在高中數(shù)學中滲透高等數(shù)學理論

◎徐曉方

高等數(shù)學課程不但與其它學科聯(lián)系密切，而且亦是理科、工科及經(jīng)管等專業(yè)學習的基礎(chǔ)，是整個大學課程學習的開端。清晰的內(nèi)容結(jié)構(gòu)和作為數(shù)學應(yīng)用的基礎(chǔ)是高等數(shù)學課程的特點，使其成為大學數(shù)學的基礎(chǔ)課程之一。高等數(shù)學課程是我們建立知識體系的主要奠基學科，也是高中數(shù)學的發(fā)展和延伸。高等數(shù)學課程作為學習后繼專業(yè)課程的基礎(chǔ)，其教學目的主要是為了讓學生了解基本的知識和方法，培養(yǎng)其數(shù)學思維方式。高等數(shù)學課程包含了許多分支學科，我們在學習中可以發(fā)現(xiàn)，高等數(shù)學所研究的對象較高中數(shù)學來說有了更深層次的追求，涉及了很多新的概念，同時也強調(diào)了許多不同的量。我們不難發(fā)現(xiàn)，高等數(shù)學和高中數(shù)學的研究內(nèi)容及特點有很多相似之處，但是其研究和運算方法卻更加繁雜。正因如此，高等數(shù)學課程在知識內(nèi)容上是高中數(shù)學的繼續(xù)與拓展，在觀念上是高中數(shù)學的深化與發(fā)展，在思想方法上是高中數(shù)學的沿襲與擴張。本文將從知識方面、思想方面、學科自身性質(zhì)方面及觀念方面探討高等數(shù)學課程與高中數(shù)學的聯(lián)系，同時分析并歸納高等數(shù)學理論在高中數(shù)學解題中的若干應(yīng)用，探索高等數(shù)學理論在高中數(shù)學教學中的滲透作用。

一、高等數(shù)學課程與高中數(shù)學的聯(lián)系

非數(shù)學專業(yè)的學生在進入大學校門后最先接觸的數(shù)學基礎(chǔ)課程就是高等數(shù)學，該課程為非數(shù)學專業(yè)的三大數(shù)學類公共基礎(chǔ)課程之一，這表明了它在數(shù)學基礎(chǔ)課程中的重要地位。在接觸高等數(shù)學課程后，我們不難發(fā)現(xiàn)它和高中數(shù)學聯(lián)系十分密切，該課程是聯(lián)系初等數(shù)學、大學數(shù)學的樞紐。有些知識由于局限性使得在高中數(shù)學中我們無法深入了解，但是到了高等數(shù)學課程中就很容易得到解決。下面我們主要探討高等數(shù)學課程與高中數(shù)學在知識方面、思想方面、學科自身性質(zhì)方面及觀念方面的聯(lián)系。

1.知識方面的聯(lián)系 高中數(shù)學課程中我們掌握了函數(shù)的概念、性質(zhì)以及相關(guān)運算法則。學習了高等數(shù)學課程之后，拓寬了我們對函數(shù)更多的認識，深入學習了函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性、有界性、連續(xù)性、凹凸性及函數(shù)的極值等性質(zhì)，相關(guān)的運算法則也有了較為嚴格的定義。同時，在高等數(shù)學課程中不僅對高中數(shù)學中所學習的函數(shù)導數(shù)給出了精確的定義，而且也拓寬了函數(shù)導數(shù)的性質(zhì)及相關(guān)應(yīng)用，尤其對函數(shù)導數(shù)的幾何意義做了深入剖析。另外，高中數(shù)學課程中所學習的各種初等函數(shù)、向量、參數(shù)方程、坐標系等知識為進一步學習高等數(shù)學課程奠定了理論基礎(chǔ)。綜合以上，不難看出高等數(shù)學課程和高中數(shù)學課程有很多聯(lián)系。它不但讓我們了解了許多高中數(shù)學中未能理解清楚的問題，而且以各個知識點作為實例，由淺入深，為高等數(shù)學的學習打下了堅實的基礎(chǔ)。

