意有所期“型”有所至
——觀“羊吃草的面積”一課有感

◇吳 賢

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》提出了“模型思想”這一核心概念，但在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何融入“模型思想”，卻一直是實踐中的一個難題。特級教師張齊華的“羊吃草的面積”一課，在對“羊吃草的面積是多少”這個問題的一次次設(shè)定、追問、探索中，教師巧妙地激發(fā)了學(xué)生深入探索、發(fā)現(xiàn)、感受其中“數(shù)學(xué)模型”的興趣，也喚起了聽課老師對“模型思想”這一核心概念再次理解和深入思考的濃厚興趣。

一 虛化，用問題積蓄“型”之素材

提到“羊吃草”有關(guān)的問題，我們很容易想到的是像“草地中央的木樁上拴著一只羊，拴羊的繩子長3米”，或“邊長6米的正方形封閉羊圈一角上拴著一只羊，拴羊的繩子長3米”，求羊吃草的面積這樣的問題。而這節(jié)課，張老師帶來的卻是一個不那么清晰，沒有具體數(shù)據(jù)，沒有確定位置的開放問題，憑借一幅羊吃草的畫面，讓孩子們思考：“要想知道這只羊最多能吃多大面積的草，你有什么好辦法？有沒有什么問題？”

張老師提出的這樣一個“不夠數(shù)學(xué)”的問題，恰恰為之后孩子們探索數(shù)學(xué)模型提供了一個非常棒的素材。課堂上，面對這么一個看似無解的問題，孩子們積極思考，各種想法層出不窮。大家普遍認(rèn)為“問題（情況）不確定”。而為什么不確定？怎么確定？確定了后會有什么不同的情況？這些問題成為孩子們交流的熱點。

在這個問題的思辨過程中，解決問題已經(jīng)不是教學(xué)的重點，讓孩子們跳出常規(guī)的問題解決模式，進(jìn)入把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程中，在確定的任務(wù)驅(qū)動下，自己發(fā)現(xiàn)所缺失的條件，假設(shè)各種可能的情況，討論各種情況的解決途徑，才是這一問題的價值取向。而這樣的討論活動，恰恰是學(xué)生形成“模型思想”的重要思維歷程。

孩子們結(jié)合自己的生活經(jīng)驗、數(shù)學(xué)問題的解決經(jīng)驗，補充了樁子的位置、繩長等不同的情況，分析了不同情況下羊吃到的草可能形狀和面積的大小?；趥€人不同的思考角度，有可取的也有值得商榷的，有正確的也有需要調(diào)整的，但在這些討論中，孩子們不約而同地感受到，添加了羊圈這個要素后，羊吃草的問題已經(jīng)不能用原有的解決方式，而是變得復(fù)雜起來。盡管孩子們的這些思考還非常粗淺，可在這些稚拙的思維火花里，我們能感受到他們原有的思維方式在一步步被改變，能看到他們面對新的數(shù)學(xué)問題所做出的不斷努力，也欣喜地發(fā)現(xiàn)，孩子們在思索過程中，正逐步觸摸到數(shù)學(xué)模型的奧妙。

二 聚焦，讓思辨構(gòu)建“型”之框架

生活化的問題激起了孩子們研究的熱情，但對于小學(xué)階段的兒童來說，建立“模型思想”還需要依托具體的問題解決過程。

1.借用想象之力產(chǎn)生初步假設(shè)。

教學(xué)中，張老師順應(yīng)了孩子們之前所提及的幾個不確定因素，確定了樁子的位置和羊圈的邊長，讓孩子們“大膽地想象一下，繩長3米，羊吃到的草，可能是什么形狀？如果繩長6米呢”。條件的明確，問題的聚焦，為進(jìn)一步探尋數(shù)學(xué)模型提供了動力。獨立思考后，對繩長3米的情況，大部分孩子都有了初步的假設(shè)，即繩長3米，羊吃草的面積就是一個半徑為3米的圓的面積。還有些孩子順著這個思路，認(rèn)為繩長6米也同樣適用。這可以算是孩子們對這一問題的初次模型假設(shè)了。

雖然在小學(xué)階段，還沒有必要提出數(shù)學(xué)建模的要求，但創(chuàng)造合適的機會讓兒童經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的過程，卻是非?？少F的。盡管孩子們還沒有意識到，教師的這一問題已經(jīng)在引導(dǎo)他們通過數(shù)學(xué)的加工，把生活問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題，并嘗試著對問題進(jìn)行模型的初步假設(shè)，但正是這種意有所指的發(fā)問，使兒童的“模型”意識悄悄生長。

2.巧用幾何直觀進(jìn)行調(diào)整和修正。

顯然，對繩長6米這一比較復(fù)雜的情況，孩子們在交流中有較大的分歧，而解決這一分歧，建構(gòu)正確的數(shù)學(xué)模型，需要引入與小學(xué)階段兒童認(rèn)知水平相契合的方法。在這里，張老師讓孩子們“親自動手來研究”“在示意圖上畫一畫，把自己的想象落到紙上”“借助老師提供的羊圈模型和繩子，動手比畫”，充分運用幾何直觀的方式，讓孩子們自己檢驗假設(shè)的正誤，探索正確的圖示，從而對之前的模型假設(shè)進(jìn)行合理的調(diào)整和修正。

