基于彈性波動方程的疊后地震反演方法

周東紅　李景葉　陳　莉

(①中海石油(中國)有限公司天津分公司渤海石油研究院，天津塘沽 300459； ②中國石油大學(北京)，北京 102249)

1　引言

地震反演在油氣勘探與開發(fā)中發(fā)揮著十分重要的作用[1-4]。疊后地震反演方法是地震勘探界應用較廣泛的反演方法之一，在實際勘探開發(fā)中也取得了較好的效果。疊后反演方法可分為遞推反演、模型反演、地震屬性反演、地震統(tǒng)計學反演和測井曲線反演等[5]。與疊前反演相比，疊后反演具有更高的計算效率和更強的抗噪性，一直以來都被認為是儲層識別與表征的核心技術。然而目前的疊后反演大多基于褶積模型，在各個界面單獨計算反射系數(shù)，而忽略了波的傳播效應以及地層厚度的影響，并且一般只能求取地下介質(zhì)的彈性阻抗或者是聲阻抗，難以直接獲取儲層的彈性參數(shù)，如縱波速度等。

眾所周知，地震波在地下介質(zhì)中的傳播會受到傳播效應的影響，例如層間多次波、表層多次波、透射損失和轉(zhuǎn)換波等[6]，且在入射角大于30°時這種影響尤為明顯。彈性波動方程能夠進行全波場模擬，基于彈性波動方程的反演精度更高，但受計算效率、反演穩(wěn)定性和地震資料品質(zhì)等因素的制約，目前彈性波動方程反演還難以在實際生產(chǎn)中推廣應用。

反射率法(The Reflectivity Method)是一種向量化的遞推計算方法，是基于一維層狀地球模型假設下進行全波場模擬的方法，該方法模擬的波場包括反射波、透射波、轉(zhuǎn)換波和多次波，考慮了地震波相位變化、地層厚度以及透射損失的影響，計算精度高于有限差分法和射線法，而計算成本介于兩者之間[7,8]。因此，利用反射率法求解彈性波動方程一維解析解進行地震反演可以提高精度并適合在實際生產(chǎn)中推廣應用。

反射率法首先由Thomson提出，F(xiàn)uchs等[9]最早將其用于合成地震記錄的計算，后來經(jīng)過Kennett[10，11]、Fryer[12]、Muller[13]以及Booth等[14]的研究和發(fā)展，該方法逐漸趨于成熟與完善。近年來，人們圍繞反射率法開展正演和反演方法的研究。Zhao等[15]在Kennett的反射率法基礎上采用Levenberg-Marquardt算法進行地震反演；Sen等[16]基于Kennett的反射率法進行正演，通過降梯度法求解反演目標函數(shù)，利用共軛梯度迭代尋優(yōu)；Mallick等[17]采用Mallick理論求解波動方程，并用遺傳算法進行反演；Padhi等[18]基于反射率法并利用全局和局部遺傳算法預測海水溫度和含鹽度的分布。

然而，上述基于反射率法的反演多是基于Kennett或者其近似理論開展研究，遞推計算量大，其嵌套式的計算方法使得求導過程復雜，對計算機的硬件要求高。為此，Phinney等[19]提出了一種向量化計算遞推矩陣的反射率法，在很大程度上簡化了計算過程，提高了計算效率，降低了計算成本。本文提出了基于改進的向量化反射率法的疊后地震反演方法，并結(jié)合貝葉斯理論，利用分辨率高、數(shù)值計算穩(wěn)定性好的微分拉普拉斯分布引入模型參數(shù)的先驗信息來降低反演的不適定性，提高地震反演精度，獲得高信噪比和高分辨率的反演結(jié)果。

2　基于彈性波動方程的正演與分析

2.1　彈性波動方程一維解析解的求取

首先討論利用改進的向量化反射率法求取彈性波動方程的一維解析解。為了簡化求導過程，首先重寫地震波層間傳遞算子的表達形式，將合成的地震數(shù)據(jù)由τ-p域轉(zhuǎn)換至t-θ域。

