淺談如何培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)—以《一次函數(shù)》教學(xué)為例

廣東省東莞市茶山中學(xué)(523381)　盧錦光

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出并設(shè)計(jì)了10個(gè)核心概念,這十個(gè)核心概念分別是:數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).這些核心概念,是涉及到學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中應(yīng)該建立和培養(yǎng)的關(guān)于數(shù)學(xué)的感悟、觀念、意識(shí)、思想、能力等,是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程最應(yīng)該培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng),也是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的重要方面.這些核心概念都是數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)點(diǎn),也應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目標(biāo),并通過老師的教學(xué)予以落實(shí).

二、在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在課堂教學(xué)中,為了達(dá)到核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo),課堂教學(xué)體系要具備完整性,豐富課堂教學(xué)環(huán)節(jié),從課前引入到課后反思鞏固,豐富課堂教學(xué)內(nèi)容,從淺顯易懂到教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn),提高整個(gè)課堂教學(xué)體系的數(shù)量和質(zhì)量.這樣的課堂教學(xué)不僅豐富學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí),還可以提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),進(jìn)而實(shí)現(xiàn)能力與品格并重.下面,筆者結(jié)合人教版八年級下冊《一次函數(shù)》這章書的教學(xué),談一談如何培養(yǎng)初中生的核心素養(yǎng).

(一)從《函數(shù)的概念》教學(xué),讓學(xué)生體會(huì)數(shù)感的美.

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟.建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義,理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系.

學(xué)生進(jìn)入初中階段,所接觸的數(shù)域不斷擴(kuò)大,由自然數(shù)域到有理數(shù)域、無理數(shù)域,最后到實(shí)數(shù)域.這里要求學(xué)生要掌握實(shí)數(shù)的大小比較,理解實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的.因此,學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的過程中,通過數(shù)軸使得數(shù)學(xué)形象化,具體化,從而更容易掌握.而其實(shí)初中數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是由數(shù)到字母的轉(zhuǎn)變,由具體到抽象的轉(zhuǎn)變.函數(shù)就是這個(gè)轉(zhuǎn)折中的一個(gè)重要領(lǐng)域,函數(shù)反映的是一種數(shù)量變化關(guān)系.這些都是學(xué)生體會(huì)、理解的.

在《函數(shù)的概念》這節(jié)課中,如果只給出函數(shù)定義:在一個(gè)變化過程中,如果有兩個(gè)變量x與y,并且對于x的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與其對應(yīng),則x為自變量,y是x的函數(shù).學(xué)生是很難理解的.因此,我會(huì)將這個(gè)定義分解,讓學(xué)生明確函數(shù)是一種數(shù)量的變化關(guān)系.舉例:我們窗外的這棵樹,剛開始是一棵小樹苗,隨著時(shí)間的流逝,慢慢的長高,這就是一個(gè)變化過程.在這個(gè)變化過程中,時(shí)間是會(huì)變化的,樹的高度會(huì)變化的,這就是兩個(gè)變量.我們知道:隨著時(shí)間的流逝,數(shù)慢慢長高,而不是因?yàn)闃溟L高了,所以時(shí)間流逝了.因此,這里時(shí)間是自變量,樹的高度是函數(shù).

最后,就是讓學(xué)生理解唯一確定.我們可以將函數(shù)看成是一個(gè)黑匣子,放一個(gè)數(shù)(作為自變量)進(jìn)去,看看輸出什么樣的結(jié)果(作為函數(shù)值).首先,唯一,必須是進(jìn)一個(gè)數(shù),出來一個(gè)數(shù).如圖1,進(jìn)一個(gè)數(shù),出來2個(gè)數(shù),所以就沒有唯一了.如圖2,看似符合要求,進(jìn)一個(gè)數(shù),出來一個(gè)數(shù).但是,第一次輸入1時(shí),得到的是2,第二次輸入1時(shí),得到的是3,就相當(dāng)于說,輸入1時(shí),可能得到的是2,可能得到的是3,這種情況就沒有唯一確定了.

