確定壓裂裂縫部分閉合的現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析方法及應用

嚴謹 程時清 鄭榮臣 王樹平 史文洋 張郁哲 李鼎一

1.中國石化石油勘探開發(fā)研究院；2.中國石油大學（北京）油氣資源與探測國家重點實驗室；3.中國石油大學（北京）

致密氣藏儲層致密，孔隙度和滲透率低，氣井不能自然建產(chǎn)，需要水力壓裂改善近井地帶滲透能力。為了評價壓裂效果、預測氣井產(chǎn)量，開展壓裂井的產(chǎn)量遞減分析顯得至關重要。

目前常用的氣井產(chǎn)量遞減分析方法主要有Arps產(chǎn)量遞減分析以及現(xiàn)代遞減分析方法。1945年，Arps［1］首先提出了傳統(tǒng)的Arps遞減曲線分析方法。隨后Fetkovich［2］建立了一套類似于試井分析的雙對數(shù)產(chǎn)量遞減曲線圖版擬合分析方法。90年代中期，Blasingame［3］引入了規(guī)整化產(chǎn)量和物質平衡擬時間來解決變井底流壓問題。1998年，Agarwal［4］在Blasingame遞減方法的基礎上，利用不穩(wěn)定試井分析無量綱參數(shù)來降低多解性。2002年，Pratikno等［5］通過圖版擬合來確定壓裂井裂縫與地層參數(shù)，預測產(chǎn)量變化。2011年，焦春艷等［6］建立了考慮人工裂縫長期導流能力變化的數(shù)學模型，應用數(shù)值模擬方法研究了模型的產(chǎn)量遞減規(guī)律。2013年，郭建春等［7］將裂縫水平剖面假設為楔形，基于壓降疊加原理和直接邊界元法建立了擬穩(wěn)定狀態(tài)下楔形垂直裂縫壓裂井產(chǎn)量預測模型。2016年，Huang等［8-9］針對這種裂縫部分閉合的現(xiàn)象提出了裂縫分段產(chǎn)液的試井模型，用裂縫流量的不均勻分布來描述壓裂縫不均勻閉合特征。2017年，He［10-12］建立了多段壓裂水平井不均勻產(chǎn)油試井模型，并提出了較詳細的參數(shù)解釋方法。

蘇里格、大牛地等致密氣藏大量試井解釋和產(chǎn)量遞減分析解釋的裂縫半長遠遠小于壓裂工藝設計長度，這種現(xiàn)象與壓裂裂縫部分閉合導致的裂縫流量不均有關。本文考慮裂縫部分閉合和不均勻產(chǎn)氣，進行了壓裂井的產(chǎn)量遞減分析方法研究。

1 考慮裂縫流量不均的壓裂井產(chǎn)量遞減模型

1.1 物理模型

均質地層中心一口壓裂井，定產(chǎn)生產(chǎn)。設x軸為壓裂縫延伸方向，z軸為直井井筒方向，如圖1所示。原始地層壓力為pi，綜合壓縮系數(shù)為Ct，地層孔隙度為φ，流體黏度為μ，有效厚度為h，地層滲透率為k，裂縫半長為xf，忽略裂縫寬度。

圖1 考慮裂縫流量不均的壓裂井物理模型Fig.1 Physical model in consideration of nonuniform flow rate in fractures for fractured wells

基本假設條件為：（1）儲層上下具有封閉邊界，水平方向上具有圓形封閉邊界；（2）將裂縫分為n個部分，長度分別為xf1，xf2，…，xfn，由于裂縫部分閉合流量不均勻，流量分別為q1/2，q2/2，…，qn/2；（3）裂縫為無限導流裂縫，將每段裂縫視為流量一定的條帶源；（4）只考慮流體從基質流向裂縫；（5）只考慮單相流體，忽略重力和毛細管力的影響；（6）存在圓形封閉邊界，邊界半徑為re。

1.2 數(shù)學模型

定義下列無量綱量：

無量綱二維坐標

近井段無量綱裂縫長度

近井段無量綱裂縫產(chǎn)量

無量綱邊界半徑

無量綱時間

引入氣體擬壓力函數(shù)

