“自動控制原理”中的頻率特性概念問題

崔建峰， 靳　鴻

(中北大學 計算機與控制工程學院， 山西 太原 030051)

0　引言

頻率特性是“自動控制原理”課程頻域部分的一個關(guān)鍵且基本的概念，具有很強的實際物理意義。對這一概念的清晰理解有助于學生后續(xù)頻域部分相關(guān)知識的學習與掌握。在眾多“自動控制原理”課程的相關(guān)教材中，多數(shù)教材均將該知識點作為獨立小節(jié)進行介紹，可見這一知識點的重要性[1-8]。

在頻率特性這一知識點的傳授過程中，筆者發(fā)現(xiàn)部分“自動控制原理”教材中對這一概念存在著定義不準確的問題，容易對學生后續(xù)知識點的學習與理解造成困惑[3-4,6-7]。本文將針對頻率特性定義展開較為詳細的討論。

1　頻率特性定義存在的問題

文獻[3]是我校計算機與控制工程學院電氣工程與智能控制專業(yè)長期選用的一本《自動控制原理》教材，該教材在講述理論的同時側(cè)重于實際應(yīng)用，選材得當，內(nèi)容詳實，主要用于工業(yè)電氣自動化專業(yè)的教學。本文以該教材相關(guān)內(nèi)容為例來說明頻率特性定義存在的問題。

在文獻[3]第五章第一節(jié)的頻率特性基本概念講述部分中，是以RC電路一階慣性系統(tǒng)為例，指出對于正弦電壓輸入：

u1=U1msinωt

(1)

系統(tǒng)所產(chǎn)生的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)為

(2)

式中φ=-arctanτω。

并據(jù)此指出，“當電路的輸入為正弦信號時，其輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(頻率響應(yīng))也是一個正弦信號，其頻率和輸入信號的頻率相同，但幅值和相角發(fā)生了變化，其變化取決于ω”；然后根據(jù)這一特征，進一步提出若把輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和輸入正弦信號用復(fù)數(shù)表示，并求它們的復(fù)數(shù)比，可以得到

(3)

式中：

接著，給出頻率特性定義，“G(jω)是上述電路的頻率響應(yīng)與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比，稱為頻率特性”。

這種頻率特性定義也在文獻[4]、文獻[6]、文獻[7]及其它一些教材中得到采用。如果通過嚴謹?shù)臄?shù)學理論推導，我們可以發(fā)現(xiàn)上述定義并不恰當。

對于RC電路系統(tǒng)的正弦輸入信號式(1)的u1，通過歐拉公式可以得到其復(fù)數(shù)表示形式：

(4)

同理，可以得到輸出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)式(2)的u2的復(fù)數(shù)表示形式：

(5)

因此，電路頻率響應(yīng)與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比應(yīng)為：

(6)

顯然，式(6)與式(3)并不等價。因此，將頻率特性定義為系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入信號的復(fù)數(shù)比顯然是不恰當?shù)?。如果學生在學習過程中根據(jù)教材推導理解物理現(xiàn)象背后的數(shù)學含義，將會形成較大的困惑，尤其在應(yīng)用輸入輸出函數(shù)形式求解系統(tǒng)頻率特性時，將可能得到錯誤的系統(tǒng)頻率特性結(jié)果。

2　準確的頻率特性定義方法

(7)

則頻率特性可以定義為系統(tǒng)正弦穩(wěn)態(tài)輸出信號的復(fù)數(shù)符號(復(fù)相量)與正弦輸入信號的復(fù)數(shù)符號(復(fù)相量)之比。

通過該定義，我們就可以將輸入輸出信號的“復(fù)數(shù)符號”與數(shù)學中的“復(fù)數(shù)”定義進行有效區(qū)分，從而使學生關(guān)注到頻率特性并不是輸入輸出信號數(shù)學意義上的復(fù)數(shù)比，而是有其特定的物理含義的，即針對特定信號(同頻率的正弦信號)，通過采用更為簡潔的記錄方法，將信號約定表征為一種復(fù)數(shù)符號后的復(fù)數(shù)符號(復(fù)相量)之比。系統(tǒng)頻率特性的實質(zhì)仍然是系統(tǒng)本身的傅里葉變換形式，頻域分析就是通過傅立葉變換反映出系統(tǒng)在頻域空間中的特征關(guān)系；但這種特征關(guān)系有著一定的物理意義，系統(tǒng)頻率特性中的“頻率”與物理可實現(xiàn)的正弦信號頻率保持著特定的聯(lián)系。如果再結(jié)合一般函數(shù)傅立葉級數(shù)展開、傅立葉變換等概念，就使學生易于理解后續(xù)諸如轉(zhuǎn)折頻率、帶寬等頻域概念。

3　結(jié)語

本文對部分“自動控制原理”教材中的頻率特性概念進行了分析與討論，指出了系統(tǒng)頻率特性并不是輸入輸出信號數(shù)學意義上的復(fù)數(shù)比，而是借用了電路理論的復(fù)數(shù)符號，然后針對同頻率正弦輸入輸出信號而定義的復(fù)數(shù)符號(復(fù)相量)比。相關(guān)內(nèi)容對進一步提高有關(guān)教材的編著質(zhì)量與教學效果有積極作用。

參考文獻:

[1]胡壽松. 自動控制原理(第5版)[M]. 北京: 科學出版社, 2007.

[2]高國燊, 余文烋. 自動控制原理(第2版)[M]． 廣州: 華南理工大學出版社，2005.

[3]夏德鈐, 翁貽方. 自動控制理論(第4版) [M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2016.

[4]盧京潮. 自動控制原理[M]. 北京: 清華大學出版社, 2013.

[5]王萬良. 自動控制原理(第2版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2014.

[6]劉明俊, 于明祁, 楊泉林. 自動控制原理(第2版)[M]. 長沙: 國防大學出版社, 2006.

[7]馮巧玲. 自動控制原理 [M]. 北京: 北京航空航天大學出版社, 2003.

[8]吳麒, 王詩宓. 自動控制原理(第2版) (上冊) [M]. 北京: 清華大學出版社, 2006.