霍爾效應(yīng)中副效應(yīng)的理論研究

江陰職業(yè)技術(shù)學(xué)院　倪忠楚

霍爾(E.H.Hall)效應(yīng)實(shí)驗(yàn)是高校理工科基本實(shí)驗(yàn)之一，無論是驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)還是測量性實(shí)驗(yàn)[1][2]，測量霍爾電壓是關(guān)鍵，由于在霍爾效應(yīng)中，還伴隨著愛廷豪森(Ettingshausen)效應(yīng)、能斯脫(Nernst)效應(yīng)和里紀(jì)-勒杜克(Righi-Leduc)效應(yīng)和不等位電勢差等副效應(yīng)，這些副效應(yīng)對霍爾電壓的測量帶來影響，消除這些影響較好的方法是用換向法，即通過換向器來改變通過霍爾片的工作電流方向和磁感應(yīng)強(qiáng)度方向。本方擬對副效應(yīng)產(chǎn)生原因做較深入的研究，得出它們與工作電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度之間的關(guān)系，說明它們的消除方法。

1　愛廷豪森效應(yīng)

霍爾片里的載流子可以把它等效成理想氣體的分子，它的熱運(yùn)動(dòng)基本遵循麥克斯韋速率分布律。通電后，霍爾片里的載流子的運(yùn)動(dòng)可以看成是熱運(yùn)動(dòng)和定向運(yùn)動(dòng)的合成。由于運(yùn)動(dòng)載流子在垂直于速度方向磁場中受到的洛倫茲力大小為：

這樣一部分速率大的載流子受到的洛倫茲力也大，且大于載流子受到的霍爾電場力，它們將向洛倫茲力的方向偏轉(zhuǎn)，而且速度越大，洛倫茲力也越大，偏轉(zhuǎn)就越多；另一部分速率小的載流子受到的洛倫茲力也小，且小于載流子受到的霍爾電場力，它們將向電場力的方向偏轉(zhuǎn)，而且速度越小，洛倫茲力也越小，偏轉(zhuǎn)就越多。假設(shè)電流I向右，勻強(qiáng)磁場B垂直霍爾片向里，載流子為電子，則霍爾電場EH向下，速率大于平衡速率的電子向上偏轉(zhuǎn)，速率小于平衡速率的電子向下偏轉(zhuǎn)，如圖1所示。

圖1　不同速率電子的偏轉(zhuǎn)

圖1中的速率關(guān)系為v4

式中ε是沿積分方向的湯姆孫電動(dòng)勢，σ(T)稱湯姆孫系數(shù)，與材料和溫度有關(guān)，金屬的湯姆孫系數(shù)很小，在0C°時(shí)，銅的湯姆孫系數(shù)的數(shù)量級為10-6V●K-1，而半導(dǎo)體的湯姆孫系數(shù)比金屬要大得多，數(shù)量級一般為10-3V●K-1。

當(dāng)半導(dǎo)體吸熱產(chǎn)生溫差電時(shí)，湯姆孫系數(shù)σ(T)>0，在上例中T2>T1，由式(3)可知，湯姆孫電動(dòng)勢ε>0，與霍爾電壓UH的方向相反，而湯姆孫效應(yīng)在霍爾片兩側(cè)產(chǎn)生的電壓UE= -ε，由此可見，電壓UE的方向與霍爾電壓UH的方向是相同的，即湯姆孫效應(yīng)產(chǎn)生的電壓對霍爾電壓起加強(qiáng)作用。

湯姆孫效應(yīng)的理論解釋是：當(dāng)導(dǎo)體或半導(dǎo)體里溫度不均勻時(shí)，內(nèi)部的載流子像氣體分子一樣，有擴(kuò)散現(xiàn)象，由高溫部分流向低溫部分，這種載流子的擴(kuò)散現(xiàn)象可等效地看成非靜電力，在內(nèi)部產(chǎn)生電動(dòng)勢。

在上例中，由于霍爾片上側(cè)溫度高，上側(cè)的電子就會(huì)向下側(cè)擴(kuò)散，這樣霍爾片上側(cè)由于少電子而出現(xiàn)正極性，下側(cè)由于多電子而出現(xiàn)負(fù)極性，形成與霍爾電場方向相同的湯姆孫電場，其作用是加強(qiáng)原電場。