無量綱井底壓力

對無限大空間點源解積分得到無限大空間的線源解，再對無限大空間線源解積分得到無限大空間條帶源解。對于頂?shù)追忾]，貫穿且垂直于整個儲層的裂縫可看作是長為裂縫長度、寬為裂縫高度的條帶源［12］。以裂縫段數(shù)n=2為例，即裂縫分為近井高導流能力裂縫段和遠井低導流能力裂縫段，根據(jù)疊加原理對各個裂縫段產(chǎn)生的壓力響應進行疊加，得到考慮裂縫流量不均勻的壓裂井瞬時壓力變化［13］

其中

當xD=yD=0時，即可得到井底瞬時壓力變化。壓裂液在地層中的殘留情況以及地層壓力降低等因素會導致裂縫閉合、導流能力降低。采用裂縫的表皮因數(shù)來表示附加的壓力降。表皮因數(shù)記為S，代入式（8），得到考慮表皮效應的井底瞬時壓力變化

拉氏空間下，圓形封閉邊界對井底壓力的影響表示為［14］

式中，I0（x）為零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，I1（x）為一階第一類修正貝塞爾函數(shù)，K1（x）為一階第二類修正貝塞爾函數(shù)。

根據(jù)疊加原理，拉氏空間下圓形封閉地層考慮裂縫流量不均的壓裂井井底壓力解為

Van Everdingen和Hurst等［15-16］指出，拉氏空間下定產(chǎn)壓力解與定壓產(chǎn)量解具有一定的代數(shù)關系

對式（12）進行Stehfest數(shù)值反演，得到真實空間下考慮井筒儲集和表皮的壓裂井井底不穩(wěn)定產(chǎn)量解。依據(jù)Blasingame產(chǎn)量遞減分析原理，可得到規(guī)整化產(chǎn)量qDd、規(guī)整化產(chǎn)量積分qDdi、規(guī)整化產(chǎn)量積分導數(shù)qDdid和物質平衡擬時間tcDd的表達式，進而繪制壓裂井產(chǎn)量遞減典型圖版。其中，qDd=qDbDpss，對于無限導流裂縫井，bDpss參數(shù)與時間無關，是reD的函數(shù)［17］

2 典型圖版及參數(shù)敏感性分析

根據(jù)Blasingame產(chǎn)量遞減原理可得到規(guī)整化產(chǎn)量、規(guī)整化產(chǎn)量積分和規(guī)整化產(chǎn)量積分導數(shù)與物質平衡時間的關系，進而繪制裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線，如圖2所示。在不穩(wěn)定流階段曲線受參數(shù)變化影響較大，但在邊界控制流階段，各參數(shù)敏感性較差。下面主要分析儲層邊界半徑reD、近井段裂縫長度xf1D、近井段裂縫流量q1D等參數(shù)對壓裂井不穩(wěn)定產(chǎn)量遞減的影響。

圖2 考慮裂縫流量不均的壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線Fig.2 Typical production decline curve of fracture well in consideration of nonuniform flow rate in fractures

2.1 邊界半徑

假設近井段無量綱裂縫長度xf1D為0.4，近井段無量綱裂縫產(chǎn)量q1D為0.6，無量綱邊界半徑reD分別取10、50、100、1 000，其中reD=1 000接近邊界無窮大的情況，繪制裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線，無量綱邊界半徑reD的大小影響擬穩(wěn)定流階段的開始時間。如圖3所示，虛線為不穩(wěn)定流階段特征曲線切線，無量綱邊界半徑增大時，規(guī)整化產(chǎn)量積分導數(shù)qDdid特征曲線在不穩(wěn)定流階段曲線切線斜率變小，說明遞減趨勢逐漸趨于平緩。

圖3 不同無量綱邊界尺寸產(chǎn)量下考慮裂縫流量不均的壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線Fig.3 Typical production decline curve of fracture well in consideration of nonuniform flow rate in fractures for different dimensionless production rates at the boundary size

2.2 近井段裂縫長度

假設無量綱邊界半徑reD為10，近井段無量綱裂縫流量q1D為0.6，近井段無量綱裂縫長度分別取0.2和0.4，繪制裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線。如圖4所示，xf1D值越小，壓裂縫閉合段越長，產(chǎn)量遞減速率越快；裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減曲線位于常規(guī)壓裂井產(chǎn)量遞減曲線下方，早期線性流階段產(chǎn)量遞減速率低于常規(guī)壓裂井30%～50%；擬穩(wěn)態(tài)階段后，2種模型的曲線趨于重合。

