軸力對(duì)自由邊界Timoshenko梁橫向動(dòng)特性影響研究

王　樂(lè)，余慕春

(中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院， 北京　100076)

導(dǎo)彈的橫向動(dòng)特性對(duì)其在飛行過(guò)程中的穩(wěn)定性及動(dòng)載荷等有較大影響，在飛行過(guò)程中，導(dǎo)彈除了承受橫向載荷，還要承受由發(fā)動(dòng)機(jī)推力、氣動(dòng)阻力等導(dǎo)致的很大的軸向載荷。軸向載荷會(huì)對(duì)導(dǎo)彈的橫向動(dòng)特性產(chǎn)生一定的影響，在某些情況下，例如在計(jì)算潛射導(dǎo)彈出筒或出水過(guò)程的橫向載荷時(shí)，這種影響是不可忽視的，因此有必要研究其對(duì)橫向動(dòng)特性的影響程度。由于導(dǎo)彈是細(xì)長(zhǎng)體，其橫向動(dòng)特性一般采用梁模型進(jìn)行計(jì)算，很多學(xué)者也用梁模型研究軸向載荷對(duì)橫向動(dòng)特性的影響。對(duì)于Euler梁在軸向力作用下的橫向振動(dòng)，已經(jīng)有一些文獻(xiàn)進(jìn)行了研究。宋健[1]給出了軸向力作用下求解等截面Euler梁橫向動(dòng)特性的解析方法，研究了推力和空氣阻力對(duì)火箭橫向振動(dòng)頻率和振型的影響；張廣蕓等[2]給出了軸力對(duì)于Euler梁橫向振動(dòng)固有頻率影響系數(shù)的高精度表達(dá)式；張光輝等[3]基于Euler梁理論，研究了軸向荷載對(duì)錨桿橫向振動(dòng)影響；龔善初[4]研究了簡(jiǎn)支Euler梁在軸向載荷作用下固有頻率與軸向載荷的關(guān)系。

Timoshenko梁理論[5]在模型中引入了剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，與Euler梁理論相比，其模型更準(zhǔn)確，在工程設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用[6-9]。劉吉源等[10]利用瑞雷法得到任意邊界條件下梁固有頻率的泛函方程，建立了軸力作用下兩端固支Timoshenko梁的頻率方程，討論了軸向力、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)解的影響；王英華[11]建立了潛射導(dǎo)彈的Timoshenko梁有限元模型，將軸力產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力加入梁?jiǎn)卧羞M(jìn)行模態(tài)分析，計(jì)算了出水過(guò)程中軸向載荷對(duì)潛射導(dǎo)彈橫向振動(dòng)特性的影響，對(duì)于自由邊界條件下Timoshenko梁在軸向力作用的橫向振動(dòng)問(wèn)題，有必要用解析的方法進(jìn)行研究。

本文給出了軸力作用下Timoshenko梁自由振動(dòng)的偏微分方程，采用分離變量法求解，給出了軸力作用下自由邊界Timoshenko梁固有頻率的控制方程。建立了截面為環(huán)形的自由邊界Timoshenko梁模型，計(jì)算了軸力對(duì)Timoshenko梁橫向動(dòng)特性的影響，本文給出的計(jì)算方法對(duì)導(dǎo)彈橫向動(dòng)特性設(shè)計(jì)具有一定的參考意義。

1　軸力作用下Timoshenko梁自由振動(dòng)方程

設(shè)梁的材料密度為ρ，長(zhǎng)度為l，作用在梁兩端的軸向壓力為固定值T，作用在梁上單位長(zhǎng)度的橫向力為q1，如圖1所示，梁的單位長(zhǎng)度的慣性力和慣性力矩分別為q和m，梁截面的線位移為y，角位移為φ，截面的面積為A，繞橫軸的慣性矩為I。

由梁的內(nèi)力和位移參數(shù)的關(guān)系可知

(1)

(2)

式(2)中C是截面的抗彎剛度，為

C=kGA

(3)

其中k是Timoshenko梁截面的剪切系數(shù)。

設(shè)梁的截面為等截面，作用在梁上的橫向力q1不隨時(shí)間變化，可得Timoshenko梁模型的運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

2　軸力作用下自由邊界Timoshenko梁自由振動(dòng)方程的求解

為了求解式(4)，采用變量分離法，令

y=W(x)sin(ωt+φ)

(5)

式(5)中，W(x)是振型，ω是梁的固有頻率，將式(5)代入式(4)，可得

(6)

令W(x)=Deλx，由式(6)，可得

(7)

式(7)是關(guān)于λ的四次方程，令

(8)

可得λ的4個(gè)根分別為

(9)

其中

(10)

(11)

則W(x)的形式可寫(xiě)為

W(x)=C1cosa2x+C2sina2x+

C3cosha1x+C4sinha1x

(12)

對(duì)于兩端自由的梁，其邊界條件為

(13)