根據(jù)反射率法的理論，假設地下介質(zhì)由N個各向同性的水平層介質(zhì)構成，自下而上各界面的序號為N+1,N,…,2,1，且在第1層介質(zhì)的頂界面有一個點震源及若干個檢波器。利用一個6維向量vn可以遞歸計算頻率慢度域的總反射系數(shù)

vn=[Δ-RSPΔ-RSSΔRPPΔRPSΔ|R|Δ]T

(1)

式中： 向量vn代表第n個界面以下所有介質(zhì)的總體響應；R代表反射系數(shù)；Δ為縮放因子； |R|為反射系數(shù)的行列式，沒有明確的物理意義。

由于介質(zhì)底界面以下是彈性半空間，在底界面處只有透射沒有反射，因此第N+1個界面以下所有的響應可以表示為

vN+1=[100000]T

(2)

引入傳遞算子Qn，從第N+1個界面開始逐層向上遞推計算，可以得到頂界面以下的總體響應

(3)

式中Qn是第n層介質(zhì)的傳遞矩陣，可由矩陣En和Fn表達。En描述了第n層介質(zhì)對地震波相位的改變，F(xiàn)n描述了地震波經(jīng)過第n層和第n+1層之間的界面時振幅的變化。不同于Phinney的方法，為了將數(shù)據(jù)從ω-p域轉(zhuǎn)換到ω-θ域，把En改寫為

(4)

式中： Δh為第n層厚度；α和β分別是第n層的縱、橫波速度。

為了將數(shù)據(jù)從ω-p域轉(zhuǎn)換到至ω-θ域，利用Snell定律，慢度p滿足

(5)

根據(jù)v的定義，可以計算整個介質(zhì)的總反射系數(shù)R(ω,θ)，與頻率域子波褶積以后直接對其進行頻率積分，得到的是t-θ域地震數(shù)據(jù)[20]

(6)

最后將計算獲得的角度道集進行小炮檢距疊加(選擇0°～10°進行疊加)，獲得疊后地震道

(7)

2.2　不同彈性參數(shù)對反射振幅的影響分析

為了研究橫波速度和密度對近炮檢距疊加數(shù)據(jù)的影響，建立了如圖1a所示的三層砂泥巖模型，并對模型進行基于反射率法正演計算，獲得0°～10°的角度道集(圖1b)，通過疊加獲得疊后地震道(圖1c)。模型中第一、三層介質(zhì)為砂巖，其彈性參數(shù)相同，中間層介質(zhì)為泥巖?？紤]中間層介質(zhì)縱波速度和密度保持不變，橫波速度從1.5km/s變化到1.8km/s，以及縱橫波速度不變，密度從2.1g/cm3變化到2.3g/cm3兩種情況。圖2為兩種情況下計算的疊后地震道對比圖，分析發(fā)現(xiàn)，盡管橫波速度變化較大，合成的近炮檢距疊加數(shù)據(jù)的振幅差異較小。密度變化時合成數(shù)據(jù)的振幅差異要比橫波速度變化時略大，但振幅差異仍較小。模擬分析表明，橫波速度和密度對小炮檢距疊加數(shù)據(jù)的影響較小，利用巖石物理數(shù)據(jù)統(tǒng)計關系擬合橫波速度和密度進而實現(xiàn)基于彈性波動方程疊后振幅模擬是可行的。

圖1　三層砂泥巖模型正演流程圖

圖2　砂泥巖模型合成的疊加地震道

3　基于貝葉斯理論的地震反演

貝葉斯方法是用來計算條件概率的一種統(tǒng)計方法，可以表達為如下形式

P(m|d)∝P(d|m)P(m)

(8)

