復雜邊界條件下圓柱殼—環(huán)板耦合結構振動特性分析

石先杰　李春麗　蔣華兵

摘要：采用譜幾何法（Spectro-Geometric Method，SGM）構建了復雜邊界條件/耦合條件下圓柱殼-環(huán)板耦合結構動力學特性預報模型，并分別對各自外在邊界和二者之間的耦合邊界進行建模。耦合邊界通過設置具有線性剛度和旋轉剛度的三維彈性耦合器模擬結構之間的各類耦合效應。圓柱殼和環(huán)板的振動位移容許函數(shù)被統(tǒng)一地描述為一種譜形式的改進三角級數(shù)。應用哈密爾頓原理從能量的角度推導耦合結構系統(tǒng)的特征方程。將此方法獲得的結果與文獻解及有限元結果進行對比，驗證了分析模型的有效性。

關鍵詞：結構振動；復雜邊界條件；圓柱殼；耦合結構；譜幾何法

中圖分類號：0327；TB532 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0118-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.014

引言

在實際的工程應用領域中，圓柱殼-環(huán)板耦合結構往往是一種更為符合實際的基本結構單元。當彈性板與圓柱殼存在耦合連接時，由于組成耦合結構的子構件之間存在能量流動和傳遞，從而使得圓柱殼-環(huán)板耦合結構的動力學特性變得更加復雜。然而，對這類耦合結構的相關動力學特性開展研究工作對一些實際工程應用具有重要的理論價值。因此，國內(nèi)外專家學者就圓柱殼一板耦合結構的動力學問題進行了一系列的研究工作。

White采用平均能量和能量流法開創(chuàng)性地對帶有端板的圓柱殼結構聲傳遞特性進行了相關研究。他還通過相關物理實驗驗證了理論計算研究的正確性。Cheng和Nicolas采用瑞利一里茲法研究了一端具有彈性圓板的板-殼耦合結構系統(tǒng)的自由振動問題，通過相關數(shù)值分析來驗證了理論計算模型的正確性，并詳細研究了耦合效應和邊界條件對耦合結構系統(tǒng)振動特性的影響規(guī)律。之后，Cheng將人工彈簧技術用來分析兩端具有端板的封閉圓柱殼結構與其形成的封閉聲腔之間的聲振特性，其中封閉圓柱殼的一端為彈性端板，而另外一端則為剛性端板。Huang和Soedel采用導納法對在任一軸向位置與一圓板耦合連接的簡支圓柱殼結構的振動問題進行了計算分析。通過數(shù)值算例對比分析驗證了該方法的有效性，并在此基礎上考察了圓板結構在圓柱殼軸向的耦合位置對耦合結構系統(tǒng)振動特性的影響。隨后，Huang和Soedel將該方法擴展至多個圓板結構與簡支圓柱殼耦合連接的組合結構系統(tǒng)自由振動問題。

Joseph Stanley和Ganesan采用一種半解析的有限元法對三種不同邊界條件下帶有隔板的圓柱殼進行了頻率分析。其中，固支和簡支邊界條件下圓形隔板位于殼體軸向的中間位置，懸臂邊界條件下隔板位于圓柱殼的自由端。分析結果表明：帶有隔板圓柱殼的低階頻率要比圓柱殼的頻率低很多，而且隨著圓板厚度的增加，低階的頻率值隨之上升，因為耦合結構的低階模態(tài)是受圓板控制的模態(tài)，圓板的介入降低了結構的固有頻率。Yim等人將導納法進一步擴展至在任一軸向位置具有一端板的一端固支一端自由圓柱殼結構自由振動問題。圓柱殼的振動位移函數(shù)采用相同條件下的梁函數(shù)來描述，通過圓柱殼一彈性板間耦合連接邊界的連續(xù)性要求來建立圓柱殼和板之間的力學聯(lián)系，從而獲得組合結構系統(tǒng)的運動方程。通過將數(shù)值分析結果與ANSYS計算結果及振動測試結果對比，驗證了該方法的正確性和有效性。