在這一過程中，張老師并沒有要求孩子們用數(shù)學(xué)符號表達(dá)自己的思考，而選擇圖示、語言描述相結(jié)合的方式表達(dá)自己的想法。通過畫圖和操作，逐步發(fā)現(xiàn)繩長6米時羊吃到的草的形狀，既不是整個圓減去正方形，也不是半徑為6米的圓，而是由一個半徑為6米的圓和兩個半徑為2米的圓組成的一個組合圖形。通過對不同圖示的討論和甄別，孩子們最終發(fā)現(xiàn)正確的模型形態(tài)。

但畫出了正確的圖示，就算是建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型嗎？我們知道，課程標(biāo)準(zhǔn)對模型思想的解讀中，強調(diào)“用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量變化和變化規(guī)律”。但對于小學(xué)階段的兒童來說，構(gòu)建這樣的數(shù)學(xué)符號模型顯然會讓很多孩子無從下手，這也是在小學(xué)階段“模型思想”難在教學(xué)中實踐的一個根本原因。其實，表達(dá)數(shù)學(xué)模型，除了用數(shù)學(xué)符號，還可以用文字或圖形。而對于小學(xué)階段的兒童來說，用文字或圖形表達(dá)他們所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型，不僅能降低數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的難度，還可以提升學(xué)生的“模型意識”。

3.利用比較進(jìn)一步豐富模型建構(gòu)。

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程不是一蹴而就的，需要不斷回到現(xiàn)實問題中，將簡化后的數(shù)學(xué)問題與實際情況進(jìn)行對比，才能不斷豐富對已有模型的認(rèn)識，完善現(xiàn)有的模型結(jié)構(gòu)體系。

羊吃草的問題，正是一個比較復(fù)雜的實際問題。在具體化的過程中，簡化后的兩個條件，讓學(xué)生在解題過程中，初步建構(gòu)了針對不同情況的數(shù)學(xué)模型，還需要引發(fā)學(xué)生對已有模型的反思和梳理。孩子們的建模能力不容小視，在張老師拋出“同樣是正方形羊圈，同樣用一根繩子拴在羊圈的頂點上，為什么兩道題的解題思路不一樣”這一問題后，孩子們在比較兩個問題的相同與不同之處時，由點及面，從兩個孤立的數(shù)據(jù)想到了兩組關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)，想到了兩個關(guān)鍵的“拐點”，甚至想到了更復(fù)雜的變化情況。在這樣不斷的切磋中，對于特定形狀特定位置的羊吃草問題，學(xué)生已經(jīng)能夠用圖示和符號相結(jié)合的方式呈現(xiàn)出一個全面完善的數(shù)學(xué)模型。這真讓人大為驚嘆。

三 深化，以反思促進(jìn)“型”之生長

鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》中提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)就在于幫助學(xué)習(xí)者逐步建立與發(fā)展分析模式、應(yīng)用模式、建構(gòu)模式與欣賞模式的能力?！笨梢?，模型思想的教學(xué)，不能止步于模型建構(gòu)和求解，還要關(guān)注模型的分析和應(yīng)用，關(guān)注更上位的數(shù)學(xué)思想的發(fā)展。

在張老師這節(jié)課中，最讓人回味的還有課的尾聲，老師和學(xué)生對羊吃草問題的深入回顧和進(jìn)一步的思考?！巴瑯拥膯栴}，為什么最后的方法會發(fā)生翻天覆地的變化？試著改變這個問題中的其他要素，整個問題又會發(fā)生什么變化呢？”借助這樣的回顧和反思，孩子們對剛剛建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了重新審視和再次建構(gòu)。

從繩長的變化會帶來解決問題模式的變化，想到羊圈形狀的變化、拴羊樁子位置的變化，想到變化后的羊吃草形狀的可能情況，雖然受課堂時間的限制無法進(jìn)一步研究下去，但已經(jīng)在孩子們心中播下了新的研究種子。面對每一個變化，孩子們已經(jīng)在頭腦中主動地構(gòu)建可能的圖示和模型，甚至感到每一種新的變化里還要考慮新的要素。這些都說明，隨著學(xué)習(xí)中對羊吃草問題的一次次深入探問，主動借助數(shù)與形的結(jié)合，發(fā)現(xiàn)數(shù)量間變與不變的關(guān)系，主動浸潤在數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)中，這些意猶未盡的思考，讓一個問題的解決逐步生長為一類問題的解決，體現(xiàn)出模型思想作為一種思想方法所蘊含的一般化的思維方式。

兒童的建模能力是不該被忽視，也不該被弱化的。從“模型思想”的角度品讀“羊吃草的面積”一課，我們發(fā)現(xiàn)，即使是一個老生常談的數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過巧妙的加工和實施，也可以成為模型思想教學(xué)的一個良好素材。