基于Halbach的磁懸浮列車過曲線軌道的控制研究

馬于龍，胡業(yè)發(fā)，陳昌皓，吳　帆

(武漢理工大學(xué) 機電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070)

磁懸浮系統(tǒng)大體可分為電磁式磁懸浮系統(tǒng)(electro magnetic system，EMS)和電動式磁懸浮系統(tǒng)(electro dynamic system，EDS)兩類[1]。EMS型系統(tǒng)是利用電磁鐵和軌道之間的吸力磁力來實現(xiàn)懸浮，該系統(tǒng)可通過主動控制來調(diào)整懸浮性能，但對軌道要求較高、懸浮控制器比較復(fù)雜且需要消耗大量能量[2]。EDS型系統(tǒng)因其懸浮高度大且控制系統(tǒng)相對簡單而受到學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注。其中，采用Halbach 陣列的EDS系統(tǒng)由于其磁場的單邊效應(yīng)和空間正弦性而備受青睞。陳殷等[3-4]建立了基于Halbach陣列的相關(guān)模型，并研究了其磁場分布、磁力、剛度等的計算方法。

電動式磁懸浮系統(tǒng)是一個非線性系統(tǒng)，很難用傳統(tǒng)的基于線性系統(tǒng)理論的控制策略對其進行控制。國內(nèi)外已有學(xué)者采用一些非線性控制方法，如自適應(yīng)控制[5]、模糊控制[6]、其他控制策略[7]等系統(tǒng)控制的研究方法。在上述文獻中，這些方法通常都是基于列車在平直軌道上運行而進行研究的，而對于軌道曲線的變化所帶來的不利影響卻沒有進行討論。列車在不同的軌道曲線上運動時，系統(tǒng)的模型會發(fā)生變化，常見的控制算法通常都沒有考慮這個因素，且往往會忽略列車在不同軌道上運行時的不利影響，因此其抗干擾能力有限。此外，針對列車過曲線軌道時的控制，為了安全起見，通常的做法都是降低列車的運行速度。但是，這樣會降低磁懸浮列車高速的優(yōu)勢[8-9]。若減小軌道曲線的曲率，則會增加對軌道制造精度的要求，使軌道布局的靈活性降低，制造成本增加。

為了解決上述問題，首先，筆者利用加速度傳感器和位移傳感器對等效加速度進行了測量，并對反饋線性化控制方法進行了改進，統(tǒng)一了列車在不同軌道上的控制模型。其次，通過間接測量的方式實時測量干擾力的大小，并將其作為反饋項加入到控制量中，進而提高系統(tǒng)的抗干擾能力。

1　等效加速度的測量

磁懸浮軌道曲線多種多樣，對列車過曲線軌道的研究，主要考慮3類曲線，即如圖1軌道曲線示意圖中的ab段為水平直線軌道，bc段和de段為豎曲線,cd段和ef段為坡道?？紤]到列車在運動過程中，影響列車懸浮間隙的力為沿軌道面法線方向，根據(jù)矢量的合成法則可知：列車沿軌道法線方向的加速度也等于其各分加速度在其法線方向投影的矢量和。但是列車在不同速度、不同曲線軌道上時，其理想的等效加速度是不同的，因此列車在過曲線軌道時的理想加速度可認為是時變的。

圖1　軌道曲線示意圖

令其法線方向的等效加速度為at，表示列車在跟蹤軌道曲線過程中由軌道曲率1/R、重力加速度g、列車速度v，以及軌道面法線與豎直方向的夾角θ引起的在軌道法線方向的等效加速度。在曲線ab段、bc段、cd段和ef段、de段的等效加速度分別如式(1)～式(4)所示。

ab段at=g

(1)

bc段at=gcos (θ)-v2/R

(2)

cd段和ef段at=gcos (α)

(3)

de段at=gcos (θ)+v2/R(4)

但對于列車在這些曲線段的單點法線方向的受力模型如圖2所示，并由圖2可得如式(5)所示的關(guān)系。

圖2　支撐單元受力圖

(5)

式中：F為懸浮力；fd為干擾力；at為等效加速度，其是無法直接測得的，為此在Halbach陣列上安裝加速度傳感器、位移傳感器，分別用以測量列車沿軌道面法線方向的加速度a、位移δ,則等效加速度at、加速度a、位移δ之間的關(guān)系為：

a=at+δ″

(6)