李鴻秋基于圓板和圓柱殼的振動控制微分方程，結合板-殼連接處的連續(xù)性條件，建立了一般連接形式下板-殼耦合結構分析模型。相關分析表明，該分析模型可以正確地獲得耦合結構的動力學特性。鄒明松等半解析地求解了兩端具有端板的圓柱殼結構的自由振動問題。他采用三角級數(shù)和貝塞爾級數(shù)對圓柱殼和圓板結構的振動位移函數(shù)進行描述，板-殼間的連接條件通過連接處的位移和內(nèi)力平衡關系得到。通過將數(shù)值計算結果與ABAQUS計算結果對比，驗證了文中方法的正確性和有效性。Ma等采用改進的傅里葉一里茲法構建了圓柱殼-環(huán)板耦合結構的統(tǒng)一分析模型。

綜上所述可知，目前公開文獻中有關圓柱殼-環(huán)板耦合結構的研究還較少。上述文獻均提供了各種不同分析方法來研究板殼耦合結構的振動特性。但是，文獻中的相關研究工作大部分局限于簡單的經(jīng)典邊界條件，而未針對更為一般的彈性邊界條件開展研究工作。從文獻調(diào)研來看，振動控制方程的解在很大程度上取決于邊界條件。一旦邊界條件改變，必須修改容許函數(shù)以獲得新的解，這使得這些方法在實際工程應用中顯得累贅。而不同的邊界條件及耦合條件廣泛存在于實際工程應用中。因此，有必要構建一套統(tǒng)一的分析模型，以適用于任意邊界條件及耦合條件。

針對這些技術局限性和實際工程需求，本文構建復雜邊界條件下圓柱殼-環(huán)板耦合結構的振動分析模型，采用譜幾何法對圓柱殼和彈性板結構的位移容許函數(shù)同時進行描述，并分別對各自的外在邊界和二者之間的耦合邊界進行建模。耦合邊界通過設置具有線性剛度和旋轉剛度的三維彈性耦合器模擬結構之間的各類耦合效應。最后，應用哈密爾頓原理從能量的角度推導出環(huán)板與圓柱殼耦合結構系統(tǒng)的特征方程，將文中計算結果與文獻解及有限元結果進行對比，驗證文中方法及分析模型的有效性。

1理論推導

1.1結構模型描述

圓柱殼-環(huán)板耦合結構的示意圖和坐標系統(tǒng)如圖1所示。定義在（x₁，θ₁，r₁）坐標系下的圓柱殼的幾何參數(shù)為：中面半徑R_s，厚度h_s，長度L_s；其材料參數(shù)分別為：彈性模量E_s，泊松比μ_s，密度ρ_s。圓柱殼的中面上任意一點的位移向量由徑向、軸向和周向位移組成，表示為d_s^T={w_s，μ_s，v_s）^T。環(huán)板結構系統(tǒng)則定義在坐標系（x₂，θ₂，r₂）下，其幾何尺寸參數(shù)為：內(nèi)半徑a_p，外半徑b_p（≡R_s），圓心角乒_p，厚度h_p；其材料屬性為：彈性模量E_p，泊松比肛_p，密度10_p。環(huán)板中面上任意一點的位移函數(shù)由彎曲振動位移和面內(nèi)振動位移組成，即d_p^T={w_p，μ_p，v_p}^T。圓柱殼-環(huán)板耦合結構由圓柱殼與環(huán)板在公共邊界（x₁=x_c，0≤x_c≤L_s）連接而成，通過改變z。的大小可以方便地模擬不同軸向位置下圓柱殼-環(huán)板耦合結構系統(tǒng)。

從圖1可知，環(huán)板和圓柱殼的面內(nèi)振動和面外振動之間存在一定的耦合作用。因而本文采用具有旋轉剛度和線性剛度的三維彈性耦合器來描述板殼連接的相容性條件。文中所構建的環(huán)板分析模型是綜合考慮了面內(nèi)振動和面外（彎曲）振動效應的。通過改變相關參數(shù)可以求解不同半徑比、不同耦合位置及任意邊界條件/耦合條件下圓柱殼-環(huán)板耦合結構動力學問題。k_cu，k_cv，k_cw分別表示環(huán)板與圓柱殼耦合連接處沿圓柱殼面內(nèi)振動位移u_s，v_s和徑向振動位移w_s方向均勻分布的線性彈簧剛度系數(shù)，而K_c則為繞周向（θ）的旋轉約束彈簧剛度系數(shù)。耦合效應通過存儲在耦合器中的彈性勢能來體現(xiàn)。

