諧振頻率對特斯拉線圈電壓增益的影響

王子恒，張心明

（長春理工大學機械工程學院，吉林 長春 130022）

0　引言

隨著特斯拉線圈的發(fā)展，不但了解特斯拉線圈的人增多，制作特斯拉線圈的人更是與日俱增。特斯拉線圈是利用諧振原理的升壓變壓器，它形成的離子發(fā)射以放電的形式展現(xiàn)在人們面前，所以一提到特斯拉線圈總會想到“人工閃電”?！叭斯らW電”與雷暴中產(chǎn)生的閃電是截然不同的，非常顯而易見的就是其放電方式不同，除去放電方式以外，它們的頻率，功率，能量等等都是不同的[1-4]。

圖1是特斯拉線圈的基本主體結(jié)構(gòu)，主要包括初級諧振回路和次級諧振回路，初級回路是由主電容，打火器，初級線圈構(gòu)成，次級諧振回路由次級線圈和放電頂端構(gòu)成。

特斯拉線圈首先使用高壓變壓器充電并且使能量暫時儲存在電容中，當電壓達到打火器的額定電壓時，打火器間隙的空氣將電離，初級諧振回路導通，初級諧振回路通過耦合向次級回路傳遞能量。次級回路隨之振蕩，接收能量，隨著能量增多，放電頂端的電壓逐漸增大。當電壓足夠大時，放電頂端會電離附近的空氣，形成離子的發(fā)射，以其為放電路徑，一旦放電頂端與地面形成閉合回路，就會出現(xiàn)電弧，也就是我們說的“人造閃電”[5-7]。

圖1　基本主體結(jié)構(gòu)Fig. 1 The basic structure of the main

特斯拉線圈的效果主要表現(xiàn)就是擊穿空氣的電弧，也就是“人造閃電”的效果。電弧的長短就可以對特斯拉線圈的性能進行判定，電弧長的特斯拉線圈一般功率較高，能量傳遞效率較高；而電弧短的特斯拉線圈有的是因為功率小，而有的是因為設計制作方面的缺陷[5-7]。

伴隨著日漸成熟的特斯拉線圈技術(shù)，特斯拉線圈的制作朝著大功率，高電壓，高電流，最終使特斯拉線圈電弧變長，放電效果更好的方向發(fā)展。一般制作的特斯拉線圈放電電弧長度不超過10 cm，而現(xiàn)在制作的特斯拉線圈電弧長度不僅超過10 cm，甚至已經(jīng)達到30～50 cm[8-15]。為了減少設計制作方面的缺陷，在制作中滿足更高的電弧長度要求以及追求特斯拉線圈更好的放電效果，本文對影響特斯拉線圈放電效果的因素進行分析研究。而特斯拉線圈的放電效果好壞主要取決于于其輸出電壓的大小，所以首先對影響特斯拉線圈輸出電壓的參數(shù)進行分析。

1　影響特斯拉線圈輸出電壓的參數(shù)

如果要找出影響特斯拉線圈輸出電壓的參數(shù)，需要對特斯拉線圈進行理論分析。所首先將設備圖轉(zhuǎn)化為簡單的電路圖進行分析。通過對可以影響特斯拉線圈電弧效果的參數(shù)進行理論分析以及計算，找出如何改變參數(shù)提升特斯拉線圈輸出電壓的方法，如圖2所示為特斯拉線圈等效電路。

圖2　特斯拉線圈等效電路Fig.2 Tesla coil equivalent circuit

圖2的電路中并沒有電阻，是理想情況下的特斯拉線圈等效電路，只有電路處于理想情況下才能有無阻尼狀態(tài)，設在此電路中，電路處于理想狀態(tài)中。圖中的U1為特斯拉線圈的輸入電壓，L1是初級回路線圈的電感，C1是初級回路的電容，L2是次級回路線圈的電感，C2是次級回路的等效電容，即為放電頂端與大地之間的電容，次級線圈中并沒有實體電容。初級線圈與次級線圈之間存在互感值為M。

根據(jù)基爾霍夫第一定律（KVL），閉合回路的總電壓值為0，因此，可得初級回路以及次級回路的公式分別為：

為得到次級回路的輸出電壓與其他參數(shù)的關系，將式(3)和(4)帶入(1)和(2)后聯(lián)立，可得：

式中1ω,2ω是未耦合的初級電路以及次級電路諧振角頻率；

k是初級線圈電感L1和次級線圈電感L2的耦合系數(shù)；

μ為初級線圈與次級線圈諧振角頻率平方比；

w1和w2是初級回路和次級回路耦合后的諧振頻率；

特斯拉線圈的電弧長短就是電弧擊穿空氣的長短，在同樣的環(huán)境下，次級回路輸出電壓越大，所具有的能量越大，能擊穿空氣越長，特斯拉線圈的電弧越長。所以通過公式(6)可以計算出次級回路輸出電壓的最大幅值，其幅值能決定特斯拉線圈電弧最長的長度。由此可得次級回路的輸出電壓U2的最大幅值為：