2　單點懸浮系統(tǒng)建立與穩(wěn)定性分析

2.1　基于Halbach的磁懸浮系統(tǒng)的建立

EDS型磁懸浮列車的軌道類型目前研究較多的主要有窗型導(dǎo)軌和導(dǎo)體板型兩類。根據(jù)研究內(nèi)容的特征，筆者采用窗型導(dǎo)軌，即由Halbach陣列與窗型導(dǎo)軌構(gòu)成，懸浮原理示意圖如圖3所示[10]。當(dāng)Halbach整列以某一恒定的速度v前進時，在Halbach下方的感應(yīng)導(dǎo)軌內(nèi)將會感應(yīng)出電流，感應(yīng)電流會與磁場相互作用，產(chǎn)生懸浮力。若忽略橫向端部效應(yīng)以及各次諧波的作用，假設(shè)線圈足夠高，則其懸浮力可表示為[11]:

圖3　電動懸浮原理

(7)

其中，B為Halbach陣列下表面的磁感應(yīng)強度的幅值。當(dāng)Halbach陣列為永磁陣列時，B由永磁體的剩磁決定；當(dāng)陣列為勵磁線圈組成時，B則由線圈中的勵磁電流決定。其中常數(shù)C由列車運行的速度、Halbach相關(guān)的尺寸等決定，常數(shù)k=2π/λ，λ為Halbach永磁陣列的一個波長。

2.2　基于平衡點線性化的穩(wěn)定性分析

磁懸浮列車的支撐都是多點支撐，但由于列車在結(jié)構(gòu)上本身具備一定的解耦能力，可分別對各個懸浮點單獨進行控制器設(shè)計。此外，所研究的重點不在于對解耦控制問題的研究，為了簡化模型，這里只對單點懸浮控制問題進行研究。

由式(5)可得，F(xiàn)、fd、m、at有如下關(guān)系：

δ″=F/m+fd/m-at

(8)

假設(shè)at=g，令F0=mg，δ=δ0，B=B0為其靜態(tài)工作點，則將式(7)利用泰勒公式展開可得：

F=C·B0·e-2kδ0+C·B·

e-2kδ0·(-2k)(δ-δ0)

(9)

F0=C·B0·e-2kδ0=mat

(10)

由式(8)～式(10)可得：

fd=mδ″+2kC·B0·e-2kδ0·(δ-δ0)

(11)

令xi(t)=fd，x0(t)=δ-δ0，對式(11)進行拉普拉斯變換得：

(12)

其極點如式(13)所示，可知其極點在虛軸上，由經(jīng)典控制理論可知，該系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)，是臨界穩(wěn)定的，因此需要對其加入主動控制。

(13)

3　基于反饋線性化的懸浮控制器設(shè)計與仿真

3.1　基于反饋線性化的控制器設(shè)計

為了讓系統(tǒng)適用于各種路況，針對PID控制方法在遠離平衡點時動態(tài)性能不足和受模型參數(shù)變化影響較大的缺點，采用反饋線性化控制方法對其進行改進。根據(jù)非線性系統(tǒng)反饋線性化的有關(guān)理論，將式(8)作狀態(tài)變量替換和控制量替換：

(14)

其中，a為放在電磁Halbach陣列上的加速度傳感器所測得的信號，其測量的方向為軌道面法線方向。此時非線性系統(tǒng)(14)被線性化為如下形式的線性系統(tǒng)：

(15)

(16)

其中，u為控制量，可以采用狀態(tài)反饋的方法對其進行極點配置，使該系統(tǒng)滿足相關(guān)的性能指標。當(dāng)進行狀態(tài)反饋控制時，可采取如下形式的反饋控制律：

u=k1(z1-z0)+k2z2+k3z3

(17)

其中，z0表示設(shè)定懸浮間隙。由電磁理論可知式(17)中的磁感應(yīng)強度在工作范圍內(nèi)，其大小與Halbach陣列的線圈中的電流i(t)呈現(xiàn)如下關(guān)系，其中ki為相應(yīng)的比例系數(shù)。

B(t)=ki·i(t)

(18)

由式(6)～式(8)和式(18)可得：

fd=ma-C[ki·i(t)2]2e-2kδ

(19)

