運用“錯誤資源”，發(fā)展學生數(shù)學思維

王恒干

摘 要：錯誤是學生數(shù)學學習中客觀存在的現(xiàn)象，其資源化意義值得關(guān)注。教學中，教師要把脈學生錯誤根源、觸摸學生感性錯誤、探尋學生思維缺口、引導學生辯證思維，讓學生“識錯”“思錯”“糾錯”。將學習錯誤作為一種教學資源，能讓學生在錯誤辨析中提升數(shù)學思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學教學；錯誤資源；數(shù)學思維

德國哲學家黑格爾說，“錯誤本身乃是達到真理的一個必然的環(huán)節(jié)”。的確，正確有可能只是一種模仿，而錯誤卻絕對是一種“創(chuàng)造性”的經(jīng)歷，盡管這個經(jīng)歷讓學生“誤入歧途”。小學數(shù)學教學的理性定位應(yīng)當是“對未知旅程的探險”。既然是一種探險，必定伴隨著錯誤。正是在這個意義上，教育學者成尚榮先生說，“教室，出錯的地方”。著名特級教師華應(yīng)龍先生說，“課堂因差錯而精彩”。對于錯誤，教師不能消極以待，而應(yīng)積極引導學生“識錯”“思錯”“糾錯”，將“錯誤”作為一種課程資源，運用學生錯誤，發(fā)展學生數(shù)學思維。

一、把脈錯誤根源，添加“反思因子”

錯誤是學生數(shù)學學習中客觀存在的現(xiàn)象。對于錯誤，教師既不能視為洪水猛獸、懼怕錯誤，也不能聽之任之、漠視錯誤，更不能對錯誤草草了事。教學中，教師要引導學生分析錯誤、反思錯誤，避免學生“一錯再錯”。只有師生正視錯誤、運用錯誤，錯誤才能成為一種有效的教學資源。在數(shù)學教學中，學生是反思錯誤的主體。某種意義上，學生的學習就是對錯誤地不斷反思，這是一個自我否定的過程。正如美國著名教育家杜威先生所指出的，“真正思考的人從自己的錯誤中汲取的知識，比從自己成就中汲取的知識更多，錯誤與探索只有相聯(lián)姻、相交合，才能孕育出真理?！?/p>

例如教學《乘法》，學生遇到了這樣的一道拓展題：鋸一段木頭，每鋸一段需要3分鐘，鋸5段一共需要多少分鐘。學生不加思索地回答15分鐘。對此，筆者追問學生，“真是15分鐘嗎？”引發(fā)學生深度反思。有學生認為，既然是拓展題，沒這么簡單；有學生認為，可以展開模擬操作。于是，有學生拿出自己的鉛筆作為木頭，兩只手指作為鋸子，模擬“鋸木頭”；有學生拿出草稿紙，畫出線段圖，主動用“段”“次”解決；還有學生撕出一張小紙條，快速將小紙條撕成5段，發(fā)現(xiàn)撕了4次，等等。通過操作、探究，學生發(fā)現(xiàn)鋸木頭鋸5段只鋸了4次，因此一共需要12分鐘。為了讓學生從錯誤中汲取經(jīng)驗，筆者引導學生添加反思因子：在日常生活中，還有哪些現(xiàn)象也是“鋸木頭”現(xiàn)象？一石激起千層浪，學生展開了熱烈的交流。有學生說，“爬一層樓梯需要5秒鐘，爬到5樓需要多長時間？”有學生說，“擺鐘敲一下需要2秒鐘，敲10下需要幾秒鐘？”有學生說，“公交車每15分鐘發(fā)一次車，發(fā)5輛車需要多長時間？”等等?？梢?，“間隔問題”的本質(zhì)已經(jīng)浸潤到學生的心靈深處。在這里，錯誤仿佛是一根“金拐杖”，為學生的深度探究、思考指明了方向。

學生在數(shù)學學習中直面自己的錯誤，對自己的錯誤分門別類，主動歸檔，能夠充分發(fā)揮錯誤的資源效能。教學中，教師要善于捕捉學生的錯誤，暴露出學生的錯誤，引導學生經(jīng)營自己的錯誤，讓學生找錯、辨錯、改錯。如此，學生就能將錯誤消滅于萌芽狀態(tài)，課堂就會因差錯而精彩。

