巧用幾何直觀 促進(jìn)有效建模

邱月華

（石獅市第三實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建 石獅 362700）

幾何直觀是利用圖形描述幾何或者其他數(shù)學(xué)問題、探索解決問題的思路、預(yù)測(cè)結(jié)果。在許多情況下，借助幾何直觀能把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，這對(duì)于以形象思維為主的小學(xué)生來說，顯得極為重要。建模是小學(xué)基本數(shù)學(xué)思想之一，大量存在于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如何巧妙運(yùn)用幾何直觀，幫助學(xué)生進(jìn)行有效建模，是一個(gè)值得思考的問題。下面筆者將結(jié)合實(shí)例論述在建模的五個(gè)階段中（抽象、推理、模型、融通、應(yīng)用），發(fā)揮幾何直觀的作用，使學(xué)生的體驗(yàn)更加到位，模型的感悟更加深刻。

一、借幾何直觀簡(jiǎn)化信息，聚焦核心助抽象

學(xué)生的視野里更多的是熟悉的生活原型，教學(xué)往往也是從生活入手，讓學(xué)生在觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、分析中逐漸接近數(shù)學(xué)本原，抽象成數(shù)學(xué)模型。而摒棄現(xiàn)實(shí)情境中無關(guān)數(shù)學(xué)、無關(guān)本質(zhì)的因素，進(jìn)行信息的簡(jiǎn)化處理，有助于學(xué)生更好地進(jìn)行抽象。如在北師大版一年級(jí)上冊(cè)教學(xué)《快樂的家園》時(shí)，讓每個(gè)學(xué)生手上拿一個(gè)實(shí)物說一說：“我手上有1個(gè)蘋果?！薄拔沂稚嫌?塊橡皮擦。”“我手上有1根鉛筆?！痹趯W(xué)生充分表述基礎(chǔ)上提出：“能否在幾秒內(nèi)把手中的實(shí)物畫下來并表示出各自手上的1個(gè)物品？”有的學(xué)生拿著的是蘋果，馬上開心地說行；有的提著1個(gè)書包，顯得很為難。此時(shí)便有聰明的學(xué)生提議要畫1個(gè)〇表示1個(gè)書包，教師適時(shí)組織學(xué)生討論，明白能用簡(jiǎn)單符號(hào)表示實(shí)物。這時(shí)，利用直觀符號(hào)，拋卻材質(zhì)、形狀、大小等物品的物理屬性，簡(jiǎn)化成半抽象符號(hào)，幫助學(xué)生建立數(shù)字的模型。又如教學(xué)“明明有蘋果15個(gè)，軍軍的個(gè)數(shù)是明明個(gè)數(shù)的2倍多5個(gè)，軍軍的蘋果有多少個(gè)？”的問題解決時(shí)，常借助線段圖表示題目的關(guān)鍵信息（如圖1），簡(jiǎn)化題目信息量，助推學(xué)生的進(jìn)一步抽象思考，是學(xué)生建立乘加模型的基礎(chǔ)。

圖1

二、借幾何直觀豐盈表象，辨析本質(zhì)助推理

數(shù)學(xué)模型的建立，需要學(xué)生能透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成一般化的認(rèn)識(shí)，這個(gè)過程需要提供豐富、變式的素材，讓學(xué)生在觀察與推理中建模。利用幾何直觀能為學(xué)生提供多種表征或多種不同思路，契合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，有助于學(xué)生在辨析中進(jìn)行邏輯推理，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)。如在“千以內(nèi)數(shù)認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，為幫助學(xué)生建立十進(jìn)位值的模型，可以讓學(xué)生用多種表征來體現(xiàn)235這個(gè)數(shù)字。學(xué)生不約而同地采用多種直觀學(xué)具進(jìn)行表達(dá)（如圖2），在豐富的直觀表征中，教師通過遞進(jìn)的問題串：1.仔細(xì)觀察上面幾種表示方法，有什么相同與不同？2.百位、十位、個(gè)位上一個(gè)珠子有什么不同？（揭示：不同位上表示珠子不同，個(gè)位上表示1個(gè)一、十位上表示1個(gè)十、百位上表示1個(gè)百）3.數(shù)字表示的235上的每個(gè)數(shù)字表示的含義是什么？這些問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理，溝通不同幾何直觀之間的聯(lián)系，在推理中完成十進(jìn)位值模型的建構(gòu)。

圖2

三、借幾何直觀發(fā)現(xiàn)規(guī)律，符號(hào)表達(dá)助建模

數(shù)學(xué)的規(guī)律常常是在直觀的表達(dá)中看出來的，而后再進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明。借助幾何直觀的方式來解決問題，能讓學(xué)生更迅速尋找到正確的思考方向，產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺，進(jìn)而在不斷抽象的符號(hào)表達(dá)中實(shí)現(xiàn)建模。如在教學(xué)“能被2和5整除的數(shù)特征”時(shí)，打破從觀察數(shù)字特點(diǎn)入手的常規(guī)做法，放手讓學(xué)生通過畫一畫的方式，判斷46、127能否被2整除。學(xué)生嘗試解決，在直觀圖形的啟迪下（如圖3），發(fā)現(xiàn)最后影響結(jié)果的是個(gè)位上的數(shù)字。提出猜想：能否被2整除，就看個(gè)位上的數(shù)能不能被2整除？教師引導(dǎo)學(xué)生用半抽象的符號(hào)表示，進(jìn)行推理（如圖4），得出肯定的結(jié)論。最后，再拓延到“能被5整除的數(shù)的特征”的探究。