通過公式可以看出，對次級回路的輸出電壓U2產(chǎn)生影響的系數(shù)有輸入電壓U1，耦合系數(shù)k和初級線圈與次級線圈諧振頻率的平方比μ。輸入電壓U1可以很容易從公式中看出，隨著輸入電壓U1的增大，次級回路的輸出電壓U2隨之增大。而從耦合系數(shù)k也較為容易發(fā)現(xiàn)，耦合系數(shù)k增大，次級回路的輸出電壓U2也隨之增大。所以對諧振頻率比μ，或者說是特斯拉線圈的諧振頻率進行研究，如何提高特斯拉線圈的輸出電壓以優(yōu)化其放電效果。

2　諧振頻率與輸出電壓關系

為研究諧振頻率與輸出電壓的關系以及諧振頻率對輸出電壓的影響，首先要對線圈工作時能量傳遞過程進行分析。如圖3為線圈之間能量傳遞的過程中初級線圈和次級線圈電壓波形。

圖3　能量傳遞過程電壓波形Fig.3 voltage waveform of energy transfer process

初級回路電壓達到峰值后，次級回路電壓最小時，初級回路將能量傳遞到次級回路為充電過程，此時電場能在增加，磁場能在減小，回路中電流在減小，電容器上電量在增加。從能量看，磁場能在向電場能轉(zhuǎn)化。次級回路電壓達到峰值，初級回路電壓最小時，次級回路電的頂端放電為放電過程，此時電場能在減少，磁場能在增加，回路中電流在增加，電容器上的電量在減少。從能量看，電場能在向磁場能轉(zhuǎn)化?？梢?，能量在初級回路和次級回路中來回振蕩，且隨著振蕩次數(shù)的增加電壓峰值逐漸減小。諧振頻率可以決定能量傳遞過程的周期，也就是電路中的充電放電周期，所以對特斯拉線圈的放電效果有很大影響。

特斯拉線圈中分為初級回路和次級回路，初級回路的諧振頻率為f1，由初級回路中的電感L1和電容C1決定；次級回路的諧振頻率為f2，由次級回路中的電感L2和對地等效電容C2決定。

將式(8)帶入公式(7)后可推出電壓增益

當為定值時，U2(t)達到峰值UMAX。所以此時成正比關系，所以可得出

特斯拉線圈作為空心線圈，一般來講，耦合系數(shù)k不超過0.6，所以，用MATLAB畫出公式(10)電壓增益隨諧振頻率平方比μ的變化曲線如圖4所示。

圖4　電壓增益G隨諧振頻率平方比的變化曲線Fig.4 Voltage gain as a function of the square of resonant frequency

由圖4中可以看出，當μ＜1時，耦合系數(shù)k隨著諧振頻率平方比μ的增大而減小，且k值越大，電壓增益G值越大。當μ＞1時，耦合系數(shù)k隨著諧振頻率平方比μ的增大而減小，k值越大，電壓增益G值越大。當特斯拉線圈的諧振頻率平方比μ=1時，增益電壓G達到最大值，而此時，不同的耦合系數(shù)k的電壓增益基本是相同的。

因此可得出結(jié)論當特斯拉線圈的諧振頻率平方比μ=1時，諧振頻率f1=f2時，增益電壓G最高，特斯拉線圈的輸出電壓U2最高。所以在設計制作特斯拉線圈時，應將電路實現(xiàn)雙諧振電路，即時，特斯拉線圈的次級回路輸出電壓最高，放電效果最好。

3　結(jié)論

本篇文章在閱讀了大量文獻的基礎上，了解特斯拉線圈的基本原理，通過計算分析了影響特斯拉線圈的參數(shù)主要有輸入電壓、耦合系數(shù)和諧振頻率。最終發(fā)現(xiàn)當諧振頻率時，特斯拉線圈實現(xiàn)雙諧振電路時，特斯拉線圈的電壓增益最高，輸出電壓最高，電弧擊穿空氣的長度最長，放電的效果最好。所以在設計制造特斯拉線圈時，應該嚴格按照的值來設計初級線圈和次級線圈。如若特斯拉線圈的功率增高，在應用方面的實用范圍將更廣，因此，應繼續(xù)挖掘特斯拉線圈的潛力，制作出電弧更長，放電效果更好的特斯拉線圈。

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