一種基于SARIMA的經(jīng)驗(yàn)對流層延遲模型

劉中流，任　超，甘祥前，梁春麗

(1. 桂林理工大學(xué)測繪地理信息學(xué)院，廣西 桂林 541004； 2. 廣西空間信息與測繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004)

GNSS精密定位技術(shù)已廣泛應(yīng)用于測量改正的各個(gè)領(lǐng)域。然而GNSS信號穿過大氣層時(shí)會引起大氣延遲誤差，這往往對定位精度會產(chǎn)生很大的影響。大氣延遲誤差主要分為電離層延遲誤差和對流層延遲誤差。由于電離層對GNSS信號表現(xiàn)出色散介質(zhì)特性，故產(chǎn)生的電離層延遲與GNSS信號頻率相關(guān)，因而目前在GNSS常規(guī)測量中常采用雙頻觀測方法來消除電離層延遲的影響，且在一定范圍內(nèi)，其對電離層延遲的改正可達(dá)90%以上[1]。然而對流層對GNSS信號表現(xiàn)出了非色散介質(zhì)特性，因此雙頻觀測方法不適用于對流層延遲改正。對對流層延遲改正的常用方法有外部修正法、參數(shù)估計(jì)法和模型改正法[2-3]，它們可以通過采集或運(yùn)算的方法估計(jì)出ZTD值，再代入GNSS觀測方程中便可進(jìn)行延遲誤差改正[4]。

改進(jìn)對流層模型一直是減弱對流層延遲影響的有效方法[5-6]，而近年來，部分學(xué)者在預(yù)測估計(jì)ZTD的領(lǐng)域進(jìn)行了研究，并獲得了一定的成效：王勇等使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法，在試驗(yàn)中取得了76%的預(yù)測值與真實(shí)值偏差(bias)在3 cm以內(nèi)的成果[7]；李劍鋒等在試驗(yàn)中使用組合模型的方法，使得試驗(yàn)中的平均預(yù)測值精度(均方根誤差，下同)達(dá)到了14.88 mm[8]；呂慧珠等使用譜分析和AR補(bǔ)償結(jié)合的方法，使得試驗(yàn)中的平均預(yù)測值精度達(dá)到了19.36 mm[9]。此類方法也可以較好地計(jì)算出對流層延遲，并代入觀測方程中進(jìn)行誤差改正。許多學(xué)者將自回歸移動平均模型(ARIMA)應(yīng)用到電離層電子含量的預(yù)測中，并取得了較好的成果[10-12]，而在對流層預(yù)測中對其的應(yīng)用卻很少有。ARIMA模型對非平穩(wěn)序列具有較好的預(yù)測效果，且適用范圍廣，但卻容易在捕捉序列線性與非線性復(fù)合性特征時(shí)出現(xiàn)精度下降[13]。針對上述情況，本文將ARIMA模型應(yīng)用于ZTD預(yù)測，并引入一種基于季節(jié)性自回歸移動平均模型(SARIMA)的對流層延遲估計(jì)新方法，該方法可分別針對不同的原始ZTD序列進(jìn)行參數(shù)構(gòu)建，然后進(jìn)行預(yù)測以得到最終結(jié)果；針對我國不同地區(qū)的ZTD值進(jìn)行預(yù)測，并統(tǒng)計(jì)分析它們的預(yù)測精度。

1　模型介紹

1.1　自回歸移動平均模型(ARIMA)理論

ARIMA是一個(gè)可以衡量內(nèi)生變量與其滯后性與改變量關(guān)系的系統(tǒng)模型，是對移動平均模型(ARMA)的擴(kuò)展[14]。

ARIMA(p,d,q)的實(shí)質(zhì)是ARMA(p,q)的d階單整(d次差分)，其效果是將一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列[15]。設(shè)Xt為等時(shí)間間隔的ZTD序列，則可將ARMA(p,q)模型表達(dá)為

φp(B)Xt=θq(B)εt

(1)

式中，B為滯后算子；εt為白噪聲序列；φp(B)為p階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式，定義其相應(yīng)特征方程為φp(x)；θq(B)為q階滑動平均系數(shù)多項(xiàng)式，定義其相應(yīng)特征方程為θq(x)。

當(dāng)原ZTD序列{Xt}不平穩(wěn)時(shí)，可考慮通過式(10)進(jìn)行差分

(2)

式中，u為差分算子；d為差分階數(shù)。{Xt}在經(jīng)過d次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列，即可建立ARIMA(p,d,q)模型的一般形式

(3)

1.2　季節(jié)性自回歸移動平均模型(SARIMA)理論

SARIMA模型又是對ARIMA模型的拓展。雖然ARIMA(p,d,q)模型已經(jīng)可以解決許多時(shí)間序列的擬合預(yù)測問題，但在實(shí)際操作中，又另有許多時(shí)間序列的變化具有明顯的周期性特征，我們稱之為季節(jié)性時(shí)間序列。由于時(shí)間序列的周期性變化，它們在不同周期內(nèi)的同時(shí)期數(shù)據(jù)將處于一個(gè)相當(dāng)?shù)乃剑藭r(shí)可以恰當(dāng)引入乘積季節(jié)性SARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)模型[16]。當(dāng)序列間的長期趨勢、季節(jié)效應(yīng)和隨機(jī)波動間不是簡單的相加關(guān)系時(shí)，可以使用ARIMA模型提取短期相關(guān)性，用周期步長為S的SARIMA模型提取季節(jié)周期性，再采用二者的乘積組合模型對ZTD序列進(jìn)行預(yù)測，從而得到乘積季節(jié)模型的完整結(jié)構(gòu)為

