電渣重熔過程流場和溫度場的數(shù)值模擬

韓麗輝,　于春梅,　曲明磊

(北京科技大學(xué) 冶金與生態(tài)工程學(xué)院，北京 100083)

0　引　言

電渣重熔(Electro Slag Remelting，ESR)是利用電加熱渣來重熔自耗電極進行精煉鑄錠的一種方法，它能夠有效消除偏析、縮孔、疏松等缺陷。由于存在熔滴和熔渣的冶金反應(yīng)，經(jīng)電渣重熔的鋼具有純度高、含硫低、非金屬雜質(zhì)少、鋼錠表面光潔、組織均勻致密、金相組織和化學(xué)成分均勻等優(yōu)點，因此電渣重熔技術(shù)越來越多地應(yīng)用到高溫合金、精密合金、模具鋼、航天軍用鋼等特殊鋼以及鋁、銅、銀等有色金屬合金生產(chǎn)領(lǐng)域[1,2]。在電渣重熔生產(chǎn)過程中，熔池形狀和深度影響著結(jié)晶的方向[3]；渣池溫度場及流場與自耗電極末端形狀、尺寸及熔化速度之間相互影響；供電方式、電流大小、填充比及電極浸入深度同樣影響渣池的溫度分布、金屬熔池的形成和渣皮的厚度等重要的工藝指標[4]，因此分析電渣重熔過程中的溫度場和流場對于控制相應(yīng)的工藝參數(shù)提高重熔鑄錠質(zhì)量有重要的意義。由于ESR過程處于高溫大電流環(huán)境，通過實驗測量手段對其流場溫度場進行研究存在一定困難，因此近年來國內(nèi)外許多學(xué)者通過數(shù)值模擬方法在ESR研究方面做了很多工作[5-10]。

從數(shù)值模擬方法上看，景馨等使用有限元軟件ANSYS計算電磁場和溫度場[11-14]；文獻[15-17]中利用ANSYS軟件計算出焦耳熱和洛倫茲力，將二者導(dǎo)入流體計算軟件FLUENT中，分別作為能量方程和動量方程的源項來計算溫度場和流場,沒有考慮流體運動對磁場的影響；文獻[18-19]中利用Meltflow、CAE軟件計算電磁場和溫度場；文獻[5，7，20-22]中采用有限差分方法模擬具體條件下電渣重熔過程的計算程序；文獻[7，23]中求解外加磁場二維傳輸方程，也沒有考慮流動對磁場的影響；電渣重熔體系內(nèi)流體的流動屬于磁流體流動范疇，本文采用流體計算軟件FLUENT中的磁流體模塊(Magneto hydro dynamics，MHD)，求解由于流動引起的附加磁場傳輸方程，因交變電流產(chǎn)生的外部磁場由有限元計算軟件ANSYS求解，然后通過C語言編寫的轉(zhuǎn)換程序?qū)⑼獠看艌鰯?shù)據(jù)導(dǎo)入到FLUENT中，由外部磁場和附加磁場共同產(chǎn)生的焦耳熱和電磁力作為源項加入到能量方程和動量方程中，最終由FLUENT耦合求解流場及溫度場。

1　電渣重熔過程

電渣重熔的基本原理如圖1所示。在銅制水冷結(jié)晶器內(nèi)盛有熔融的爐渣，自耗電極一端插入熔渣內(nèi)。自耗電極、渣池、金屬熔池、鋼錠、底水箱通過短網(wǎng)導(dǎo)線和變壓器形成回路。在通電過程中，渣池放出焦耳熱，將自耗電極端頭逐漸熔化，熔融金屬匯聚成液滴，穿過渣池，落入結(jié)晶器，形成金屬熔池，受水冷作用,迅速凝固形成鋼錠。在電極端頭液滴形成階段,以及液滴穿過渣池滴落階段,鋼-渣充分接觸，鋼中非金屬夾雜物及有害元素為爐渣所吸收，從而達到凈化金屬熔液的目的，同時渣池可以隔絕空氣起到精煉作用。上升的熔池在鋼錠外層形成一層薄渣殼，不僅使鋼錠表面光潔，還起到絕緣和隔熱作用，使更多的熱量向下部傳導(dǎo)，有利于鋼錠自下而上的定向結(jié)晶[23-24]，等到結(jié)晶器內(nèi)的液相完全凝固后，可以進行脫錠，完成整個生產(chǎn)過程。

