淺談類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

◎崔冬林

與高中教育中的其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)難度相對較高。因此，我們在高中數(shù)學(xué)考試中常常會遇到考試時間不夠用的問題。類比推理法在解答高中數(shù)學(xué)題目方面存在著顯著的優(yōu)勢，為了實現(xiàn)提升解題效率目的，我們可以嘗試?yán)妙惐韧评矸ń獯鹣嚓P(guān)高中數(shù)學(xué)問題。

一、類比推理

1.類比推理法的概念 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比推理一般是比較不同知識內(nèi)容，找出他們的相同點與不同點。應(yīng)用類比推理方法尋找兩類對象的相通屬性，進(jìn)而逐漸推理其他相通點，舉一反三。這樣一來，學(xué)生就會掌握兩種數(shù)學(xué)概念知識結(jié)構(gòu)并構(gòu)成嚴(yán)謹(jǐn)、縝密的邏輯思維，擴散思維。

類比推理方法對高中數(shù)學(xué)解題具有重要作用，即：提升推理能力、發(fā)展抽象思維、起到思維啟迪的作用。第一，應(yīng)用類比推理方法解題過程中，可以將散碎的知識點綜合在一起，構(gòu)成明確的數(shù)學(xué)知識概念結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生理解與知識掌握，了解推理方法便于總結(jié)經(jīng)驗，學(xué)以致用。第二，因為數(shù)學(xué)課程中一些知識點較為抽象，使得想要完全理解具有一定難度，比如：向量、函數(shù)。應(yīng)用類比推理解題有助于將抽象的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容轉(zhuǎn)為具象化。第三，應(yīng)用類比解題方法也能夠擴大自身知識結(jié)構(gòu)，調(diào)動學(xué)習(xí)積極性與反映能力。

這種方法是指，已知某種事物存在一種屬性，進(jìn)而通過推測分析出與該事物相似的其他事物也存在這種屬性的比較過程。

2.類比推理法的種類 在高中數(shù)學(xué)解題過程中，可用的類比推理法主要包含以下幾種：

（1）普遍性類比推理法。這種類比推理方法可被應(yīng)用在以下兩種不同的環(huán)境中：第一，某一參考依據(jù)對象中不存在某種情況，則可以利用其推理出另一中對象也不存在該情況。第二，某一參考依據(jù)對象中存在某種情況，則可以利用該對象推理出另一對象中同樣存在這一情況［1］。

（2）個別性類比推理法。這種類比推理方法是指：將某種個別對象作為參照依據(jù)，進(jìn)行利用該對象推測出其他對象同樣包含參照依據(jù)對象某種屬性或特點的結(jié)論。

二、類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

這里主要從以下幾方面入手，對類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行分析：

1.函數(shù)方面 例題：設(shè)f（x）為定義Q上的函數(shù)，且該函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=p、x=o對稱。根據(jù)上述條件，請將f（x）是否屬于周期函數(shù)確定出來，并分析理由。

對于我們高中生來說，如果單純利用已知條件進(jìn)行求解，則整個分析過程會產(chǎn)生大量的計算量，且較容易得出錯誤的推理結(jié)果。相比之下，類比推理法的應(yīng)用可以簡化這道函數(shù)題目的難度，并從一定程度上提升分析結(jié)果的正確性［2］。

基于類比推理法的分析流程如下：

在x=p、o這兩種對稱軸，可以將函數(shù)y=f（x）作為參照對象，將該對象與y=sinx進(jìn)行對比。就對比對象而言，函數(shù)y=sinx的對稱軸分別為x=-以及x=。對比對象函數(shù)在這兩條對稱軸的的周期相同，同為2π（剛好為兩條對稱軸數(shù)值絕對值之和的二倍）。利用這種情況對函數(shù)y=f（x）進(jìn)行推理，可得：函數(shù)y=f（x）屬于周期函數(shù)，且該函數(shù)的對稱周期為2（p-o）。

利用題目中的已知條件可得，f（x）=f（2p-x）、f（x）=f（2o-x）。

所以 f（2p-x）=f［2o-（2p-x）］=f（2o-2p+x），因此可得：

f（x）=f（2p-x）=f（2o-2p+x），即函數(shù)f（x）屬于周期函數(shù)，其周期為2（p-o）。

2.平面到空間方面 例題：勾股定理中指出：某直角三角形△ABC的直角位于邊長AB與AC之間，此時，該三角形的邊長存在AB2+AC2=BC2關(guān)系。該關(guān)系是在平面基礎(chǔ)上得出的，請在空間層面上驗證勾股定理是否成立，如果成立，三棱錐A-BCD中的面積關(guān)系是什么？

平面與空間之間存在本質(zhì)性區(qū)別，因此，我們在面對這道問題時通常無法找到正確的解題思路。針對這種現(xiàn)象，可以將類比推理法應(yīng)用在實際的解答過程中。類比推理流程如下：

首先分析平面與空間之間的區(qū)別：可以將平面中的點看成是空間中的線；可以將平面中的線看成是空間中的面；將平面中的三角形、平行四邊形分別看成空間層面中的四面體、平行六面體；將平面中的平面向量看成是空間中的空間向量。當(dāng)?shù)贸錾鲜鰧?yīng)關(guān)系之后，可以將三角形中的邊長關(guān)系轉(zhuǎn)化成面積關(guān)系，進(jìn)而得出推理結(jié)果。

3.數(shù)列方面 例題：設(shè)函數(shù)f（x）=。請利用高中數(shù)學(xué)教材中等差數(shù)列的相關(guān)推理知識，將下列函數(shù)關(guān)系的最終數(shù)值確定出來：f（-5）+f（-4）+f（-3）+…… +f（0）+…… +f（3）+f（4）+f（5）+f（6）。

這道題目的類比推理參照依據(jù)為等差數(shù)列前n項和公式。由于該公式是通過倒序相加的方式得到的，因此，這道題目中的函數(shù)關(guān)系也可以利用這種方式進(jìn)行推理。

結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式的獲得方式，可以將f（-5）+f（-4）+f（-3）+…… +f（0）+…… +f（3）+f（4）+f（5）+f（6）推理轉(zhuǎn)換成［f（0）+f（1）］+［f（-5）+f（6）］……

此時，如果x1與x2之和為1，則可以將這兩個數(shù)值的函數(shù)之和推理成：

f（x2）+f（x1）=+=。

結(jié)合上述推理結(jié)果，可以將題目中的函數(shù)關(guān)系計算為6X=3（利用前n項和公式的推理方法將題目中的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成6組不同的函數(shù)關(guān)系）。

結(jié)論：對于我們高中生而言，類比推理方法可以幫助我們快速根據(jù)高中數(shù)學(xué)題目找到便于計算的解題思路，進(jìn)而高質(zhì)量完成數(shù)學(xué)題目的解答。與其他方法相比，類比推理方法的應(yīng)用優(yōu)勢主要體現(xiàn)在促進(jìn)舊知識向新知識的遷移以及降低數(shù)學(xué)題目難度等多種方面。從本質(zhì)角度來講，該方法的應(yīng)用可以提升我們的解題效率和質(zhì)量。

［1］陳誠.類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中的應(yīng)用研究［D］.陜西師范大學(xué)，2012.

［2］孔令偉.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用［D］.遼寧師范大學(xué)，2012.