圓柱殼結構每端邊界上布置4組約束彈簧，分別為沿軸向、周向、徑向分布的3組線性彈簧（k_ps^us，k_ps^vs，k_ps^ws）和1組繞周向的旋轉約束彈簧（K_ps^s），其中下標ps可取0或1。當ps=0時，表示殼體結構x₁=0端的約束彈簧剛度系數(shù)，當ps=1時，表示殼體x₁=L_s端的約束彈簧剛度系數(shù)。

1.2圓柱殼-環(huán)板耦合結構的位移級數(shù)描述

首先，構建彈性約束邊界條件下圓柱殼三種位移，對于單獨求解圓柱殼自由振動，可只按對稱模態(tài)或者反對稱模態(tài)的疊加形式對其位移場函數(shù)進行展開，然而在求解其強迫響應或者與之相關的耦合結構振動需要兼?zhèn)涠叩男问?。相比文獻的輔助形式，文中基于譜幾何法原理將其全部描述為復合三角級數(shù)。由于三角級數(shù)在微分和積分操作中具有“偶不變性”，所以這樣的修改在數(shù)學上是有意義的，而且還可以大大簡化建模過程中的理論推導。因此，采用譜幾何法將圓柱殼的徑向、軸向和周向的位移形式描述為

對于環(huán)板而言，需要分別對面內(nèi)振動和面外振動進行描述。根據(jù)文獻，環(huán)板可看作環(huán)扇形板的特例。面內(nèi)振動分量徑向和切向位移分別表示為：

環(huán)板面外振動位移的改進三角級數(shù)表達式為

1.3基于能量原理的瑞利-里茲方法求解

對復雜耦合結構的振動問題而言，不存在確切的動力學方程，這時可求助于哈密爾頓原理，它是描述動力學行為的另外一種表述形式。利用基于哈密爾頓原理的能量方法可以使復雜耦合結構的振動間題變得相對簡單。在應用哈密爾頓原理之前，需要構造圓柱殼-環(huán)板耦合結構系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，拉格朗日函數(shù)中包含系統(tǒng)的總勢能和總動能。

圓柱殼-環(huán)板耦合結構系統(tǒng)的總勢能和總動能可以分別表示為

（7）

（8）式中V_p代表環(huán)板由于面內(nèi)和面外振動變形產(chǎn)生的線彈性應變能；V_pbc表示儲存在環(huán)板邊界約束彈簧中的勢能；V_s為圓柱殼體由于面內(nèi)振動和面外振動變形產(chǎn)生的應變能；V_sbc表示儲存在圓柱殼中的邊界約束彈簧中的勢能；V_sp則代表儲存在圓柱殼和環(huán)板間的三維彈性耦合器中的勢能；T_p表示環(huán)板由于彎曲和面內(nèi)振動產(chǎn)生的總動能；而T_s則表示儲存在圓柱殼中的總動能。

圓柱殼的動能和勢能可以采用位移函數(shù)分別表示為

儲存在環(huán)板和圓柱殼在耦合連接處的三維彈性耦合器中的彈性勢能為

為了簡便起見，環(huán)板的勢能和動能表達式未詳細列出，詳細表達式見文獻。

通過圓柱殼和環(huán)板的勢能項和動能項及二者的耦合勢能項構建圓柱殼-環(huán)板耦合結構系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，其表達式為

（13）

聯(lián)立所有勢能項方程，通過哈密爾頓原理對所有未知的三角級數(shù)展開系數(shù)求變分，即可獲得圓柱殼-環(huán)板結構系統(tǒng)的瑞利-里茲解。最終系統(tǒng)的特征方程寫為如下的矩陣形式