圖1　電渣重熔工作原理圖

2　數(shù)學(xué)模型

數(shù)值模擬就是數(shù)值求解描述物理問題的微分或積分方程組，而數(shù)學(xué)模型就是描述物理問題的控制方程及邊界條件。描述電渣重熔過程所用基本控制方程包括麥克斯韋方程組、質(zhì)量守恒方程(連續(xù)方程)、動量守恒方程和能量守恒方程。電渣重熔與普通流動傳熱問題最大的不同在于導(dǎo)電流體內(nèi)部產(chǎn)生電磁場，流體受到電磁力并產(chǎn)生焦耳熱，流動的驅(qū)動力就是電磁力以及焦耳熱差異導(dǎo)致的浮升力，所以電磁力和浮升力以源項形式加到動量方程中，焦耳熱也以源項形式加到能量方程中。為了簡化計算過程，假設(shè)：① 忽略電極運動，電極端頭采用平頭形狀；② 側(cè)面的渣殼起到電絕緣作用；③ 渣和鋼液的密度、渣的電導(dǎo)率隨溫度變化，其他屬性均為常數(shù)[17]；④ 不考慮磁擴散的影響；⑤ 不考慮鋼錠周圍空氣隙引起的接觸熱阻；⑥ 重熔過程溫度超過居里點，鋼錠及鋼液均從鐵磁體變?yōu)轫槾朋w，相對磁導(dǎo)率為1。

2.1　電磁場控制方程

麥克斯韋方程組由如下4個方程組成[25]：

(1)

(2)

(3)

(4)

電流連續(xù)方程(電荷守恒)：

(5)

電磁場本構(gòu)關(guān)系：

(6)

D=εE

(7)

歐姆定律：

J=σE

(8)

式中：H為磁場強度，A/m；B為磁感應(yīng)強度，T；E為電場強度，V/m；D為電位移，C/m2；J為電流密度，A/m2；μ為磁導(dǎo)率，H/m；ε為電容率，F(xiàn)/m；σ為電導(dǎo)率，1/(Ω·m)；q為體電荷密度，C/m3；t為時間，s。

電渣重熔使用交流電，交變電流產(chǎn)生的磁場和電場相互影響，可用麥克斯韋方程組描述，由于渣、金屬熔池和鑄錠充分導(dǎo)電且為低頻狀態(tài)，可忽略體電荷密度和位移電流[25],式(3)忽略，式(1)變?yōu)椋?/p>

(9)

式(5)變?yōu)椋?/p>

(10)

考慮到帶電流體在磁場中的速度效應(yīng)，式(8)變?yōu)椋?/p>

J=σ(E+U×B)

(11)

式中：U為流體速度矢量，m/s。

由麥克斯韋方程組、電流連續(xù)方程及歐姆定律得到導(dǎo)電流體電磁場的磁感應(yīng)強度傳輸方程：

(12)

求解出磁感應(yīng)強度后，根據(jù)式(9)(6)求得電流密度。

如何求解磁感應(yīng)強度傳輸方程是解決電磁場問題的關(guān)鍵，考慮到磁場由外加磁場和流體運動產(chǎn)生的感應(yīng)磁場共同作用而成，得到：

B=B0+b

(13)

式中：B0為外加感應(yīng)磁場，與流體運動無關(guān)；b為由于帶電流體運動而產(chǎn)生的感應(yīng)磁場,也就是磁流體的速度效應(yīng)。

B0的傳輸方程為：

(14)

b的傳輸方程為：

(15)

外加感應(yīng)磁場B0由有限元計算軟件ANSYS通過矢量磁位法求解，磁場和電場與矢量磁位的關(guān)系[26]：

(16)

(17)

