(qū)域內(nèi)解析。

若設(shè)在區(qū)域內(nèi)有定義的解析函數(shù)為 ，則有如下五個(gè)判定函數(shù)解析的充分必要條件：

充要條件1二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微，在內(nèi)滿足方程。

充要條件2函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且對內(nèi)任一周線只要及其內(nèi)部全部含于內(nèi)且。

充要條件3對任意，只要圓含于，則在內(nèi)能展成的冪級數(shù)。

充要條件4二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)滿足方程。

充要條件5在區(qū)域內(nèi)是的共軛調(diào)和函數(shù)。

由如上的等價(jià)條件，不難看出其中的充要條件1，4，5均是利用二元實(shí)函數(shù)來描述的，也就是說利用二元實(shí)函數(shù)滿足的性質(zhì)就完全可以判定復(fù)變函數(shù)的解析性。由于充要條件是一種等價(jià)關(guān)系，所以上述五個(gè)充要條件是彼此等價(jià)的。

但是，充要條件4從形式上顯然是要強(qiáng)于充要條件1的，而且在數(shù)學(xué)分析中，多元實(shí)變函數(shù)偏導(dǎo)連續(xù)僅僅是該函數(shù)可微的充分不必要條件，這就讓我們不得不好奇它們之間的等價(jià)性是有什么性質(zhì)來保證的。為此，我們不妨將這兩個(gè)充要條件分別描述成如下兩個(gè)完整的定理。

定理1函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微且在內(nèi)滿足方程：

，.

定理2函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)滿足方程。

二、兩個(gè)充分必要條件的證明與等價(jià)

在給出三個(gè)定理的具體證明之前，首先回顧一下解析函數(shù)具有著與實(shí)變函數(shù)完全不同的獨(dú)有的良好性質(zhì)：無窮可微性，即解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，從而它的任意階階導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)。

定理1的證明：（充分性）由及的可微性有對于內(nèi)任意一點(diǎn)，

其中及是的高階無窮小。由方程，設(shè)，，

即，其中，

故，，在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)。

（必要性）在區(qū)域內(nèi)解析則對于內(nèi)任一點(diǎn)有，

（）

令，，，上式為：

，，及可微，且有，

定理2證明：（充分性）二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，即在區(qū)域內(nèi)可微。故由定義1可知函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析。

（必要性）由解析函數(shù)的無窮可微性，必在內(nèi)連續(xù)，即在內(nèi)連續(xù)。若在內(nèi)任一點(diǎn)可微，則有

又設(shè)，，其中

，

，

（1）變?yōu)?，在區(qū)域內(nèi)解析極限存在，令，有

（2）

，有

（3）

比較（2）和（3）可得，。

關(guān)于這兩個(gè)定理的等價(jià)性分析：

定理1定理2：

由于解析函數(shù)具有無窮可微性，所以其任意階導(dǎo)數(shù)都存在并且連續(xù)，即二元函數(shù)的具有無窮階連續(xù)偏導(dǎo)，因此定理1定理2。

定理1定理2：

由數(shù)學(xué)分析可知二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)則在區(qū)域內(nèi)可微，故定理2可推導(dǎo)出定理1。

三、結(jié)論

雖然定理1和定理2在復(fù)分析的范圍內(nèi)是等價(jià)的，但是在數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)上，由于多元實(shí)變函數(shù)偏導(dǎo)連續(xù)是函數(shù)可微的充分不必要條件，定理1推導(dǎo)不出定理2。定理2具備的條件更嚴(yán)格。但在復(fù)變函數(shù)論中，復(fù)變函數(shù)解析就具有無窮可微性，因此便存在任意階連續(xù)偏導(dǎo)，所以定理1和定理2之間等價(jià)。

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