（14）式中K_sp和M_sp分別表示系統(tǒng)總的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；E_sp則是一個包含所有未知級數(shù)展開系數(shù)的向量。在數(shù)值仿真計算中，圓柱殼和環(huán)板的位移場級數(shù)分別按照m=M，n=N和m=M，n=N進行截斷處理。

系統(tǒng)的特征方程（14）是關于未知三角級數(shù)展開系數(shù)的線性方程組。通過求解這個特征方程組，即可獲得圓柱殼-環(huán)板耦合結構的模態(tài)參數(shù)。所獲得的特征值以及每一組特征向量都與系統(tǒng)的固有頻率和物理空間的模態(tài)振型信息相對應。

如果需要對某種載荷作用下的結構響應進行求解，僅需在系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)中增加外界載荷的做功項即可，最終在結構系統(tǒng)方程（14）的右側出現(xiàn)一力向量。一旦板結構的位移確定后，其他感興趣變量可以通過對位移函數(shù)直接進行相關數(shù)學操作而簡單得到。

2數(shù)值結果與分析

在本節(jié)中，將對圓柱殼-環(huán)板耦合結構模型進行數(shù)值計算。通過把文中計算結果與文獻解及有限元結果進行對比，以驗證文中理論推導及計算程序的正確性和有效性。為了方便描述經(jīng)典邊界條件，F(xiàn)，S和C分別用來代表自由、簡支和固支邊界條件。在這些數(shù)值算例中，除了特別指定外，模型參數(shù)分別為：E_s=E_p=2.06×10¹¹Pa，ρ_s=ρ_p=7850kg/m³，h_s=h_p=0.003m，μ_s=μ_p=0.3。為了給其他方法研究者提供參考數(shù)據(jù)，無量綱頻率參數(shù)Ω=ωR_s（p·（1-μ_s²）/E_s）^1/2。被引入。此外，在后續(xù)的數(shù)值算例中，剛體模態(tài)對應的零頻率將不列出。

首先，對文中方法的收斂性進行研究，以驗證構造的位移容許函數(shù)及確定的級數(shù)截斷數(shù)的合理性。表1給出了在不同的截斷項數(shù)下圓柱殼-環(huán)板耦合結構的頻率參數(shù)Ω。圓柱殼的邊界條件為F-F，而環(huán)板則剛性耦合在圓柱殼端部。為了進行對比分析，文獻解和有限元結果作為參考值也在表1中列出。板殼耦合結構的幾何參數(shù)為：L_s=0.5m，R_s=0.1045m，a_p=0.03m。由于耦合結構是周向?qū)ΨQ的，因此周向的截斷數(shù)N=N=10，而圓柱殼的軸向和環(huán)板的徑向截斷數(shù)M'=M從10逐漸變化到14。從表1可以看出，當M增加到12時就可獲得完全收斂和穩(wěn)定的頻率參數(shù)。因此，后續(xù)數(shù)值算例中的截斷數(shù)將取為：M×N=12×10。從表1的對比可知，收斂的文中結果與文獻的計算結果和ANSYS結果吻合良好，從而驗證了文中方法的正確性。前6階模態(tài)振型如圖2所示。從圖中振型情況可知，圓柱殼-環(huán)板耦合結構的振動模態(tài)振型很大程度取決于各子結構的振動情況，第3階模態(tài)振型為環(huán)板控制的振型。

為了在更廣泛的條件下驗證文中方法的優(yōu)越性，現(xiàn)考慮不同邊界條件和耦合條件下的圓柱殼-環(huán)板耦合結構。將表1算例中環(huán)板和圓柱殼結構的耦合條件改變?yōu)閺椥择詈蠗l件：k_cu=k_cv=k_cw=K_c=10⁶。表2列舉了圓柱殼-環(huán)板耦合結構前6階模態(tài)的固有頻率值。從對比情況可知，文中方法計算結果與有限元結果吻合程度較高，表中所列的固有頻率中偏差最大的也不過0.55%。