2.3 近井段裂縫流量

圖4 不同無量綱近井段裂縫長度下考慮裂縫流量不均的壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線Fig.4 Typical production decline curve of fracture well in consideration of nonuniform flow rate in fractures for different dimensionless fracture lengths near the well

假設無量綱邊界半徑reD為10，無量綱近井段裂縫長度xf1D為0.4，無量綱近井段裂縫流量q1D分別取0.4和0.8，繪制裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線（見圖5）。

圖5 不同無量綱近井段裂縫產(chǎn)量下考慮裂縫流量不均的壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線Fig.5 Typical production decline curve of fracture well in consideration of nonuniform flow rate in fractures for different dimensionless fracture production rates near the well

由圖5可看出，q1D的敏感性與xf1D正好相反，隨著q1D的不斷增大產(chǎn)量遞減速率加快；當q1D足夠小時，不穩(wěn)定階段的早期線性流消失。因為q1D足夠小表示儲層向近井段裂縫幾乎不供液，近井段裂縫相當于井筒的一部分，因此早期線性流特征消失，這也是與常規(guī)壓裂井產(chǎn)量遞減曲線的明顯區(qū)別之一。

3 模型擬合方法

裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減曲線擬合分析步驟如下。

步驟1：計算物質平衡時間。

步驟2：計算規(guī)整化產(chǎn)量、規(guī)整化產(chǎn)量積分和規(guī)整化產(chǎn)量積分導數(shù)。

氣井的規(guī)整化產(chǎn)量為

氣井的規(guī)整化產(chǎn)量積分為

氣井的規(guī)整化產(chǎn)量積分導數(shù)為

步驟3：在雙對數(shù)圖上分別繪制出規(guī)整化產(chǎn)量、規(guī)整化產(chǎn)量積分和規(guī)整化產(chǎn)量積分導數(shù)與物質平衡時間的曲線，同時將3組曲線與某一xf1D和q1D值的理論圖版曲線進行擬合，使得每組曲線盡量都能獲得較好的擬合。

步驟4：根據(jù)擬合結果記錄無量綱邊界半徑reD，并計算出bDpss。

步驟5：選擇一個擬合點，記錄實際擬合點（tc，q/dp）M以及相應的理論擬合點（tcDd，qDd）M。若已知氣藏厚度、綜合壓縮系數(shù)、井徑，則可計算儲層滲透率、表皮因數(shù)、井控面積、儲量及閉合程度等參數(shù)。

通過以上參數(shù)解釋的步驟可以編制歷史擬合計算程序實現(xiàn)自動擬合，從而求出所需參數(shù)。在實際應用中為了提高擬合速度和降低擬合結果的多解性，在擬合之前需要進行初始值計算。先利用常規(guī)壓裂井模型擬合出一個結果，將此結果作為近井段裂縫參數(shù)的初值擬合值，再給定近井段裂縫長度和裂縫流量一個梯度擾動進行計算，根據(jù)擬合誤差確定擬合參數(shù)值。由于初始值給定范圍合理，擬合速度和準確性能得到有力保障。

4 實例分析

利用裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減模型，對蘇里格、大牛地氣田的大批量氣井進行了產(chǎn)量遞減分析，選取其中一口壓裂氣井D1-1-24進行分析舉例。該井于2004年12月27日完井，盒3氣層（2 659.2～2 666.7 m，2 673.1～2 677.5 m）測井解釋為孔隙度7.8%、滲透率0.93 mD、含氣飽和度78%的工業(yè)氣層，2005年3月對盒3氣層進行射孔壓裂作業(yè)，儲層及流體等基礎參數(shù)如表1所示。

表1 儲層及流體等基礎參數(shù)Table 1 Basic parameters of reservoir and fluid

繪制規(guī)整化產(chǎn)量、產(chǎn)量積分和積分導數(shù)與物質平衡時間的實際曲線，分別與常規(guī)壓裂井Blasingame理論圖版和本文模型產(chǎn)量遞減典型圖版擬合。通過多組xf1D和q1D理論圖版對比發(fā)現(xiàn)，xf1D=0.4、q1D=0.6時的典型圖版中，reD=5的曲線擬合效果較好，裂縫解釋結果如表2所示，擬合結果如圖6所示。

