從困惑到解惑 得益于科研先行

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(江口中學(xué) 廣東封開 526500)

從困惑到解惑得益于科研先行

●黎偉初

(江口中學(xué) 廣東封開 526500)

1 困惑點的生成

通常的解法是：設(shè)展開式中第r+1項的系數(shù)絕對值最大.由

得

即

解得

r=3，

故系數(shù)絕對值最大的項是T4=-15 360x4.

困惑點1為什么只要第r+1項的系數(shù)絕對值與前后相鄰兩項的系數(shù)絕對值一比較就可以求出“系數(shù)絕對值最大項”的r值？有什么理論依據(jù)？能否拿第r+1項的系數(shù)絕對值與其他任意兩項的系數(shù)絕對值比較也可以確定“系數(shù)絕對值最大的項”的值？

學(xué)生的做題情況為：設(shè)展開式中第r+1項系數(shù)最大.由

得

得

即r值不存在!

解這個組合數(shù)不等式確實得到r值不存在的結(jié)果.

困惑點2為什么計算出的r值會超出r∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8}的范圍?

2 解惑的心路歷程

這2個困惑點迫使筆者有一個解惑的驅(qū)動,下面把科研的心路歷程奉獻(xiàn)給廣大同行,供參考.

歷程1對例1來說，拿第r+1項的系數(shù)絕對值與任意一項(譬如第2,7項)的系數(shù)絕對值相比較，試圖求出目標(biāo)項的r值.由

無法求出r的值,原因是r為抽象值，不等式2邊的r約簡不了.

歷程2拿第r+1項的系數(shù)絕對值與跟第r+1項相距離為3,4的項的系數(shù)絕對值相比較，試圖求出目標(biāo)項r的值.由不等式組

無法求出r的值,原因是無法求解高次不等式組.

歷程3結(jié)合歷程1和歷程2的解法碰壁及例1的系數(shù)絕對值最大項是第4項，突獲靈感：對任意一個二項式的展開式，系數(shù)絕對值最大的項是否都在展開式的中間或偏向中間.不妨把例1展開式所有項的系數(shù)絕對值逐一求出驗證想法,發(fā)現(xiàn)系數(shù)絕對值逐漸遞增再逐漸遞減.

歷程4從歷程3又生靈感：系數(shù)絕對值有沒有嚴(yán)格單調(diào)遞增或嚴(yán)格單調(diào)遞減，使得“系數(shù)絕對值”出現(xiàn)在2端？經(jīng)冥思苦想，想出一個例子.

歷程5結(jié)合歷程3與歷程4，進(jìn)一步否定了“系數(shù)絕對值最大的項在展開式的中間或偏向中間”的觀點，也否定了“系數(shù)絕對值最大的項在2端”的觀點.展開式中系數(shù)絕對值排成一個數(shù)列，該數(shù)列有什么樣的性質(zhì)？是否具有單調(diào)性？若具有單調(diào)性并且知道其單調(diào)性，則最值項定位基本把握準(zhǔn)確.基于這樣的想法，繼續(xù)設(shè)一般的二項式探究它的系數(shù)絕對值的性質(zhì).

例4設(shè)二項式(axt+bxs)n或(axt+bys)n(其中s,t∈Q,a,b≠0).

探究因為

所以第r+1項與第r項的系數(shù)絕對值之比為(出于比較相鄰兩項系數(shù)絕對值大小的考量)：

又r∈N*，則

和

歷程7歷程5和歷程6已經(jīng)探明了系數(shù)絕對值的變化規(guī)律，因此對一般的二項式(axt+bxs)n或(axt+bys)n(其中s,t∈Q,a,b≠0)，若展開式中第r+1項的系數(shù)絕對值最大，則說明從第1項到第r項(或第r+1項)的系數(shù)絕對值構(gòu)成遞增關(guān)系，從第r+1項到第n+1項的系數(shù)絕對值構(gòu)成遞減關(guān)系.這自然有

這就證明了例1解法的理論依據(jù).至此，文章開頭所提的困惑點1得到解決，與此同時也找到新的確定展開式中系數(shù)絕對值最大項方法的求解公式.對于困惑點2，原因在于所列不等式組

是不完全正確的.細(xì)心觀察不等式2邊的系數(shù)，顯然有正負(fù)系數(shù)混雜在一起.正確解法應(yīng)是設(shè)第2k+1項正系數(shù)最大，此時r=2k，則

解得r=3，即系數(shù)最大項是T7=1 792x-11.至此困惑點2也得到了解決.

重解因為

所以設(shè)第r+1項系數(shù)的絕對值最大，則有不等式組

解得

5≤r≤6,

即第6項與第7項系數(shù)絕對值最大且相等.又

同理可得

T7=1 792x-11，

比較知系數(shù)最大的項應(yīng)是第7項：T7=1 792x-11.

分析因為

設(shè)第r+1項系數(shù)的絕對值最大，則有不等式組

即

得r=3，所以

另前后相鄰2項分別是

T3=11 520x8y-2和T5=13 440x6y-4，

經(jīng)比較知,系數(shù)最大項是T5=13 440x6y-4.

3 解惑后的收獲盤點

由困惑到解惑的心路歷程，逐步探明了一些重要結(jié)論和方法，對二項式(axt+bxs)n或(axt+bys)n(其中s,t∈Q,a,b≠0)有：

(1)展開式中各項系數(shù)的絕對值構(gòu)成先增后減的數(shù)列，或遞減數(shù)列(當(dāng)系數(shù)絕對值最大在首項時)，或遞增數(shù)列(當(dāng)系數(shù)絕對值最大在末項時).

(3)至于要找出系數(shù)(當(dāng)系數(shù)有正有負(fù)時)最大的項，可分2步：第1步,先確定系數(shù)絕對值最大時的值;第2步,再計算Tr+1項的系數(shù)與前后2相鄰項Tr,Tr+2的系數(shù)，比較這3項系數(shù)就可確定目標(biāo)項.

以上為找二項展開式中系數(shù)(或絕對值)最大項提供了強(qiáng)有力的操作工具與理論方法，以服務(wù)于廣大師生.