橢圓積分在理論力學(xué)中的應(yīng)用

張存　劉建林　陳立明

【摘 要】橢圓積分表達(dá)形式優(yōu)美而簡(jiǎn)練，是開(kāi)展力學(xué)、物理理論研究的重要工具之一。在理論力學(xué)、大學(xué)物理等本科課程中也存在很多問(wèn)題可用橢圓積分進(jìn)行精確求解。其中大學(xué)物理相關(guān)實(shí)例已有大學(xué)物理教育工作者對(duì)其進(jìn)行了總結(jié)。而對(duì)于理論力學(xué)中的相關(guān)實(shí)例，其精確解答多出現(xiàn)在分析力學(xué)、非線性動(dòng)力學(xué)等專著中，在理論力學(xué)教材中卻鮮有討論。本文對(duì)理論力學(xué)教材中涉及橢圓積分的相關(guān)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)總結(jié)，并利用橢圓積分給出了相應(yīng)的解析解。然后從橢圓積分定義出發(fā)，給出了一類可用橢圓積分表示的動(dòng)力學(xué)方程。這一總結(jié)有助于我們深刻認(rèn)識(shí)這些動(dòng)力學(xué)模型的物理本質(zhì)，同時(shí)也為理論力學(xué)課程開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)提供有益參考，并且激發(fā)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)探索的好奇心。

【關(guān)鍵詞】橢圓積分；單擺；復(fù)擺；圓輪滾動(dòng)；直桿滑落

中圖分類號(hào)： O411 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)：2095-2457（2018）04-0022-003

Applications of Elliptic Integrals in Theoretical Mechanics

ZHANG Cun1 LIU Jian-lin2 Chen Li-ming3

（1.Department of Engineering Mechanics， Shijiazhuang Tiedao University， 050043 Shijiazhuang， China；

2.College of Pipeline and Civil Engineering， China University of Petroleum （East China）， 266580 Qingdao， China；

3.College of Aerospace Engineering， Chongqing University， 400030 Chongqing， China）

【Abstract】Elliptical integrals are very useful in the theoretical study of mechanics and physics. In fact， many problems in the undergraduate courses "theoretical mechanics"， can be solved analytically using elliptical integrals. In this paper， these cases have been summarized， whose solutions are expressed with elliptical integrals. Meanwhile， a type of typical dynamics systems are discussed， whose solutions can be described using elliptical integrals. This study may be helpful in understanding the physical nature of these above nonlinear dynamics systems， and could be used as teaching materials for the inquiry-based learning in theoretical mechanics.

【Key words】Elliptical integral； Simple pendulum； Compound pendulum； Cylinder rolling on a cylindrical surface； Falling rod

0 前言

橢圓積分是一類重要的特殊函數(shù)，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)練、優(yōu)美，因而在力學(xué)、物理等領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，受到很多學(xué)者的青睞[1-3]。例如材料力學(xué)中細(xì)長(zhǎng)桿發(fā)生彈性大變形的形貌[4-6]、表界面力學(xué)中固體表面上液滴的輪廓形狀[4-7]、非線性動(dòng)力學(xué)中彈簧振子的非線性振動(dòng)[8]，以及電磁學(xué)[9]等各類問(wèn)題中都成功應(yīng)用了橢圓積分。本文作者也利用橢圓積分開(kāi)展了一系列關(guān)于表界面力學(xué)方面的研究工作，主要包括：劉建林等人給出了單根碳納米管在范德華力作用下截面的坍塌形貌[6]、張存等人給出了粘附碳納米管的半坍塌構(gòu)型以及坍塌構(gòu)型[5]；劉建林等人給出了懸臂梁發(fā)生大變形粘附時(shí)的構(gòu)型[4]；劉建林等人給出了固體表面上液滴的輪廓形狀的解析解[1]。