式中：A為矢量磁位，(Vs)/m；φ為標量電位，V。

利用SOLID97單元求得矢量磁位和標量電位，再由式(16)得到磁感應(yīng)強度B0。將B0的實部和虛部按照FLUENT MHD模型要求的格式導(dǎo)入到流體計算軟件FLUENT中，由FLUENT求解b的傳輸方程。在FLUENT中通過編寫UDF，求解電流密度，電磁力(洛倫茲力)及焦耳熱：

(18)

Fe=J×B

(19)

(20)

式中：Fe為電磁力，N/m3；Q為焦耳熱，W/m3。

2.2　流場控制方程

描述流體運動的連續(xù)方程和動量守恒方程在電渣重熔問題中同樣適用，只是流動主要由電磁力和浮升力引起的，屬于湍流流動，但湍流強度不大；假設(shè)粘度為常數(shù)，密度使用Boussinesq假設(shè)，該假設(shè)只是用于計算浮升力Fb，方程中其他項中的密度為常數(shù)。另外由于鋼液發(fā)生凝固，在固液兩相區(qū)流動受到阻力，作為多孔介質(zhì)區(qū)域處理(也稱焓-多孔介質(zhì)法)，所以在動量方程及湍流方程中要加上相應(yīng)的源項。

連續(xù)方程：

(21)

動量方程：

(22)

Fb=-ρ0β(T-T0)g

(23)

(24)

式中：ρ0為T0時的密度，kg/m3；T0、T分別為參考溫度和流體溫度，K；β為熱膨脹系數(shù)；μeff為有效黏性系數(shù)，kg/(m·s)；p為壓強，N/m2；q為體電荷密度，c/m3，對于高電導(dǎo)率的低頻條件，體電荷密度可忽略不計；Fe為電磁力，N/m3；g為重力加速度，m/s2；Sp為由于凝固引起的流動阻力，N/m3；fl為固液兩相區(qū)液相比例,Amush為兩相區(qū)常數(shù)，為了使液固界面清晰設(shè)為107[15]；Up為鑄錠拉速,m/s，實為渣層上升速度，該選項利于連續(xù)方程收斂，但由于數(shù)量級很小可以忽略[27]。

湍流模型主要用來計算有效粘性系數(shù)，選擇RNGk-ε湍流模型及提高型近壁面函數(shù)，該模型適用于低雷諾數(shù)的湍流流動。計算域中包括渣和鋼液屬于多相流，選擇VOF模型，該模型適合于兩相間有明顯的分界面，針對第二相求解體積比傳輸方程，兩相的體積比之和為1，設(shè)鋼液為第二相。表面張力影響著液滴的形成和鋼渣界面形狀，采用連續(xù)性表面張力模型。

2.3　能量方程

通過求解能量方程得到溫度場。由于發(fā)生相變，焓中要考慮凝固釋放的潛熱，固液模糊區(qū)的焓值通過液相比例設(shè)定。焦耳熱作為源項加到能量方程中，

(25)

H=h+flL

(26)

(26)

fl=(T-TS)/(TL-TS)

(27)

式中：keff為有效導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)，href為參考溫度下的參考焓值，J/kg；L為鋼液凝固釋放出來的潛熱，J/kg；Cp為鋼液比熱，J/(kg·K)；TS鋼液固相線溫度，K；TL鋼液液相線溫度，K。

2.4　邊界條件

ANSYS求解外加電磁場，利用矢量磁位法將xyz3個方向上的磁位和電位作為未知量，電極、渣、鋼以及外圍空間為計算域。電極一端為電流邊界條件，耦合該面上電壓，鋼錠底部電壓約束為0，周圍空間外表面為磁力線平行邊界條件。