2.思想方面的聯(lián)系

（1）抽象化思想小學數(shù)學通過數(shù)具體物體的數(shù)量來學習數(shù)字，把我們引入了算術(shù)運算時期。中學數(shù)學通過未知數(shù)x，帶領(lǐng)我們走進研究簡單函數(shù)與方程的時期。高等數(shù)學課程開始研究抽象的函數(shù)問題，引入我們現(xiàn)在所常見的導數(shù)、積分、微分方程及多元函數(shù)等，使得數(shù)學的研究對象發(fā)生了巨大變化，這也是高等數(shù)學課程抽象化的原因。

（2）類比推理思想類比推理是數(shù)學教學中的一種常用思維方法。在數(shù)學學習及教學中，合理使用類比推理方法可以使抽象的數(shù)學知識變得具體而生動。

3.學科自身性質(zhì)方面的聯(lián)系 由于初等數(shù)學到高等數(shù)學在研究問題和處理方法上有著很大的區(qū)別，人們通常認為大學數(shù)學中所學的專業(yè)知識在高中數(shù)學中幾乎無用。其實這是一種錯誤的理解，正是因為有了這樣的區(qū)別，我們才能從高中數(shù)學的解題思維定式中走出來，通過一種更深遠的眼光，站在一個更高的角度來看待高中數(shù)學問題。高等數(shù)學課程是高中數(shù)學的延伸和提高，只有對其基礎(chǔ)知識充分掌握，才能適應(yīng)數(shù)學的發(fā)展和教材的改革。高等數(shù)學知識不僅可以提高學生的學習興趣，還可以拓寬視野，同時也能應(yīng)用到中學數(shù)學題的解法中去，使復(fù)雜問題趨于簡便化。

二、課程內(nèi)容在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用

1.導數(shù)理論在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用 導數(shù)理論是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，但在高中數(shù)學中主要側(cè)重于學習導數(shù)的基本運算，對導數(shù)的嚴格定義、理論證明和重要應(yīng)用沒有深入講解。另一方面，導數(shù)理論也是高等數(shù)學課程研究的主要內(nèi)容之一，它使各個章節(jié)的內(nèi)容聯(lián)系得更加緊密，為高等數(shù)學的基本內(nèi)容提供了理論基礎(chǔ)。導數(shù)理論與高中數(shù)學有著密切的聯(lián)系，該理論在初等數(shù)學中有著非常重要的應(yīng)用，對高中數(shù)學解題起到了“居高臨下”的作用。相比高中數(shù)學內(nèi)容，高等數(shù)學的導數(shù)理論無論是深度、廣度還是規(guī)范化程度都明顯增強了。在目前的高中數(shù)學教材中，導數(shù)理論處于一種特殊的地位。為使學生能夠更好地理解函數(shù)的性態(tài)以及掌握函數(shù)思想在數(shù)學上的應(yīng)用，對于一些不能采用或者難以采用初等數(shù)學方法解決的問題，一般可通過建立函數(shù)關(guān)系式，運用函數(shù)思想，并借助于導數(shù)這個有力工具來研究其性質(zhì)，輕松簡捷地獲得問題的解決，這充分體現(xiàn)了導數(shù)工具性和應(yīng)用性的重要作用。在高中數(shù)學課程改革背景下，導數(shù)知識已經(jīng)作為高中數(shù)學的重要模塊之一，這為高等數(shù)學課程教學奠定了堅實的基礎(chǔ)。反過來，高等數(shù)學課程中的導數(shù)理論是高中數(shù)學中相關(guān)內(nèi)容的發(fā)展與深化，其應(yīng)用非常廣泛，幾乎涉及到高中數(shù)學內(nèi)容的各個方面，對高中數(shù)學的教學與競賽具有理論指導意義。

2.極限理論在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用 極限是高等數(shù)學課程內(nèi)容中的基本概念，是研究微積分學的重要工具。極限理論在高中數(shù)學與高等數(shù)學中起著承上啟下的作用，下面通過舉例闡述極限思想在高中數(shù)學里的體現(xiàn)。通過這些例題學習與分析來提高對極限思想方法的理解力，進一步揭示用極限思想方法解決問題的簡捷性和優(yōu)越性。