二、觸摸感性錯誤，注入“理性因子”

小學階段的學生的思維主要是感性思維，感性思維往往能夠誘發(fā)學生的數(shù)學猜想，觸發(fā)學生的靈感。與此同時，感性思維由于其模糊性也容易發(fā)生錯誤。教學中，教師要引導學生觸摸感性錯誤，為感性錯誤增加理性因子。讓學生的感性猜想與學生邏輯的、分析的、線性的理性思維相互融通，從而引導學生健康用腦、和諧用腦、友善用腦。在數(shù)學學習中，教師要允許學生犯錯，呵護學生的錯誤。正如心理學家蓋耶所說的，“科學就是學習嘗試錯誤并在受到挫折時，不斷奮進的過程。誰不嘗試錯誤，不允許學生犯錯，誰就將錯過最富有成效的學習時刻。”

例如教學《運算律》，學生對于這樣的習題——“53+47-53+47”普遍認為等于0。顯然，學生受到了“簡便要求”和“運算律”的強刺激，只關(guān)注了簡便算律的形式，沒有關(guān)注簡便運算的條件、內(nèi)容，出現(xiàn)了思維短視性錯誤。基于此，筆者讓學生按照運算順序進行計算，學生自主糾錯，找出了錯誤根源。學生認為，在53和47的兩邊沒有括號，他們誤認為有括號了。顯然，學生對錯誤的分析不深刻。為此，筆者引導學生觸摸感性錯誤，為錯誤注入理性因子，引導學生再一次交流“加法交換律”“加法結(jié)合律”的運算條件、運算內(nèi)容。經(jīng)過師生的深入交流，學生理解了“加法交換律”交換的時候要連同前面的運算符號，“加法結(jié)合律”只有在連加的時候才能運用，在運用“運算律”的時候不能感情用事，而應(yīng)從多個角度來進行分析，不能看到形似的算式就直接套用。當教師為學生的感性錯誤注入理性因子后，學生的思維更縝密了，解決問題是不再急躁了，而是能多元分析、通盤考慮了。

學生的錯誤有“認知性錯誤”和“非認知性錯誤”。學生的感性錯誤更多的屬于“認知性錯誤”，如對科學知識的樸素的、零散的、非標準化的認知，對概念的理解偏差、歪曲，對解決某一類問題的思維定式等。為學生的感性認知注入理性因子，能夠拓寬學生的思維廣度，增強學生思維的深度和靈活性。

三、探尋思維缺口，催發(fā)“生成因子”

學生普遍性的錯誤容易理解，學生個體性、獨特性的錯誤更需要教師能夠探尋錯誤根源，找準學生的思維缺口，對學生的思維進行因勢利導。贊科夫認為，當學生在求知的地方和教材出現(xiàn)分歧，就是思維引導的良好時機。在教學中，當學生出現(xiàn)思維卡殼、思維與新知脫節(jié)、思維失穩(wěn)時，教師必須及時介入，對學生的數(shù)學探究進行適度干預、引導，讓學生能夠主動解決問題。教師尋找學生錯誤的拐角，能夠讓課堂生成別樣的精彩。

例如教學《長方形的周長》，學生遇到了這樣的問題：一塊長方形菜地，長5米，寬3米。四周圍上籬笆，籬笆長多少米？”絕大部分學生都能運用常規(guī)思維加以正確解決。但班上有一位學生小陸，卻是這樣解決的：5+3×2。學生紛紛認為小陸忘記了寫括號，但小陸卻陳述了理由。原來，小陸由于和奶奶在一起，曾經(jīng)幫助奶奶靠墻圍過籬笆，因此他認為可以利用墻壁圍籬笆，這樣節(jié)省材料。對于小陸的回答，筆者首先和小陸解釋，數(shù)學里圍籬笆因為沒有特殊要求，所以視同一般的圍籬笆。這里的意圖在于讓你求出長方形的周長。在找尋到小陸的思維缺口后，筆者引導學生思考：如果圍菜地，只圍3面，可以怎樣圍？學生的思維被激活了，有的認為可以將長邊靠墻，有的認為可以將短邊靠墻。據(jù)此，學生形成兩個不同的算式：5+3×2或3+5×2。對于這樣的兩道算式，學生紛紛認為“5+3×2”也就是小陸的列式方法更省材料。由于筆者抓住了學生錯誤中的閃光點，將學生錯誤向外拓展，激活了學生的創(chuàng)造性思維，促進了學生的數(shù)學素養(yǎng)的提升、發(fā)展。