若磁場方向不變，當(dāng)通過霍爾片的電流I方向改變時(shí)，出現(xiàn)的情形剛好與上面相反，如圖2所示。

圖2　電流改變后的情形

湯姆孫效應(yīng)產(chǎn)生的電壓UE方向也發(fā)生了改變，同時(shí)霍爾電壓UH方向同樣發(fā)生了改變，即湯姆孫效應(yīng)產(chǎn)生的電壓方向始終與霍爾電壓方向相同，起加強(qiáng)作用。同理，若電流I方向不變，改變磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向，情況與上面一樣。

現(xiàn)在來簡單討論湯姆孫電動(dòng)勢的大小。對于霍爾片樣品，由于材料已確定，又由于截流子偏轉(zhuǎn)引起的溫差很小，所以可以把湯姆孫系數(shù)σ(T)看成是常數(shù)，這樣式(2)可寫成：

這樣也就得到了湯姆孫電動(dòng)勢的大小與流過的電流I與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的乘積成正比。即：

綜上所述，我們可以得到這樣的結(jié)論：在霍爾片發(fā)生霍爾效應(yīng)時(shí)，由于截流子移動(dòng)速率不同，將向霍爾片兩側(cè)偏移，而溫度高低與區(qū)域內(nèi)截流子平均速率有關(guān)，平均速率大溫度就高，這樣在霍爾片兩側(cè)產(chǎn)生溫度差，從而產(chǎn)生溫差電壓UE，該電壓的大小與流過的電流I與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的乘積成正比，方向與電流方向和磁場方向均有關(guān)系，且始終與霍爾電壓方向相同。這一現(xiàn)象就是我們通常所說的愛廷豪森效應(yīng)。

由于愛廷豪森效應(yīng)引起的電壓方向始終與霍爾電壓方向相同，它們同時(shí)隨工作電流方向和磁感應(yīng)強(qiáng)度方向的改變而改變，所以采用改變電流方向和磁感應(yīng)強(qiáng)度方向無法消除愛廷豪森效應(yīng)對霍爾電壓的影響，由于愛廷豪森效應(yīng)引起的電壓非常小，所以大多測量中忽略了它的影響。要排除它的影響，通過霍爾片的工作電流通常用交流電，這是由于霍爾效應(yīng)的建立所用時(shí)間很短(大約在10-14～10-12秒內(nèi)[5])，而穩(wěn)定的溫度差的建立需要時(shí)間較長(約幾秒[6])，所以只要用周期不是很長的交流電即可，例用0.02秒的工頻電流，在0.01秒內(nèi)，霍爾效應(yīng)已十分穩(wěn)定，而溫度差還沒有建立，電流就開始反向了，這樣就基本保證了霍爾片內(nèi)溫度的均勻，消除了愛廷豪森效應(yīng)對霍爾電壓的影響。

2　能斯脫效應(yīng)

能斯脫效應(yīng)討論的是在霍爾片兩端連接工作電流的電極由于觸點(diǎn)電阻有差異而引發(fā)的一種霍爾效應(yīng)。

設(shè)霍爾片兩端電極A、B，由于制作工藝等原因，觸點(diǎn)電阻有差異，設(shè)通過霍爾片的電流為I，方向向右，如圖3所示。

圖3　能斯脫效應(yīng)示意圖

根據(jù)焦耳定律，發(fā)熱功率為：

可見，由于電阻不同，在一定時(shí)間里，焦耳熱不同，溫度升高就不同，這樣在霍爾片兩端就會(huì)出現(xiàn)溫度差ΔTAB，存在溫度梯度dTAB/dl，產(chǎn)生湯姆孫電動(dòng)勢，從而產(chǎn)生擴(kuò)散電流IN，這股電流像外加電流一樣，也會(huì)產(chǎn)生霍爾效應(yīng)，這就是能斯脫效應(yīng)。

下面來簡要討論能斯脫效應(yīng)引起的電壓大小和方向。由式(6)和(7)可得霍爾片兩端的溫度差與電流的關(guān)系為：

由此可見，在霍爾效應(yīng)中，能斯脫效應(yīng)引起的電壓大小與工作電流I的平方與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的乘積成正比，其方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向有關(guān)，而與工作電流I的方向無關(guān)。所以在實(shí)驗(yàn)里，我們常常通過用改變工作電流I的方向來消除它對霍爾電壓的影響。

3　里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)

里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)是由于霍爾片兩端連接工作電流的電極觸點(diǎn)電阻有差異，當(dāng)霍爾片產(chǎn)生霍爾效應(yīng)時(shí)，霍爾片兩端有溫度差ΔTAB，產(chǎn)生擴(kuò)散電流IN，由擴(kuò)散電流引起的一種愛廷豪森效應(yīng)。由于幾乎同時(shí)由意大利物理學(xué)家里紀(jì)和法國物理學(xué)家勒杜克分別發(fā)現(xiàn)，所以把它稱為里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)。