除了上述問(wèn)題，在動(dòng)力學(xué)中也存在大量與橢圓積分相關(guān)的問(wèn)題。例如對(duì)于單擺擺動(dòng)這一經(jīng)典問(wèn)題，在當(dāng)前通用的理論力學(xué)和大學(xué)物理等教材中均直接假定其振動(dòng)幅度為小擺角，然后采用線性化的假設(shè)就可以得到以三角函數(shù)表示的周期解。而實(shí)際工程中，很多單擺將會(huì)發(fā)生大幅度振動(dòng)，目前對(duì)于單擺具有大擺角時(shí)的研究則很少見(jiàn)諸報(bào)道，故而通用教材中鮮有涉及。該問(wèn)題實(shí)際上可以用橢圓積分給出精確解答；另外，在理論力學(xué)中還存在其它可用橢圓積分求解的算例，涉及到很多動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。由于橢圓積分形式簡(jiǎn)單，可以代替冗長(zhǎng)的數(shù)值結(jié)果或者級(jí)數(shù)表達(dá)式，因此從科學(xué)方法論的角度來(lái)講，在教學(xué)中引入它可以使問(wèn)題的解答變得簡(jiǎn)單明了。從課堂教學(xué)效果的角度來(lái)看，橢圓積分使得這些動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的解答變得完備，可以大大拓寬學(xué)生的知識(shí)面，有助于培養(yǎng)學(xué)生宏觀把握問(wèn)題、全面思考問(wèn)題、正確解決問(wèn)題的能力。

有鑒于此，全面梳理這些從不同角度提出的問(wèn)題，然后統(tǒng)一從橢圓積分形式角度展示其核心脈絡(luò)，已經(jīng)勢(shì)在必行。故此，本文針對(duì)理論力學(xué)教材中出現(xiàn)的一些涉及橢圓積分的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了分析總結(jié)，并給出了利用橢圓積分表示的精確解答，并揭示其內(nèi)在統(tǒng)一性。

1 應(yīng)用舉例

1.1 單擺問(wèn)題

第一個(gè)例子就是單擺問(wèn)題，它也是大學(xué)物理及理論力學(xué)中經(jīng)常討論的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題。但是，在一般教科書(shū)中通常只討論單擺發(fā)生小擺角振動(dòng)情況下的解答，而很少討論其大幅度振動(dòng)。如圖1所示，設(shè)單擺的長(zhǎng)度為l，端部小球質(zhì)量為m；初始時(shí)刻小球速度為零，擺角為θ0（0<θ0<π/2）。將小球看作質(zhì)點(diǎn)，由機(jī)械能守恒得

m（l）-mglcosθ=-mglcosθ（1）

兩邊對(duì)式（1）進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到相應(yīng)的微分方程為

+sinθ=0（2）

其中=，=。

很顯然，當(dāng)θ很小時(shí)，sinθ≈θ，該問(wèn)題的解答為

θ=θ0cosω0t

其中θ0為振幅，ω0=為角頻率。顯然，單擺振動(dòng)周期為T0=2π。

對(duì)于大擺角情況，在周培源先生編著的《理論力學(xué)》教材[12]中有詳細(xì)的討論。該問(wèn)題可以將時(shí)間 表示為轉(zhuǎn)角 的積分形式：

t=？蘩（3）

其中轉(zhuǎn)角的取值范圍為-θ≤θ≤θ0。由該問(wèn)題的對(duì)稱性，本文只考慮0≤θ≤θ0的情況（下同）。

引入變換k=sin>0以及sin=ksinφ（0≤φ≤），則式變?yōu)?/p>

t=？蘩=[F（k，）-F（k，φ）]（4）

其中F（k，φ）=？蘩dφ為第一類不完全橢圓積分。

因此，大擺角單擺的振動(dòng)周期為

T=4K（k）（5）

其中K（k）=F（k，）為第一類完全橢圓積分，下同。

1.2 復(fù)擺問(wèn)題

圖2所示復(fù)擺（或稱物理擺），其質(zhì)量為m，質(zhì)心為點(diǎn)C，擺對(duì)懸掛點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jo。設(shè)初始時(shí)刻該復(fù)擺角速度為零，擺角為θ0（0<θ0<π/2）。則利用橢圓積分，可以求得該擺的擺動(dòng)周期。

利用剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，可得該物理擺的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程：

+sinθ=0（6）

與方程及其解答進(jìn)行對(duì)比可知，復(fù)擺的周期為

T=4K（sin）（7）

1.3 圓輪純滾動(dòng)問(wèn)題

如圖3所示，一均質(zhì)圓輪半徑為r，質(zhì)量為m，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)。設(shè)表面足夠粗糙，圓輪做純滾動(dòng)。設(shè)初始時(shí)刻圓輪角速度為零，擺角為θ0，則可以求得圓輪質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程。