梁的線位移和角位移有如下關(guān)系式

(14)

將上式對(duì)x進(jìn)行積分，得

(15)

由式(1)，式(2)，式(13)，式(14)和式(15)，可得式(4)的邊界條件為

(16)

將式(5)代入式(16)可得

(17)

將式(12)代入上式，可得

當(dāng)x=0時(shí)，有

(18)

當(dāng)x=l時(shí)，有

(19)

可得

(20)

式(20)是關(guān)于C1和C2的線性方程組，為了使得W(x)有非零解，則C1和C2必有非零解，因此有

(21)

式(21)是關(guān)于Timoshenko梁固有頻率ω的方程，該方程為超越方程，解此方程即可求得有軸力作用下自由邊界Timoshenko梁的固有頻率，求出ω后，可求得振型W(x)。

3　算例

以自由邊界的鋼質(zhì)梁為例，設(shè)E=2×1011Pa，I=8.333×10-6m4，A=0.01 m2，ρ=7 800 kg/m3，l=5 m，k=0.851。為了檢驗(yàn)式21計(jì)算方法的正確性，在無(wú)軸力作用條件下，將固有頻率計(jì)算結(jié)果與Euler梁理論進(jìn)行對(duì)比。由文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]可知，自由邊界Euler梁的固有頻率方程為

(22)

令T=0，由式(21)計(jì)算Timoshenko梁的固有頻率，用二分法求解超越方程，設(shè)置搜索步長(zhǎng)dω=0.001 rad/s，誤差eps=1e-6。由式(22)直接計(jì)算Euler梁的固有頻率，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1　自由邊界條件下Timoshenko梁和Euler梁固有頻率對(duì)比

由計(jì)算結(jié)果可知，由式(21)和式(22)分別計(jì)算Timoshenko梁和Euler梁的各階固有頻率相近，其中Euler梁各階固有頻率均高于Timoshenko梁，這是由于Euler梁忽略了截面的剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量導(dǎo)致的。

在式(21)中引入軸向壓力，計(jì)算不同軸向壓力對(duì)自由邊界Timoshenko梁橫向一階固有頻率的影響。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2　軸向壓力對(duì)自由邊界Timoshenko梁橫向一階固有頻率的影響

從表2可知，當(dāng)軸向壓力逐漸增大時(shí)，自由邊界Timoshenko梁橫向一階固有頻率逐漸降低至零，本文求得的一階固有頻率降為零時(shí)的軸向壓力，即臨界壓力Tcr=6.579 47e5 N，這個(gè)結(jié)果與文獻(xiàn)[10]相近。

導(dǎo)彈在飛行過(guò)程中在主動(dòng)段往往要承受較大的壓縮載荷，其艙段截面一般為薄壁圓環(huán)，為了估算軸向壓力對(duì)導(dǎo)彈飛行橫向動(dòng)特性的影響，建立了截面為環(huán)形的Timoshenko梁模型，剪切系數(shù)k的計(jì)算使用文獻(xiàn)[14]的方法，表達(dá)式為

(23)

式(23)中υ是材料的泊松比。采用式(21)計(jì)算方法求得的前三階固有頻率見(jiàn)表3。其前三階橫向振型見(jiàn)圖2。

表3　無(wú)軸力作用下梁的橫向固有頻率

計(jì)算了不同軸向壓力對(duì)該梁前三階橫向固有頻率的影響，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4。

表4　軸向壓力對(duì)環(huán)形截面Timoshenko梁橫向固有頻率的影響

從以上計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)，軸向壓力對(duì)最低階頻率的影響最大，階次越高影響越小。當(dāng)軸向壓力為500 000 N時(shí)，導(dǎo)彈橫向第一階頻率降低3.15%，第二階頻率降低0.92%，第三階頻率降低0.41%。

4　結(jié)論

1) 本文給出了軸力作用下Timoshenko梁自由振動(dòng)方程，在自由邊界下，采用分離變量法求解該方程，給出了軸力作用下自由邊界Timoshenko梁固有頻率的方程；

2) 在無(wú)軸力作用及自由邊界條件下，通過(guò)求解固有頻率的超越方程，得到的Timoshenko梁固有頻率計(jì)算結(jié)果與Euler梁計(jì)算結(jié)果接近，驗(yàn)證了本文給出的自由邊界軸力作用下Timoshenko梁自由振動(dòng)方程求解方法的正確性；

3) 為了估算軸力對(duì)導(dǎo)彈橫向動(dòng)特性的影響，本文建立了截面為環(huán)形的Timoshenko梁模型，不同軸向壓力下橫向固有頻率計(jì)算結(jié)果表明，軸向壓力對(duì)最低階頻率的影響最大，階次越高影響越小。當(dāng)軸向壓力為500 000 N時(shí)，導(dǎo)彈橫向第一階頻率降低3.15%，第二階頻率降低0.92%，第三階頻率降低0.41%。

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