圖1

圖2

如圖3,我們看看這種情況符合要求不?輸入1時(shí),得到的是3;輸入2時(shí),得到的也是3,那這種情況跟圖2的情況一樣嗎?答案是:不一樣.圖2的情況是與1對應(yīng)的值有2個(gè),可能是2,可能是3.而圖3的情況是與1對應(yīng)的數(shù)是唯一確定的,是3;與2對應(yīng)的數(shù)是唯一確定的,是3.這里我們所說的是,每一個(gè)自變量的值有唯一確定的函數(shù)值跟它對應(yīng),而沒有說一個(gè)函數(shù)值一定只能對應(yīng)一個(gè)自變量的值,一個(gè)函數(shù)值可以對應(yīng)幾個(gè)不同的自變量的值.

圖3

通過以上的教學(xué),本來函數(shù)的概念是抽象的,變得具體化,形象化.學(xué)生變得容易接受了.同時(shí),學(xué)生在聽課的過程中,慢慢的理解到了一種數(shù)量關(guān)系,體會(huì)到數(shù)感的美.

(二)從《畫函數(shù)圖象》教學(xué),增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念.

空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形,根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系;描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化;依據(jù)語言的描述畫出圖形等.

對于《畫函數(shù)圖象》這節(jié)課,課本給出了3個(gè)例題,分別是畫y=x+0.5、S=x2(x＞0)和y=(x＞0)三個(gè)函數(shù)圖象.因?yàn)镾=x2(x＞0)和y=(x＞0)這兩個(gè)函數(shù)是初三的重要內(nèi)容,而且相對來說比較難畫.對于連一次函數(shù)圖象都不會(huì)畫的初二學(xué)生,學(xué)習(xí)畫這兩個(gè)函數(shù)圖象是比較困難的,也難學(xué)會(huì),到了初三也不記得,不是在浪費(fèi)時(shí)間嗎?所以有些老師就干脆就不教了.同時(shí),有些老師為了節(jié)省時(shí)間,在這節(jié)課就直接教授兩點(diǎn)法,畫一次函數(shù)圖象了.

這節(jié)課內(nèi)容在這學(xué)期不?？?不講也不會(huì)影響到后面的學(xué)習(xí).在講解一次函數(shù)圖象時(shí),直接教授兩點(diǎn)法畫一條直線,考試可以順利拿到分,看起來是省時(shí)省力.但是,課本安排這節(jié)課的意圖是想讓學(xué)生在學(xué)習(xí)畫函數(shù)圖象的過程中,摸索、探究、發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象是可以形形色色、多種多樣的,可以是直線,可以是曲線.而如果我們直接教學(xué)生兩點(diǎn)法畫一條直線,那么是否使學(xué)生認(rèn)為所有的函數(shù)圖象都是直線呢?同時(shí),S=x2(x＞0)和y=(x＞0)這兩個(gè)函數(shù)的圖象可以很好的讓學(xué)生體會(huì)到描的點(diǎn)越多,畫的圖象就越準(zhǔn)確;還可以讓學(xué)生很好的理解“平滑的曲線”是怎樣一回事.因此,這節(jié)課,我們應(yīng)該要將它講通、講透.讓學(xué)生清楚認(rèn)識(shí)函數(shù)圖象.

