基于Hankel矩陣SVD算法的去噪研究

崔少華，　單　巍，　方振國

(淮北師范大學 物理與電子信息學院， 安徽 淮北 235000)

0　引　言

地震資料由于地質(zhì)原理造成采集到的數(shù)據(jù)資料中含有大量的隨機噪聲和干擾，因此對采集數(shù)據(jù)進行處理之前必須進行去噪處理。奇異值分解(Singular Value Decomposition ,SVD)正是一種有效對地震資料去噪的濾波算法，但是在實際應用中，SVD算法對于相關(guān)性強的水平同相軸去噪效果最佳，對于相關(guān)性減弱的傾斜同相軸去噪效果不明顯[1]。而基于Hankel矩陣的SVD算法利用Hankel矩陣的特性，將數(shù)據(jù)逐道排列為Hankel矩陣，對排列好的矩陣進行SVD分解去噪，這種算法可以增強傾斜同相軸的自相關(guān)性，從而改善SVD對于傾斜同相軸的去噪效果[2]。本文采用實際模型對SVD濾波算法和Hankel矩陣濾波算法進行驗證并對比。實驗結(jié)果表明，Hankel矩陣濾波算法可以明顯增強含有大傾角的混合數(shù)據(jù)的去噪效果，但同時也會相對減弱水平同相軸的去噪效果。

1　算法原理

1.1　SVD算法

SVD算法利用矩陣變換，將m×n維的觀測數(shù)據(jù)矩陣X分解為[3]：

(1)

若U=[u1,u2,…,um]，V=[v1,v2,…,vn]，則式(1)可寫為：

(2)

1.2　Hankel矩陣變換

將一維含噪信號x=[x1,x2,…,xm]變換為如下矩陣的形式[6]：

(3)

則H就是一個Hankel矩陣，該矩陣每條反對角線上的元素均相同，且將第一行與最后一列上的元素連接起來，就構(gòu)成原始一維信號x。對矩陣H進行擴展：

(4)

令xi=si+ni(i=1,2,…,m)，其中si為有效信號，ni為隨機噪聲，則H可重寫為[10]：

(5)

式(5)將矩陣H表示為有效信號和噪聲信號之和，由于信號自身存在自相關(guān)性，所以有效信號矩陣各道之間存在相關(guān)性，而理想隨機噪聲是統(tǒng)計獨立的，所以噪聲矩陣各道之間不存在相關(guān)性[11]。對矩陣H進行SVD[12]：

(6)

2　去噪模型

構(gòu)造一個含有3條同相軸的二維地震記錄，其中2條是水平同相軸，另外1條是傾斜同相軸，地震子波采用50 Hz的Ricker函數(shù)，時域每道500個點共200道，采樣間隔為1 ms，如圖1所示。圖2和圖3為SVD濾波算法的去噪結(jié)果，其中重構(gòu)本征圖像個數(shù)p=50；圖4和圖5為基于Hankel矩陣的去噪算法的結(jié)果。

圖1　原始數(shù)據(jù)

圖2　SVD去噪結(jié)果

圖3　SVD去除噪聲

從圖3可知，對于含有大傾角同相軸的地震記錄，多道SVD濾波算法的效果下降，傾斜同相軸的保真性和去噪的性能之間形成了不可調(diào)和的矛盾[15]。為了保證去噪的效果必須丟掉更多的本征圖像，這時就不可避免地會對傾斜同相軸造成損傷。在圖3中可以很明顯地看到去除噪聲中含有傾斜同相軸的能量；若為了保真傾斜同相軸重構(gòu)時留下較多的本征圖像，那么就達不到去噪的目的。這是時域SVD去噪算法的一個通病。

圖4　基于Hankel矩陣的算法結(jié)果

圖5　Hankel矩陣去除噪聲

由圖4可知，基于Hankel矩陣的濾波算法較好地重構(gòu)了大傾角的同相軸，同時也去掉了很多的隨機噪聲。但由圖5可知，去除噪聲中依然殘留有部分傾斜同相軸的能量，因為基于Hankel矩陣的濾波算法對數(shù)據(jù)相關(guān)性的提高是有限的，并不能將傾斜同相軸的相關(guān)性提高到和水平同相軸相同的高度。假如將傾斜同相軸數(shù)據(jù)完全平移成為水平的，那么同時會導致式(5)中矩陣H的各道噪聲也完全相同，矩陣的秩變?yōu)?，就無法進行去噪了。由圖5還可知，去除噪聲中含有少部分水平同相軸的能量，說明基于Hankel矩陣的濾波算法對水平同相軸造成了一定的傷害。

3　結(jié)　語

基于Hankel矩陣的SVD算法對于傾斜同相軸的去噪效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)SVD算法，但在含有水平同相軸和傾斜同相軸的地震資料中，Hankel矩陣改善傾斜同相軸去噪效果時，由于對水平同相軸也進行了平移處理，所以一定程度上降低了水平同相軸的處理效果，因此基于Hankel矩陣的算法并沒有從根本上解決傾斜同相軸的去噪問題。

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