(4)

圖1　SARIMA模型進(jìn)行ZTD預(yù)測的基本流程

2　試驗(yàn)分析

2.1　數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

本文分別選取IGS中心發(fā)布的長春站(chan)和上海佘山站(shao)的2016年年積日1—30 d和92—121 d的ZTD數(shù)據(jù)作為本次分析的原始ZTD數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)時(shí)間分辨率變?yōu)? h。采用ARIMA和SARIMA模型分別對它們進(jìn)行預(yù)測分析，并評定其精度。預(yù)測分析原則為，選取這兩個(gè)時(shí)段前29 d逐小時(shí)觀測的ZTD數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，并對未來24個(gè)ZTD值逐小時(shí)地進(jìn)行預(yù)測。

2.2　精度指標(biāo)

實(shí)現(xiàn)對各個(gè)ZTD分量序列的SARIMA模型構(gòu)建后，選取前29 d的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，并對后24 h的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。本文引入精度指標(biāo)：均方根誤差(root mean square error，RMSE)、平均絕對誤差(mean absolute error，MAE)、平均相對誤差(mean relative error，MRE)，它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為

(5)

(6)

(7)

2.3　建模分析

在進(jìn)行擬合預(yù)測前，應(yīng)對SARIMA模型(或ARIMA模型)進(jìn)行定階。此處以上海佘山站1—29 d 原始ZTD數(shù)據(jù)為例進(jìn)行模型構(gòu)建分析，此時(shí)段數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2　上海佘山站年積日1—29 d ZTD數(shù)據(jù)

通過觀察易于發(fā)現(xiàn)，該序列波幅在趨勢上下波動且無明顯增大或減小傾向，應(yīng)屬于趨勢平穩(wěn)(trend stationary),此時(shí)再引入ADF單位根檢驗(yàn)法，判斷序列是否嚴(yán)平穩(wěn)。ADF檢驗(yàn)結(jié)果見表1。

表1　ZTD序列ADF檢驗(yàn)結(jié)果

結(jié)果顯示，原序列即使在10%的置信水平上也不能拒絕單位根假設(shè)。此時(shí)需要對原序列進(jìn)行一階差分，并再次進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，結(jié)果見表2。

表2　一階差分ZTD序列ADF檢驗(yàn)結(jié)果

此時(shí)結(jié)果顯示，即使在1%的置信水平下，也可以拒絕單位根假設(shè)，代表序列平穩(wěn)，故d值取1。下一步應(yīng)進(jìn)行相關(guān)性分析，作出該一階差分序列滯后36階的ACF、PACF函數(shù)如圖3所示。

由圖3可知，其ACF、PACF函數(shù)均表現(xiàn)出拖尾性，滿足AR(p)、MA(q)過程。此處PACF值三步截尾，一階滯后處PACF值較為顯著，且24階滯后處再次上升至一個(gè)相對峰值，隨后更高階滯后的自相關(guān)系數(shù)明顯減小，此類型表明AR(3)×SAR(24)基本符合該序列(此處SAR(24)僅為計(jì)算機(jī)的取向概念，告知計(jì)算機(jī)季節(jié)組中的每24 h為一個(gè)周期，而該模型應(yīng)正確描述為p=3,P=1),同理可得q=8,P=1。故可基本選定SARIMA(3,1,1)×(8,0,1)模型。但此時(shí)定階的模型僅代表它能很大程度上迫近原序列，并不代表就是最優(yōu)模型，此時(shí)可選取該模型已確認(rèn)參數(shù)的一定鄰域內(nèi)的正整數(shù)替換原參數(shù)，并一起進(jìn)行AIC準(zhǔn)則運(yùn)算，選擇使得AIC最小的參數(shù)組合確認(rèn)為最優(yōu)模型參數(shù)。本文通過AIC驗(yàn)證最終確認(rèn)模型為SARIMA(3,1,1)×(8,0,1)，并以此進(jìn)行回歸，再進(jìn)行殘差白噪聲檢驗(yàn)，殘差A(yù)CF、PACF函數(shù)圖如圖4所示。

圖3　一階差分ZTD序列ACF、PACF圖

顯而易見，殘差為白噪聲序列，故可認(rèn)為該模型可靠，可進(jìn)一步用于ZTD數(shù)據(jù)預(yù)測。同理，其他序列也以此過程進(jìn)行模型定階，并作預(yù)測分析。

2.4　預(yù)測分析

對所準(zhǔn)備的原始序列進(jìn)行預(yù)測分析，最終得到兩模型預(yù)測精度對比分別見表3、表4、表5。

圖4　殘差序列ACF、PACF圖

表4　兩模型預(yù)測成果MAE對比　mm

表5　兩模型預(yù)測成果MRE　(%)