圖3

圖4

四、幾何直觀聯(lián)結(jié)經(jīng)驗(yàn)，闡釋原理助融通

建立的數(shù)學(xué)模型要讓學(xué)生真正內(nèi)化通達(dá)，需要在建模的過程中闡釋原理，讓學(xué)生入其內(nèi)而知其味，真正掌握模型的本質(zhì)。幾何直觀的簡(jiǎn)明、形象性，能幫助學(xué)生快速實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)結(jié)，感悟原理而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通。如教學(xué)“四舍五入”的近似值求法時(shí)，學(xué)生通過數(shù)據(jù)的觀察及前期的建模，已經(jīng)認(rèn)識(shí)到求近似值時(shí)，要求精確到哪一位，就根據(jù)這一位后面的數(shù)值是否大于5進(jìn)行求解，在方法與技能上學(xué)生的認(rèn)識(shí)是到位的。但是從學(xué)生主要呈現(xiàn)的錯(cuò)例分析，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)為什么取近似數(shù)時(shí)，只關(guān)注到指定數(shù)位的下一位，而忽略其他位數(shù)的情況，這一原理的感知是薄弱的，知其然而不知其所以然?；谶@樣的思考，設(shè)計(jì)一題讓學(xué)生利用直觀的數(shù)軸進(jìn)行感知。1.請(qǐng)?jiān)谙旅娴臄?shù)軸上尋找到區(qū)分更接近30000或更接近40000的分界點(diǎn)（如圖5）。學(xué)生迅速能找到是最正中的35000，以前的數(shù)更接近30000，以后的數(shù)更接近40000。2.在圖6中找出更接近35000或更接近36000的分界點(diǎn)，學(xué)生找到兩個(gè)數(shù)之間的35500。3.利用動(dòng)態(tài)的放大鏡，把圖7中的刻度放大，請(qǐng)學(xué)生找出更接近35500或更接近35600的分界點(diǎn)，學(xué)生也正確找出35550這個(gè)分界點(diǎn)。讓學(xué)生仔細(xì)觀察3幅圖，看看能發(fā)現(xiàn)什么？在直觀的對(duì)比中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)精確的程度越來越高，而每一次精確度的提高與下一個(gè)數(shù)位的中心分界點(diǎn)有關(guān)。此時(shí)，學(xué)生對(duì)求近似值時(shí)為什么要關(guān)注下一個(gè)數(shù)位的理解是到位的、連貫的，模型的建立才是豐盈的。

圖5

圖6

圖7

五、借幾何直觀鏈接生活，把握本源助泛化

數(shù)學(xué)模型的建立從生活中來，回到生活中去。因其抽象性，每一個(gè)數(shù)學(xué)模型的生活原型較為多樣，讓學(xué)生真正把握本源，就要進(jìn)行模型的實(shí)踐應(yīng)用。以幾何直觀的思考為載體，讓學(xué)生進(jìn)行聯(lián)系生活的情境還原，有助于學(xué)生對(duì)模型本質(zhì)的把握，感受模型應(yīng)用的廣泛性。如在學(xué)生構(gòu)建完乘加的數(shù)學(xué)模型后，可以出示具有乘加運(yùn)算結(jié)構(gòu)的線段圖（如圖8），不附上任何情境信息，讓學(xué)生自主去尋找生活的原型。學(xué)生提出多種不同的情境：1.每個(gè)布熊玩具50元，買3個(gè)布熊和一個(gè)30元的玩具鼓一共多少元；2.一個(gè)修路隊(duì)每天修路50米，修了3天后剩下30米，這條路共長(zhǎng)多少米；3.小汽車的速度是50千米/時(shí)，特快列車的速度是小汽車的3倍多30千米，特快列車的速度是多少千米；……深入分析學(xué)生還原的生活情境，可以發(fā)現(xiàn)有價(jià)格、修路、速度、長(zhǎng)度等多個(gè)領(lǐng)域，有不同表述方式的情景再現(xiàn)，有進(jìn)行信息轉(zhuǎn)化的高維思考，這些多樣化的表述都深化學(xué)生對(duì)乘加模型的認(rèn)識(shí)，感悟到模型應(yīng)用的廣泛性，助推學(xué)生靈活通達(dá)的數(shù)學(xué)思維力的提升。

參考文獻(xiàn)：

［1］馮崇和.幾何直觀：探索解決小學(xué)數(shù)學(xué)問題的重要手段［J］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(教育科學(xué)版)，2014(8).

［2］黃偉星，顧曉華.培養(yǎng)幾何直觀能力的教學(xué)思考［J］.教育研究與評(píng)論(小學(xué)教育教學(xué))，2011(6).