式中先驗分布P(m)=P0mexp[-R(m)]，P0m視為常數(shù)項，指數(shù)項R(m)即為反演目標函數(shù)中的正則化項，其導數(shù)形式為

(9)

式中：m為真實模型參數(shù)；μ為模型參數(shù)的均值；Q*為正則化因子。

常見的先驗分布有高斯分布、柯西分布等。高斯分布得到的是穩(wěn)定光滑的解，有壓制強反射的作用，反演分辨率不高?？挛鞣植茧m然有較高的分辨率，但它不是凸函數(shù)，在迭代求解的過程中不能總是收斂到最優(yōu)解，數(shù)值穩(wěn)定性差[21]。為此，Theune等[22]率先提出了微分拉普拉斯分布，該分布具有稀疏性，是凸函數(shù)，因此數(shù)值穩(wěn)定性好，縱向分辨率高。本研究引入微分拉普拉斯先驗分布來約束反演過程，表示為

(10)

假設噪聲滿足高斯分布，那么似然函數(shù)可以表示為

P(d|m)

(11)

聯(lián)合先驗分布和似然函數(shù)可以得到后驗概率分布

P(d|m)

(12)

本文直接求解最大后驗概率分布解，即求解以下目標函數(shù)的極小值

(13)

由于大多數(shù)情況下正演算子G(m)為模型參數(shù)的非線性表達式，所以本文采用高斯—牛頓迭代法求解目標函數(shù)

mk+1=mk-λH(mk)-1γ(mk)

(14)

式中：λ是迭代步長；H是海森矩陣；γ是目標函數(shù)的梯度項。 為了提高計算效率，省略海森矩陣的二

階導數(shù)項

(15)

4　模型試算

首先利用實際工區(qū)測井數(shù)據(jù)進行基于反射率法的反演測試，正演計算合成地震記錄時采用主頻為30Hz的雷克子波。為了擬合橫波速度和密度曲線，分別統(tǒng)計巖石樣本縱波速度與橫波速度、縱波速度與密度的關系，如圖3所示，統(tǒng)計結(jié)果為線性關系?？v波速度曲線以及擬合的橫波速度和密度曲線在圖4中呈現(xiàn)并用于后續(xù)反演。試算中首先利用這三條測井曲線進行彈性波動方程正演模擬，獲得包含了多次波、轉(zhuǎn)換波和透射損失影響的合成地震記錄。該合成地震記錄是從0°～10°的近炮檢距角度道集，并將此角度道集疊加作為反演輸入進行基于微分拉普拉斯先驗分布的彈性波動方程反演試算。

圖5為反演結(jié)果，從中可以看出本文反演的縱波速度精度較高，與實際測井曲線匹配得很好。將常規(guī)疊后反演的縱波阻抗插入圖5中進行對比，分析表明，由于考慮了波傳播效應的影響，本方法反演的準確性更高。為了測試方法的抗噪性，在待反演的疊加數(shù)據(jù)中加入SNR=1的隨機噪聲進行反演測試。反演結(jié)果表明，在此信噪比情況下本文方法的反演結(jié)果準確度較高，與實際測井曲線有較好的一致性。

圖3　部分巖石樣本縱波速度與橫波速度(a)、縱波速度與密度(b)的統(tǒng)計關系

圖4　擬合結(jié)果

圖5　反演結(jié)果

5　實際資料試驗和分析

將本文方法應用于國內(nèi)某油田的實際地震數(shù)據(jù)的反演。研究區(qū)廣泛發(fā)育深水湖泊沉積物，目標為古近紀時期湖泊環(huán)境下形成的構造—巖性復合油氣藏。目標儲層巖性為油頁巖，其頂部發(fā)育砂泥巖薄互層序列。由于薄互儲層的強各向異性和非均質(zhì)性，地震數(shù)據(jù)受層間多次波、轉(zhuǎn)換波和透射損失影響，一定程度上影響了儲層的識別。