用FLUENT進行多物理場耦合計算，計算域不包含電極部分，只包含渣池和金屬域。以電極與渣池接觸面為液態(tài)金屬速度入口邊界，溫度高出液相線溫度20 K。雖然金屬熔池的焦耳熱是周期性變化的，但因其周期很短(為0.02 s)，可以認為金屬熔滴是勻速滴落的；取鋼錠下表面為流量出口邊界；渣池與空氣接觸面采用剪應(yīng)力為零邊界條件，換熱方式為對流和輻射混合模式；其他面為墻壁，采用無滑移壁面邊界條件，換熱采用對流換熱。在FLUENT中通過自定義標量(UDS)求解由于流體運動產(chǎn)生的感應(yīng)磁場，壁面為絕緣壁。邊界條件參數(shù)見表1。

表1　邊界條件具體參數(shù)

3　模型調(diào)試

3.1　幾何模型及網(wǎng)格劃分

ANSYS計算域包括電極、渣池、金屬鑄錠及其周圍空間，如圖2、3所示。取空間半徑約為渣池半徑的10倍左右，電極高度對計算結(jié)果影響不大。電極、渣池及金屬鑄錠為核心計算域，為了減少計算量，核心域網(wǎng)格尺寸比外圍空間小得多。核心域采用SWEEP方式劃分六面體(HEX)網(wǎng)格，網(wǎng)格尺寸10 mm；外圍空間采用四面體網(wǎng)格，網(wǎng)格尺寸0.1 m。FLUENT計算域只包括渣池和鑄錠，全部為六面體網(wǎng)格。幾何模型尺寸：電極直徑為55 mm；鑄錠直徑為0.12 m；外圍空間直徑為1.2 m；渣池高度為60 mm；鑄錠高度為0.215 m；電極浸入深度為2 mm；電極高度為0.1 m。

圖2　ANSYS計算域幾何模型圖3　FLUEN計算域幾何模型

3.2　MHD模型及外加磁場導(dǎo)入轉(zhuǎn)換

FLUENT中的MHD模型包括兩種求解電磁場方法，一是磁感應(yīng)法，求解由于流體運動引起的感應(yīng)磁場；二是電位法，忽略流體運動引起的感應(yīng)磁場，且外加磁場是由直流電場產(chǎn)生的靜態(tài)磁場。電渣重熔使用交流電，且考慮磁流體的速度效應(yīng)，屬于流動導(dǎo)體介質(zhì)內(nèi)的磁感應(yīng)問題。通過定義自定義標量uds-0(bx)、uds-1(by)、uds-2(bz)，求解其傳輸方程，再通過自定義函數(shù)UDF求解電場強度、電磁力以及焦耳熱等并存儲在自定義內(nèi)存(UDM)中。FLUENT耦合求解多個控制方程，其求解機理見文獻[28]。

外加磁場由ANSYS計算得到，MHD模型需要的實部虛部數(shù)據(jù)，所需數(shù)據(jù)域為一個立方體，該立方體的大小要把FLUENT計算域包含在內(nèi)。立方體需要劃分多個網(wǎng)格，其網(wǎng)格尺寸與ANSYS網(wǎng)格尺寸差不多。立方體大小的定義、網(wǎng)格劃分以及得到每個網(wǎng)格節(jié)點的磁場數(shù)據(jù)都由C語言編寫的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換程序完成。圖4中C為立方體中任意網(wǎng)格，其磁場數(shù)據(jù)可由加權(quán)法或插值法得到，兩種方法得到的磁場數(shù)據(jù)基本相同，見圖5、6。

圖4　數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換示意圖

加權(quán)法認為一個網(wǎng)格內(nèi)包含有多個ANSYS節(jié)點數(shù)據(jù)，網(wǎng)格中心磁場由這些點疊加得到，且離中心越遠的貢獻的磁場越小，權(quán)重與距離倒數(shù)成正比：

(28)

(29)

式中：BC為網(wǎng)格中心磁場數(shù)據(jù)；Bi為Pi點磁場數(shù)據(jù)，由ANSYS計算得到；vi為Pi點權(quán)重，Li為Pi點到網(wǎng)格中心的距離，m。

圖5　加權(quán)法得到的磁場數(shù)據(jù)圖6　插值法得到的磁場數(shù)據(jù)