最后，考察圓柱殼-環(huán)板的一個特例。將文中構建的分析模型拓展為兩端帶端板的圓柱殼（封閉圓柱殼）模型。表3給出了完全自由邊界條件下封閉圓柱殼的軸向?qū)ΨQ模態(tài)固有頻率。其中，板殼耦合結構幾何參數(shù)為：L_s=8m，R_s=2.2m，h_s=0.022m，h_p=0.024m；材料參數(shù)為：楊氏模量2.07×10¹¹Pa，密度7800kg/m³，泊松比0.3；m_a和n_c分別代表軸向半波數(shù)和周向波數(shù)。

如表3所示，以有限元分析軟件ABAQUS的計算結果作為比較的基準，比較文中方法計算結果與文獻的計算結果。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，文中方法計算的結果要比文獻的結果更吻合于有限元法結果，文中方法計算結果與有限元法結果之間的偏差最大不過為0.310%，而文獻的結果與有限元法結果間的偏差最大為5.94%。這是因為文獻在建立圓柱殼與圓板的耦合結構系統(tǒng)時，僅考慮了板的彎曲振動，而忽略了其面內(nèi)振動與圓柱殼結構的彎曲振動間的耦合效應，兩種類型的振動波在結構振動中存在相互的轉換，對耦合結構系統(tǒng)動力學特性有一定的影響。

圖3繪制了各周向波數(shù)n_c下封閉圓柱殼耦合結構系統(tǒng)的第1階模態(tài)振型圖。從圖中可知，當周向波數(shù)n_c較?。╪_c=0～2）時，耦合結構系統(tǒng)的模態(tài)主要為受彈性端板控制的模態(tài)，如圖3（a），（b）和（c）所示，且圓板的振動模態(tài)可以分為同相模態(tài)和非同相模態(tài)。隨著周向波數(shù)n_c的不斷增大，耦合結構系統(tǒng)的模態(tài)逐漸變化為圓柱殼結構控制的模態(tài)，如圖3（d），（e）和（f）所示。根據(jù)理論推導可知，彈性板的面內(nèi)振動將激發(fā)圓柱殼結構的彎曲振動，而其彎曲振動將會激發(fā)圓柱殼結構的面內(nèi)振動，因此這就可能使得圓柱殼-彈性板耦合結構系統(tǒng)在低頻段內(nèi)多為圓柱殼或彈性板單獨控制的模態(tài)，這從圖3可以清楚地看出。此外，由于耦合邊上三維彈性耦合器的剛性耦合，使得圓板和圓柱殼間耦合邊的相對變形較小。

3結論

本文采用譜幾何法建立了復雜邊界條件和耦合連接條件下圓柱殼-環(huán)板耦合結構振動分析模型，采用二維譜幾何法來分別統(tǒng)一描述環(huán)板和圓柱殼結構振動位移場函數(shù)。同時采用分布在結構各邊界上的四類約束彈簧來模擬復雜邊界條件，并通過在二者間的耦合邊上布置具有線性剛度和旋轉剛度的三維彈性耦合器來描述板殼連接相容性條件，以便能夠詳盡地考慮耦合連接處彎曲振動波和面內(nèi)振動波的耦合效應。應用哈密爾頓原理從能量的角度推導出圓柱殼-環(huán)板耦合結構系統(tǒng)的特征方程，將文中方法計算結果與有限元法結果和文獻解進行對比，驗證文中分析模型的有效性，并得出以下結論：

1）板殼耦合結構系統(tǒng)各結構的位移場函數(shù)均可不變地表示為一種譜形式的改進三角級數(shù)，收斂性較傳統(tǒng)的傅里葉級數(shù)有較大改善；

2）在數(shù)值計算中，隨著級數(shù)截斷數(shù)的增大，計算結果快速收斂，并且表現(xiàn)出良好的數(shù)值穩(wěn)定性；

3）耦合結構系統(tǒng)的邊界條件、耦合連接條件、耦合位置及幾何參數(shù)均可通過修改參數(shù)而簡單地實現(xiàn)，不需要重新構造位移場函數(shù)，或重新進行理論推導或編程；

4）圓柱殼-環(huán)板耦合結構系統(tǒng)存在著三種類型的振動模態(tài)：a）彈性板結構控制的模態(tài)；b）圓柱殼結構控制的模態(tài)；c）彈性板和圓柱殼結構較強耦合的模態(tài)。