根據(jù)愛廷豪森效應(yīng)產(chǎn)生的電壓關(guān)系式(5)和由溫度差產(chǎn)生的擴(kuò)散電流關(guān)系式(10)可得到里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)引起的電壓與工作電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系式為：

由此可見，里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)引起的電壓URL的方向與能斯脫效應(yīng)一樣，僅與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向有關(guān)，而與通過霍爾片的工作電流I方向無關(guān)。所以在實(shí)驗(yàn)里，和消除能斯脫效應(yīng)對霍爾電壓影響一樣，通過改變工作電流I的方向來消除它對霍爾電壓的影響。

4　不等位電勢差

不等位電勢差是由于霍爾片將霍爾電壓輸出的電極非完全相對應(yīng)和霍爾片本身的非均勻性導(dǎo)致的，這與制作工藝有關(guān)。若霍爾電壓輸出的電極C、D不完全相對應(yīng)，即使霍爾片里是標(biāo)準(zhǔn)的勻強(qiáng)電場，也會(huì)產(chǎn)生不等位電勢差；若霍爾片的材料不完全均勻，即使C、D剛好完全對應(yīng)，也會(huì)產(chǎn)生不等位電勢差。總之若C、D兩點(diǎn)不在同一等位面上，就會(huì)產(chǎn)生不等位電勢差，如圖4所示。

圖4　不等位電勢差的產(chǎn)生

不等位電勢差UI的大小與通過霍爾片電流I基本成正比，也與霍爾片的制作有關(guān)，在霍爾片樣品中，不等位電勢差UI的方向由電流I的方向和C、D的位置有關(guān)，改變電流方向不等位電勢差的方向也隨之改變。由于不等位電勢差與磁場無關(guān)，所以在實(shí)驗(yàn)中，通常用改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向來消除它對霍爾電壓的影響。

5　焦耳熱電勢差

還有學(xué)者[8]提出了第五個(gè)副效應(yīng)。由于在霍爾片上下兩側(cè)C、D電極的觸點(diǎn)電阻也不同，當(dāng)用毫伏表測量它們之間電壓時(shí)，就有電流通過觸點(diǎn)電阻而產(chǎn)生焦耳熱，觸點(diǎn)電阻不同，兩側(cè)就有溫度差，那么在霍爾片兩側(cè)電極間還存在湯姆孫電動(dòng)勢，筆者把它稱為焦耳熱電勢差。下面簡單討論焦耳熱電勢差UT的大小和方向。

由于霍爾片兩側(cè)C、D電極的觸點(diǎn)電阻不同產(chǎn)生的焦耳熱電動(dòng)勢和霍爾片兩端電極A、B觸點(diǎn)電阻不同產(chǎn)生的溫差電動(dòng)勢是完全一樣的，根據(jù)式(8)可得CD方向的溫度差為：

式中IH是測量霍爾片兩側(cè)電極間電壓時(shí)產(chǎn)生的電流，可稱為霍爾電流，根據(jù)式(4)和(15)， 焦耳熱電勢差UT為：

可見，焦耳熱電勢差UT的大小與霍爾電流IH的平方成正比，雖然電流IH要隨著C、D電極間電壓大小的變化而變化，但一般變化很小，因?yàn)闇穼O系數(shù)和溫差都很小，在測量霍爾電壓實(shí)驗(yàn)中，可以認(rèn)為是恒定的，焦耳熱電勢差UT的方向與工作電流I和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向均無關(guān)，僅與C、D觸點(diǎn)之間的電阻大小有關(guān)，故在實(shí)驗(yàn)中只要I或B改向時(shí)均能削去。

[1]高潭華,盧道明.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,2009:182-189.

[2][7]吳鋒,李端勇.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].北京:科學(xué)出版社,2009:152-157,153.

[3]趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué)(上冊)[M].北京:高等教育出版社,1985:312.

[4][6]吳思成,王祖銓.近代物理實(shí)驗(yàn)[M].北京:高等教育出版社,2005:407,408.

[5]劉昶丁,柳紀(jì)虎.用交流方法削去霍爾效應(yīng)中的副效應(yīng)影響問題的探討[J].半導(dǎo)體技術(shù),1987,14(1):49-52.

[8]孫可芹,李智,等.霍爾效應(yīng)測量磁場實(shí)驗(yàn)中副效應(yīng)的研究[J].物理實(shí)驗(yàn),2016,36(11):36-40.