插值法即定義好網(wǎng)格C的中心點坐標后，找到其周圍8個方向上離中心最近的8個點進行插值。如點pmp的順序為xyz，p表示增加方向(plus)，m表示減小(minus)，pmp表示x方向增加、y方向減小、z方向增加。找到8個點后進行插值，插值順序從邊長小的方向開始，如△x<△y<△z,插值則先從x方向插值，得到1、2、3、4個點的值；再進行y方向插值，由1、2得到5點值，由3、4得到6點值；最后z方向插值，由5、6得到網(wǎng)格中心的值。1點的插值式為：

(30)

其他點雷同。

式中Bmpm及Bppm為mpm點和ppm點的磁場數(shù)據(jù)，由ANSYS計算得到。

3.3　關(guān)鍵參數(shù)

渣池內(nèi)熱浮升力的計算采用Boussinesq模型，需要設(shè)置參考溫度以及該溫度下熔渣的參考密度，參考溫度設(shè)置的是否合理將影響流場分布[29]。時間步長影響液滴形成及低落過程，一般采用較小的時間步長，如0.001。金屬的導(dǎo)熱系數(shù)影響溫度場的分布，最終會影響金屬熔池的形貌，文中采用piecewise-polynomial方法將固、液兩相區(qū)域分開設(shè)置。渣池焦耳熱與電渣的電導(dǎo)率有關(guān)，電導(dǎo)率隨溫度變化而變化，最終會影響溫度場的分布。具體物性參數(shù)見表2。

3.4　初始化

合理的初場設(shè)置有利于控制方程的收斂并縮短計算時間，采用hybrid方式初始化有利于得到合理的速度初場。因外加磁場產(chǎn)生的焦耳熱是周期性變化的，沒有必要進行溫度初場的計算，直接采用較小時間步長(步長可為周期的1/20)同時計算所有方程。

4　結(jié)果分析

4.1　MHD模型

MHD模型的計算結(jié)果中包括外加磁場、由于運動產(chǎn)生的磁場、電流密度、電場及洛倫茲力及焦耳熱，見圖7～12。從結(jié)果中可以看出電流密度和外加磁場方向符合右手螺旋定則，洛倫茲力與電流方向及磁場方向之間符合右手定則；電場強度方向與電流方向一致，由于金屬的電導(dǎo)率要比電渣的電導(dǎo)率大得多，所以金屬域的電場強度要遠遠小于渣池的電場強度；由于某點磁場是電荷在該點產(chǎn)生的磁場疊加合成，從圖7中可以看出沿半徑方向磁感應(yīng)強度增加且呈線性變化，由于集膚效應(yīng)進入到熔池的電流密度在徑向分量可以忽略，另外由于渦流效應(yīng)渣池部分的磁感應(yīng)強度大于鋼錠部分的磁感應(yīng)強度[12]；從圖8可以看出，由于流體在磁場中的運動而產(chǎn)生的附加磁場同外加磁場相比很小很小，完全可以忽略不計，其磁雷諾數(shù)為4.16×10-5，符合文獻[7]中當磁雷諾數(shù)遠遠小于1時不考慮運動附加磁場的結(jié)論；從圖9可以看出，電流進入到熔池后，流經(jīng)渣池、金屬熔池、鋼錠后返回到變壓器，在渣域由于金屬熔滴電阻遠小于渣池電阻，所以熔滴電流密度較大；從圖11可以看出，洛倫茲力方向指向?qū)ΨQ軸，且在電極底部周圍附近最大，越靠近對稱軸越小，有利于渣池形成中間向下四周向上的漩渦流動；從圖12可以看出，在渣池內(nèi)電極下方位置的焦耳熱最大，從而有利于自耗電極的熔化滴落，另外金屬域的焦耳熱要比電渣域的小的多，這是因為金屬的電阻遠遠小于電渣的電阻；文中MHD模型計算結(jié)果與文獻[23]基本一致。