筆者上這節(jié)課時(shí),先給出畫函數(shù)圖象的一般步驟:1、列表;2、描點(diǎn);3、用平滑的曲線連線.接著,筆者在黑板上展示畫y=x+0.5的函數(shù)圖象.讓學(xué)生觀察每一步是怎樣做的.展示完后,讓學(xué)生畫y=?x+1這個(gè)函數(shù)圖象.同學(xué)們基本上都能掌握了.然后,讓學(xué)生試畫出S=x2(x＞0)的函數(shù)圖象.當(dāng)然,因?yàn)閷W(xué)生剛剛學(xué)畫函數(shù)圖象,我會(huì)先提醒學(xué)生,該函數(shù)中自變量的取值范圍是什么,列表時(shí)要注意怎樣選取合適的數(shù).學(xué)生在畫圖象過程中,出現(xiàn)了各種各樣的狀況,學(xué)生中有少部分學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤,圖象畫變形了;但更多的學(xué)生是描點(diǎn)以后,直接用尺將相鄰兩點(diǎn)連起來的.這時(shí),為了讓學(xué)生知道這個(gè)函數(shù)圖象直接用尺連線是錯(cuò)誤的,筆者利用幾何畫板這個(gè)軟件,通過幾何畫板的演示,當(dāng)描的點(diǎn)越來越多時(shí),圖象的軌跡就越來越清晰.這里畫出來的是一條平滑的曲線.接著,筆者在黑板上將S=x2(x＞0)的函數(shù)圖象在黑板上演示了一遍.學(xué)生們都感覺到茅塞頓開.趁熱打鐵,讓學(xué)生畫y=(x＞0)這兩個(gè)函數(shù)的圖象.這時(shí),學(xué)生畫出了挺標(biāo)準(zhǔn)的圖象了.課堂小結(jié)時(shí),我提出一個(gè)問題:上節(jié)課老師不是說心電圖那種圖象可以表示一個(gè)函數(shù)嗎?那么有沒有哪種函數(shù)的圖象是那樣子呢?學(xué)生頓時(shí)就議論起來了.為了解答這個(gè)問題,我利用幾何畫板畫了一個(gè)y=sinx的三角函數(shù)圖象給學(xué)生看,學(xué)生看完后,都驚嘆不已,原來函數(shù)圖象是可以這么多變化的.筆者順勢簡單介紹了一下,大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

借助幾何畫板這個(gè)軟件,我們可以形象地將函數(shù)圖象展示給學(xué)生看,讓學(xué)生有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí),大大的增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念,提高學(xué)習(xí)興趣.

(三)從《函數(shù)圖象》教學(xué),增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀.

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象,有助于探索解決問題的思路,預(yù)測結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué),在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用.

認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)圖象是從這節(jié)課開始,所以必須用心上好這節(jié)課.下面以一道例題來分析.

例1如圖4的圖象反映的過程是:小明從家里出發(fā)去離他家較近的菜地澆水,再去離他家較遠(yuǎn)的玉米地鋤草,然后回家.其中x表示時(shí)間,y表示小明離他家的距離.(小明、菜地、玉米地在同一直線上).

圖4

(1)菜地離小明家____千米,小明從家走到菜地用了___分鐘;

(2)小明在菜地澆水用了____分鐘;

(3)小明從菜地走到玉米地用了____分鐘;

(4)小明在玉米地鋤草用了___分鐘;

(5)玉米地離小明家____千米,小明從玉米地走回家的平均速度是___米/分鐘.

從例1中,需要教會(huì)學(xué)生利用函數(shù)圖象去解決實(shí)際問題.學(xué)生做題前,先引導(dǎo)學(xué)生看圖象,理解圖象的意義.首先,讓學(xué)生說說圖中5條線段的意義.線段OA表示從家到菜地的過程中,離家距離y與時(shí)間x之間的關(guān)系;線段AB表示在菜地澆水時(shí),離家距離y與時(shí)間x之間的關(guān)系;線段BC表示從菜地到玉米地的過程中,離家距離y與時(shí)間x之間的關(guān)系;線段CD表示在玉米地鋤草時(shí),離家距離y與時(shí)間x之間的關(guān)系;線段DE表示從玉米地回家的過程中,離家距離y與時(shí)間x之間的關(guān)系.接下來,讓學(xué)生說說對圖象存在的疑問.學(xué)生提出以下問題:1、為什么線段AB和CD跟x軸平行?答:以線段AB為例,小明在菜地澆水,與家的距離一直沒有變化,從15分鐘到25分鐘這段時(shí)間,與家的距離都是1.1千米,所以平行于x軸.2、為什么從玉米地回家的圖象不是線段DO嗎?怎么變成DE呢?答:可能有部分同學(xué)對函數(shù)圖象和小學(xué)所學(xué)的線段圖有點(diǎn)混淆,這里的點(diǎn)O不是代表家,而是0分鐘時(shí),小明在家,離家的距離為0,所以經(jīng)過了點(diǎn)O(0,0);80分鐘從玉米地回到了家,這時(shí),離家的距離為0,所以圖象經(jīng)過點(diǎn)E(80,0).經(jīng)過分析后,學(xué)生理解了圖象,很順利的完成任務(wù).