由機(jī)械能守恒定律，有

JCω+mv-mg（R-r）cosθ=-mg（R-r）cosθ

將JC=mr2、vC=-（R-r）、ωC==-代入上式并整理，得

+sinθ=0（8）

與方程及其解答進(jìn)行比較可知，圓輪純滾動(dòng)的周期為

T=4K（sin）（9）

1.4 直桿滑落問(wèn)題

如圖4所示，均質(zhì)細(xì)桿AB長(zhǎng)為2l，質(zhì)量為m、相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC=ml2，上端A沿墻壁向下滑，下端B沿地板向右滑，不計(jì)摩擦。初始時(shí)刻直桿角速度為零，與墻面的夾角為θ0。類似地，也可求出脫離墻面之前桿的運(yùn)動(dòng)方程。

由機(jī)械能守恒，有

m（l）+JC+mglcosθ=mglcosθ（10）

相應(yīng)的微分方程為

-sinθ=0（θ≤θ≤）（11）

對(duì)比方程及其解答可知，該問(wèn)題的解答為

t=？蘩（12）

這里需要注意的是，轉(zhuǎn)角θ的取值范圍為θ0≤θ≤，因此有cosθ0≥cosθ。

引入變換cos=cossinφ（0<φ≤），k=cos>0，則解答可用橢圓積分表示為

t=？蘩

=[F（k，）-F（k，φ）]（13）

1.5 討論

上面列舉的幾個(gè)典型動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，其解答均可以用橢圓積分表示。對(duì)于一個(gè)一般性的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，如何才能判斷它是否能夠用橢圓積分來(lái)表達(dá)呢？在這里，我們嘗試從橢圓積分的定義出發(fā)給出一些判據(jù)。

對(duì)于保守系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒得

2+V（u）=E0（14）

其中u為廣義坐標(biāo)，=，=，2為廣義動(dòng)能，V（u）=？蘩f（u）du為廣義勢(shì)能，E0為系統(tǒng)的總機(jī)械能。

對(duì)上式兩邊進(jìn)行時(shí)間的求導(dǎo)運(yùn)算，則與之對(duì)應(yīng)的微分方程為

+f（u）=0或=-f（u）（15）

方程可以通過(guò)兩邊乘以dt=du并積分得到：

？蘩dt=？蘩d=？蘩f（u）dt=-？蘩f（u）du

對(duì)式進(jìn)一步積分，得

t-t0=？蘩（16）

由橢圓積分的定義[10]，當(dāng)勢(shì)能函數(shù) 是 的三次或四次多項(xiàng)式（等價(jià)地，函數(shù) 為 的二次或三次多項(xiàng)式）時(shí)，該問(wèn)題可用橢圓積分表示。顯然，無(wú)阻尼無(wú)驅(qū)動(dòng)的杜芬方程 便屬于該種情況。該微分方程的精確解答可表示為

t-t0=？蘩（17）

對(duì)于如何將此式表達(dá)為橢圓積分超出了本文的討論范圍，感興趣的讀者可參閱文獻(xiàn)[13]。

在本文所舉算例中，令u=sinθ，則有

t-t0=？蘩

=？蘩（18）

可以驗(yàn)證這些算例（1-u2）[EO-V（u）]均為u的三次或四次多項(xiàng)式，因此可以用橢圓積分表示。

通過(guò)上述討論可知，若動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，且其廣義勢(shì)能可表示為自變量的三次或四次多項(xiàng)式，或者其廣義勢(shì)能可表示為自變量正弦或余弦的一次或二次多項(xiàng)式，則該問(wèn)題可用橢圓積分表示。

2 結(jié)論

本文對(duì)理論力學(xué)教材中可用橢圓積分求解的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了較為全面的總結(jié)，并利用橢圓積分給出了相應(yīng)的解析解。最后，給出了一類解答可用橢圓積分表示的普遍動(dòng)力學(xué)方程。本文工作有助于我們深刻認(rèn)識(shí)這些動(dòng)力學(xué)模型的物理本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，同時(shí)也為理論力學(xué)研究性教學(xué)提供有益參考。

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