本文對上述各表的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行分析，并總結(jié)得到以下結(jié)論：

(1) 加入季節(jié)性分析后，對ZTD序列的預(yù)測精度有較好的提高，對年積日1—30 d的數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果顯示，平均RMSE降低了27.7%，對年積日92—121 d的數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果總體精度較前者雖有所下降，但同期平均RMSE也降低了25.7%。

(2) SARIMA模型預(yù)測結(jié)果顯示，平均偏差不大，且占原值比很小，年積日92—121 d的數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果的平均MRE僅1%左右，年積日1—30 d的數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果平均MRE僅0.15%。

(3) SARIMA模型對ZTD數(shù)據(jù)的總體估計(jì)精度較領(lǐng)域內(nèi)當(dāng)前的其他模型(前文提及)的估計(jì)精度要高，總體平均RMSE降低了19.9%。

(4) 在部分時(shí)期、地區(qū)出現(xiàn)了預(yù)測精度降低的情況，由于對流層延遲受濕度影響較大，故本文猜測與同期氣象變化存在關(guān)系，但不于此處進(jìn)行研究。

3　結(jié)　論

本文綜合分析了中國長春、上海地區(qū)的ZTD變化，并分別以ARIMA和SARIMA模型，對兩個(gè)地區(qū)不同時(shí)期的ZTD序列進(jìn)行了短期(24 h)預(yù)測。綜合不同地區(qū)、時(shí)段的預(yù)測成果，結(jié)論如下：

(1) ARIMA和SARIMA模型對ZTD序列均有較好的預(yù)測效果，而由于ZTD序列存在一定的季節(jié)性特征，故總體而言加入季節(jié)性分析后預(yù)測精度均有較大提高。

(2) 本文在定階試驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，存在個(gè)別ZTD序列不具有較強(qiáng)的季節(jié)性特征的情況，此時(shí)不能盲目加入季節(jié)性影響，否則將降低模型精度。

(3) SARIMA模型對ZTD序列的預(yù)測精度較高，可滿足許多ZTD數(shù)值估計(jì)的需求，具有一定的實(shí)用意義。

(4) 關(guān)于SARIMA模型在不同地區(qū)、時(shí)期對ZTD序列的預(yù)測的應(yīng)用效果需要進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李征航，黃勁松.GPS測量與數(shù)據(jù)處理[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2005.

[2] 趙章明,馮徑,洪亮.衛(wèi)星定位中對流層延遲模型對比分析[J].測繪通報(bào),2016(11):18-21.

[3] 李昭,邱衛(wèi)寧,邱蕾,等.幾種對流層延遲改正模型的分析與比較[J].測繪通報(bào),2009(7):16-18.

[4] 丁曉光.對流層延遲改正在GPS數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用與研究[D].西安:長安大學(xué),2009.

[5] 姚宜斌,胡羽豐,余琛.一種改進(jìn)的全球?qū)α鲗犹祉斞舆t模型[J].測繪學(xué)報(bào),2015,44(3):242-249.

[6] 姚宜斌,張豹,嚴(yán)鳳,等.兩種精化的對流層延遲改正模型[J].地球物理學(xué)報(bào),2015,58(5):1492-1501.

[7] 王勇,張立輝,楊晶.基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的對流層延遲預(yù)測研究[J].大地測量與地球動力學(xué),2011,31(3):134-137.

[8] 李劍鋒,王永前,郭俊元.預(yù)測模型在對流層延遲計(jì)算中的應(yīng)用研究[J].測繪科學(xué)技術(shù)學(xué)報(bào),2015,32(5):450-454.

[9] 呂慧珠,黃文德,聞德保.一種基于頻譜分析和AR補(bǔ)償?shù)膶α鲗友舆t預(yù)報(bào)模型[J].大地測量與地球動力學(xué),2015,35(2):283-286.

[10]劉軍,柴洪洲,劉先冬,等.基于ARIMA(p,1,1)的電離層預(yù)報(bào)模型[J].大地測量與地球動力學(xué),2010,30(3):79-82.

[11]劉立龍,陳軍,黃良珂,等.基于小波-ARIMA電離層短期總電子含量預(yù)報(bào)[J].桂林理工大學(xué)學(xué)報(bào),2016,36(2):294-299.

[12]張小紅,任曉東,吳風(fēng)波,等.自回歸移動平均模型的電離層總電子含量短期預(yù)報(bào)[J].測繪學(xué)報(bào),2014,43(2):118-124.

[13]朱幫助,林健.基于ARIMA和LSSVM的非線性集成預(yù)測模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2009,39(12):34-40.

[14]ZHANG G P.Time Series Forecasting Using a Hybrid ARIMA and Neural Network Model[J].Neurocomputing,2003,50(1):159-175.

[15]李子奈.計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2000.

[16]張婷.CPI的 SARIMA 模型與X-12季節(jié)調(diào)整模型對比預(yù)測分析[J].經(jīng)濟(jì)問題,2014(12):37-41.