表2 本文遞減模型與常規(guī)壓裂井遞減模型解釋結果對比Table 2 Comparison of the results of the decrement model and the conventional fracturing well reduction model

圖6中藍色的曲線為常規(guī)壓裂井模型的典型圖版，紅色的曲線為裂縫部分閉合壓裂井產(chǎn)量遞減典型圖版，可以看出本文模型擬合效果比常規(guī)模型擬合效果更好。本文模型擬合近井段裂縫半長xf1=41.2 m，遠井段裂縫半長xf2=61.8m，總裂縫半長達到103 m，與常規(guī)方法解釋結果69.9 m相比，更符合壓裂施工設計值（121 m）。因此考慮裂縫部分閉合壓裂井遞減模型與常規(guī)模型相比，可以確定壓裂縫部分閉合后每段裂縫長度，可以更加準確地預測壓裂氣井產(chǎn)量變化的趨勢。

圖6 考慮裂縫流量不均的壓裂井產(chǎn)量遞減典型曲線擬合結果Fig.6 Fitting result of typical production decline curve of fractured well in consideration of nonuniform flow rate in fractures

5 結論

（1）考慮裂縫部分閉合情況，建立了壓裂井在圓形封閉地層中的產(chǎn)量遞減模型，通過Newman乘積及拉氏反演方法，得到壓裂井不穩(wěn)定產(chǎn)量解析解。

（2）在考慮裂縫流量不均的壓裂井產(chǎn)量遞減模型中，xf1D值的越小，裂縫閉合程度越嚴重，產(chǎn)量遞減速率越快，井的產(chǎn)量越低；q1D足夠小時，不穩(wěn)定階段的早期線性流消失。與常規(guī)壓裂井模型相比，考慮裂縫流量不均的壓裂井線性流階段產(chǎn)量遞減速率偏低30%～50%，進入邊界控制流階段后，兩者遞減速率接近。

（3）考慮裂縫部分閉合的壓裂井產(chǎn)量遞減模型解釋的裂縫長度較常規(guī)方法解釋結果更加符合壓裂設計參數(shù)值，同時能夠確定壓裂縫部分閉合后每段裂縫長度，更加準確地預測壓裂氣井產(chǎn)量變化的趨勢。

符號說明：

A為井控面積，m2；Bg為氣體體積系數(shù)；Bgi為氣體原始體積系數(shù)；Ct為巖石綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；Cg為氣體壓縮系數(shù)，MPa-1；G為動態(tài)儲量，108m3；h為氣藏厚度，m；k為地層滲透率，mD；psc為標況下壓力，MPa；pi為原始地層壓力，MPa；pw為井底壓力，MPa；ppi為原始地層擬壓力，MPa2/（mPa·s）；ppw為井底擬壓力，MPa2/（mPa·s）；pwD為無量綱井底壓力；（pwD）t為無量綱井底壓力響應；（pwD）b為邊界對于井底的無量綱壓力響應；q為裂縫總產(chǎn)量，m3/d；q1為近井段裂縫產(chǎn)量，m3/d；q2為遠井段裂縫產(chǎn)量，m3/d；q1D為近井段無量綱裂縫產(chǎn)量；q2D為遠井段無量綱裂縫產(chǎn)量；qDd為規(guī)整化產(chǎn)量；qDdi為規(guī)整化產(chǎn)量積分；qDdid為規(guī)整化產(chǎn)量積分導數(shù)；rw為井筒半徑，m；re為泄氣半徑，m；reD為無量綱泄氣半徑，m；S為表皮因數(shù)；Sw為地層含水飽和度；Swi為原始含水飽和度；t為氣井生產(chǎn)時間，d；tD為無量綱時間；tcDd為物質平衡擬時間；T為地層溫度，K；Tsc為標況下溫度，K；u為拉氏變換變量；xD為無量綱橫坐標；xf為裂縫半長，m；xf1為近井段裂縫半長，m；xf2為遠井段裂縫半長，m；xf1D為近井段無量綱裂縫半長；xf2D遠井段無量綱裂縫半長；yD為無量綱縱坐標；Z為氣體壓縮因子；φ為地層孔隙度；μ為氣體黏度，mPa·s。