著名教育家卡爾·威特認為，教育的秘訣之一就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯誤”。對于學生的錯誤，教師要找準思維缺口，找準錯因、病因，才能“對癥下藥”“藥到病除”。有時候，錯誤只是學生認知的暫時失衡，只是學生認知沖突的外化。正因為如此，錯誤常常能夠成為學生思維發(fā)展的深層動因。教師要不斷地打破學生現(xiàn)有的認知結(jié)構(gòu)，不斷促進學生的認知調(diào)整，讓學生的認知結(jié)構(gòu)不斷完善和發(fā)展。

四、引領(lǐng)動態(tài)思維，形成“辯證因子”

學生靜態(tài)的、機械的數(shù)學認知往往是死的、沒有生命力的。只有讓學生對錯誤進行正反對比，引導學生動態(tài)思維，讓學生自主識錯、自主糾錯，學生才能從外界中汲取新信息，學生的認知結(jié)構(gòu)才能主動更新，學生的認知結(jié)構(gòu)才能處于靈活、開放、聯(lián)系的狀態(tài)。教學中，教師要鼓勵學生別出心裁、敢于創(chuàng)新，鼓勵學生多角度、全方位審視“錯誤”，讓學生突破原有條件、突破鎖定的問題框框。引導學生辯駁易錯點、思辨易混點，培養(yǎng)學生的發(fā)散性、辯證性思維。

例如，一位教師執(zhí)教《平行四邊形的面積計算》，首先讓學生猜想：平行四邊形的面積應(yīng)該怎樣算？學生因為受“平行四邊形框架可以演變成長方形”的影響，紛紛認為“平行四邊形的面積等于底乘斜邊”。對此，教師拿來了平行四邊形框架，讓學生拉壓。當一位學生將長方形壓成扁扁的平行四邊形后，學生恍然大悟，平行四邊形的面積接近0，所以不可能是底乘斜邊。這是學生對自我錯誤的覺醒。這時，教師用問題引導學生深度思考：在平行四邊形拉成長方形、長方形壓成平行四邊形的過程中，什么發(fā)生了變化？什么沒有發(fā)生變化？在“變”與“不變”中引導學生展開辯證思維。有學生說，底和斜邊沒有變化，周長沒有變化，所以平行四邊形的周長與底和斜邊相關(guān)；有學生說，高和面積發(fā)生了變化，所以面積和高相關(guān)。接著，教師讓學生針對自己的合情推理展開論證，學生用“剪移拼”得出了平行四邊形的面積。

面對學生的“集體性錯誤”，教師不打斷、不責罰，而是用一個“小小的框架”讓學生動態(tài)演示，在“極限展示”（面積接近0的平行四邊形）中學生幡然醒悟。通過“變與不變”的辯證啟發(fā)，讓學生提出合情猜想，最后引導學生操作驗證。學生突破了原有的固化思維、錯誤迷思，找到了正確的問題解決路徑，錯誤的資源被充分運用。

南京大學數(shù)學教育學者鄭毓信先生說，“糾正學生的錯誤，單純依靠正面示范和反復練習是不能奏效的，最正確的做法就是要讓學生經(jīng)歷一個自我否定的過程，通過自我糾錯和自我領(lǐng)悟，完成對錯誤的超越?！卞e誤是一種寶貴的教學資源，正視學生的學習錯誤、分析學生的錯誤原因、利用學生的錯誤資源，以錯誤資源化為切入點，就能充分發(fā)展學生的數(shù)學思維素養(yǎng)。