(四)從《課題學(xué)習(xí)選擇方案》教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的模型思想,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括:從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義.這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí).

應(yīng)用意識(shí)有兩個(gè)方面的含義,一方面有意識(shí)利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象,解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題;另一方面,認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題,這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題,用數(shù)學(xué)的方法予以解決.在整個(gè)數(shù)學(xué)教育的過程中都應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),綜合實(shí)踐活動(dòng)是培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)很好的載體.

下面,從《課題學(xué)習(xí)選擇方案》教學(xué),談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生用建模的思想來解決現(xiàn)實(shí)問題.

例2怎樣選取上網(wǎng)收費(fèi)方式?

_收費(fèi)方式____月使用費(fèi)/元__包時(shí)上網(wǎng)時(shí)間/小時(shí)__超時(shí)費(fèi)/(元/分鐘)____________________A30______________25_______________0.05_________________________B45______________50_______________0.05________________________C120___________不限時(shí)_______________________

表中給出A、B、C三種上寬帶網(wǎng)的收費(fèi)方式.選取那種方式能節(jié)省上網(wǎng)費(fèi)?(本例題中為了計(jì)算方便,數(shù)據(jù)有所調(diào)整)

該例中,可以讓學(xué)生初步接觸建模思想,培養(yǎng)學(xué)生的模型思想.同時(shí),教會(huì)學(xué)生利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決實(shí)際生活中的問題.

因?yàn)槔薪o出了3種收費(fèi)方式,為了分散難點(diǎn),先將這3種收費(fèi)方式分開研究、討論,再綜合解題.設(shè)收費(fèi)方式A、B、C對應(yīng)的費(fèi)用分別是y1元、y2元、y3元,上網(wǎng)時(shí)間為x小時(shí).老師先給學(xué)生分析收費(fèi)方式A中費(fèi)用y1與上網(wǎng)時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)題意可以得到如下的函數(shù):

化簡,得

并引導(dǎo)學(xué)生畫出圖象.

圖5

學(xué)生模仿,得出收費(fèi)方式B中y2與x的函數(shù)關(guān)系式:

收費(fèi)方式C中y3與x的函數(shù)關(guān)系式:y3=120,x≥0,并在同一坐標(biāo)系畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象(如圖5).從圖中可以看出:當(dāng)0＜x＜30時(shí),選擇方式A最省錢;當(dāng)30＜x＜75時(shí),選擇方式B最省錢;當(dāng)x＞75時(shí),選擇方式C最省錢.

“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中模型思想的基本要求,也有利于學(xué)生在過程中理解、掌握有關(guān)知識(shí)、技能,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),感悟模型思想的本質(zhì).這一過程更有利于學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題,培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)漫長的過程,老師們需要在每節(jié)課的教學(xué)中不停的滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體會(huì)到數(shù)學(xué)的美,真正領(lǐng)悟到“數(shù)學(xué)好玩,玩好數(shù)學(xué)”的含義.并能通過所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí),應(yīng)用到生活中去,解決問題.這個(gè)教學(xué)過程應(yīng)該是潤物細(xì)無聲,讓學(xué)生在潛移默化中發(fā)展自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).