該地震數(shù)據(jù)由151個CDP組成，每一個CDP由0°～10°的近炮檢距數(shù)據(jù)疊加而成，反演時窗為1900～2446ms，采樣間隔為2ms。圖6為CDP疊加剖面，疊加數(shù)據(jù)進行了噪聲壓制等處理，但沒有進行層間多次波衰減、轉(zhuǎn)換波去除和透射損失補償?shù)忍幚恚m合本文方法反演試驗。已鉆井A井在CDP=33的位置。由于沒有橫波速度和密度的信息，本文利用工區(qū)巖石樣本測試數(shù)據(jù)和其他井的縱波速度與橫波速度、縱波速度與密度統(tǒng)計關系擬合橫波速度和密度曲線，并用于后續(xù)初始模型的建立。統(tǒng)計關系如圖7所示，已知的縱波速度曲線以及擬合得到的橫波速度和密度曲線如圖8所示。反演所用子波是基于測井曲線和小角度道集疊加數(shù)據(jù)提取并經(jīng)過歸一化處理，適用于小炮檢距的反演。初始模型是利用井曲線結(jié)合井分層數(shù)據(jù)插值得到(圖9)。

圖10為反演獲得的縱波速度剖面，能較好地刻畫巖層邊界，縱向分辨率高。為了驗證反演結(jié)果的準確性，將本文反演的結(jié)果與常規(guī)疊后反演的波阻抗剖面進行對比，表明新方法反演的縱波速度與疊后反演的阻抗具有良好的一致性。由于引入微分拉普拉斯先驗分布約束反演過程，反演的結(jié)果相對于疊后阻抗反演剖面具有更高的分辨率，地層邊界更清晰。為了進一步說明反演結(jié)果的準確性，將A井處地震反演結(jié)果與縱波測井曲線進行對比(圖11)，表明本文方法反演縱波速度精度較高，與實際井數(shù)據(jù)有很好的一致性。

圖6　輸入的CDP疊加剖面

圖7　部分巖石樣本的縱波速度與橫波速度(a)及縱波速度與密度(b)的統(tǒng)計關系

圖8　擬合結(jié)果

圖9　建立的初始模型

圖10　反演結(jié)果對比

圖11　A井處縱波速度的反演結(jié)果

6　結(jié)論和認識

本文提出了一種新的基于微分拉普拉斯先驗分布的彈性波動方程疊后反演方法，模型和實際資料測試表明新方法具有以下特點：①能夠考慮多次波、轉(zhuǎn)換波、透射損失以及地層厚度的影響，反演精度高；②相比高斯分布和柯西分布，微分拉普拉斯先驗分布可以提高反演的縱向分辨率和反演穩(wěn)定性；③新方法具有較好的抗噪性，在SNR低至1時仍然能較準確地反演出彈性參數(shù)；④新方法在反演過程考慮了縱波速度、橫波速度與密度等彈性參數(shù)間的關系，能夠直接從疊后地震數(shù)據(jù)中反演得到縱波速度，反演結(jié)果的分辨率要高于其他類型的疊后反演。

新方法仍然存在一定的局限性：一方面本方法基于彈性波動方程理論，利用反射率法求解其解析解。反射率法是基于一維層狀介質(zhì)的假設，在地質(zhì)構造比較簡單的地區(qū)適用，但在地質(zhì)構造復雜地區(qū)不適用。所以，在利用反射率法進行反演之前，需要使用深度偏移等方法使數(shù)據(jù)歸位，使數(shù)據(jù)更好地接近一維層狀介質(zhì)假設[23]；另一方面，新反演方法基于各向同性介質(zhì)理論，不適合巖石物理性質(zhì)存在較強各向異性的介質(zhì)，如頁巖。因此，為了獲得更高精度的反演效果，需要進一步研究各向異性的反射率法理論和相應的反演方法，實現(xiàn)各向異性介質(zhì)參數(shù)預測。

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