為得到在軌道上最終的控制量表達式，將式(19)代入式(18)后，得控制量的最終表達式為：

3.2　線性化系統(tǒng)的極點配置

(21)

rank(Qe)=3

(22)

下面討論狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計。由于式(15)中控制信號為單輸入信號，且輸出為y=z1，則所考察的系統(tǒng)可以寫為:X′=AX+bu，Y=CX。其中：X?R3為狀態(tài)變量；Y?R為輸出變量；u?R為控制信號，u=k1(z1-z0)+k2z2+k3z3=r-KX，K=[k1k2k3]，X=[z1z2z3]T，r=-k1z0，因此可以求得該閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

(23)

其中r為標量，決定了系統(tǒng)的工作點。(A-bK)決定了系統(tǒng)的固有特性。其特征多項式為：

ak(s)=|sI-(A-bK)|=

(24)

ak(s)=s3+k3s2+k2s+k1

(25)

其期望的特征多項式為：a(s)=(s-s1)×(s-s2)×(s-s3)，將目標極點代入上式得：a(s)=s3+210s2+10 800s+270 000。與式(25)對比可知：k1=270 000，k2=10 800，k3=210。

3.3　系統(tǒng)控制仿真結(jié)果

對于某磁懸浮系統(tǒng)，其相關(guān)的系統(tǒng)參數(shù)為：K=50，m=800 kg，δ0=0.02 m,r=2 500 m，v=100 m/s，tanα=0.07。圖1中的軌道曲線參數(shù)：ab、cd和ef段長度均為100 m，bc段長度為200 m，de段長度為400 m，由于各段的等效加速度的值分別如式(1)～式(4)所示，并且穩(wěn)定時間均在1 s內(nèi)，因此可用圖4所示的曲線表示等效加速度的變化規(guī)律，應(yīng)用Matlab的Simulink工具箱，采用常規(guī)的PID控制方法和改進的反饋線性化的控制方法得出的仿真結(jié)果分別如圖5和圖6所示。

圖4　等效加速度變化圖

圖5　PID控制的效果圖

圖6　反饋線性化控制效果圖

從圖4可看出，在列車經(jīng)過不同的曲線段時，其等效加速度會發(fā)生變化。等效加速度的大小不僅與軌道曲率、坡度等相關(guān)，還與列車的運行速度相關(guān)。曲率、坡度、速度越大，等效加速度相比于在平直路面上的加速度的變化量就越大，從而導(dǎo)致列車的控制模型發(fā)生改變。經(jīng)典的PID控制方法雖然簡單易用適用范圍也較廣，對于特定的模型可能獲得較好的控制效果，但當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)改變之后，PID控制方法也能獲得一定的控制效果，但效果并不理想。從圖5可看出，在采用PID控制方法時，Halbach陣列板與軌道之間的間隙會出現(xiàn)較大的波動。而筆者設(shè)計的非線性控制器在系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，仍能取得較好的控制效果。由式(5)可知，等效加速度at與干擾力fd的變化對系統(tǒng)的影響等價，因此，改進的非線性控制器的抗干擾能力顯著高于經(jīng)典PID控制方法。

4　結(jié)論

筆者建立了基于Halbach陣列的電磁懸浮系統(tǒng)的動力學(xué)方程，分析了其平衡點的局部穩(wěn)定性，理論分析和仿真均表明，在忽略阻尼的情況下，系統(tǒng)無法實現(xiàn)漸近穩(wěn)定，而是呈現(xiàn)臨界穩(wěn)定狀態(tài)。根據(jù)系統(tǒng)的非線性特點，采用反饋線性化控制方法對傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)加以改進，利用加速度傳感器和位移傳感器對系統(tǒng)的等效加速度進行測量，通過電流反饋的方法監(jiān)測干擾量，并將其應(yīng)用到狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計中。同時采用主導(dǎo)極點配置法對系統(tǒng)的極點進行調(diào)整。理論上講，改進后的非線性控制系統(tǒng)能完全消除軌道曲線變化和干擾力對控制系統(tǒng)的影響。但由于沒有考慮Halbach陣列的端部效應(yīng)、Halbach陣列與軌道不平行等因素，其在實際工程應(yīng)用中的效果還有待進一步驗證。

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