表2　物性參數(shù)表

圖7　外加磁場矢量圖圖8　流動附加磁場矢量圖

圖9　電流密度矢量圖圖10　電場強度矢量圖

圖11　洛倫茲力矢量圖圖12　焦耳熱云圖

4.2　流場及熔滴

渣池內(nèi)的流動主要由洛倫茲力和浮升力引起，圖13為渣池流動的速度場。從圖中可以看出，由洛倫茲力引起的渣的流動呈漩渦狀，中間部分向下四周向上，

圖13　渣池速度場

且在電極底部周圍附近速度較大，洛倫茲力的攪拌效果增強，有利于熔池加深及渣池溫度均勻化[18]；金屬熔池內(nèi)也有漩渦狀流動，流動與其上部渣池漩渦流動方向相反，是交界面的渣和滴落的鋼液從內(nèi)向外的流動引起的熔池漩渦，洛倫茲力對金屬熔池影響很小；在靠近壁面處存在流速向下的漩渦流動，這是由于近壁面處溫度較低內(nèi)外部密度差形成的浮升力所引起的漩渦流動，該渦流方向與洛倫茲力引起的渦流流動方向相反；在液滴的帶動下，在靠近中心處的渣速變大。

圖14為金屬熔滴在不同時刻形成長大滴落過程。在焦耳熱的作用下，自耗電極端頭開始熔化，液態(tài)金屬從端頭周圍向中心聚集，在重力、表面張力以及洛倫茲力的的共同作用下形成熔滴。熔滴經(jīng)過長大、脫離母體、分散成小熔滴、緩慢穿透渣層等過程進入到金屬熔池，并在渣金界面引起擾動。

t=1st=1．2st=1．3st=1．4st=1．5s

圖14熔滴滴落過程

4.3　溫度場及凝固

從計算中可知傳熱過程在1 840 s之后基本趨于穩(wěn)定，圖15為1 848 s時的溫度場。由于焦耳熱的不同，造成金屬域和渣域溫度場差距很大，在電極底端周圍電渣溫度較高，另外由于洛倫茲力引起的漩渦流動使得渣池上部電極下方保持一個較高溫度區(qū)域，這樣有利于電極熔化。在金屬熔池下方鋼錠區(qū)域，金屬內(nèi)部傳熱為導(dǎo)熱，壁面與外界傳熱為對流，等溫線呈階梯狀變化，鋼錠底部周邊溫度最低。圖16為1 848 s時金屬熔池剖面形貌圖，熔池深度約40 mm，從中心到壁面凝固邊界由兩端弧線組成，在靠近壁面處弧線緩慢降低，拐點之后弧度變大，中心部位較平幾乎沒有弧度。

圖15　熔池溫度場圖16　金屬熔池剖面形貌圖

5　結(jié)　語

電渣重熔的流場和溫度場數(shù)值計算，其重點是如何解決由電磁場引起的洛倫茲力和焦耳熱對流動和傳熱的影響。文中應(yīng)用FLUENT軟件的MHD模型中在流動導(dǎo)體內(nèi)外加磁場法，求解由于磁流體運動而產(chǎn)生的附加磁場傳輸方程，并將洛倫茲力和焦耳熱分別作為源項加入的動量方程和能量方程中。其外部磁場由ANSYS軟件通過矢量磁位法計算得到，使用插值法或加權(quán)法編寫磁場數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換程序?qū)氲組HD模型中。使用VOF模型進行渣金界面跟蹤，渣池?zé)岣∩Σ捎肂oussinesq模型，用焓-多孔介質(zhì)法處理金屬凝固模糊區(qū)，最后進行多方程同時耦合求解。

計算結(jié)果表明，由于磁流體運動引起的附加磁場很小很小，可以忽略不計，所以計算電渣重熔的電磁場時可以不考慮速度效應(yīng)；渣池內(nèi)流動主要受洛倫茲力的影響，熱浮升力只對近壁面處流動產(chǎn)生影響；電磁場產(chǎn)生的焦耳熱在渣域遠遠大于金屬域，渣池大量的焦耳熱足以熔化自耗電極，形成穩(wěn)定的金屬熔滴不斷滴落；非穩(wěn)態(tài)計算在1 840 s之后在溫度場接近穩(wěn)定，金屬熔池形成穩(wěn)定的凝固邊界。

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