對(duì) 稱(chēng) 連 分 數(shù)*

劉效麗 趙世恩 程小紅

(首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院，北京 100048)

0 引 言

關(guān)于連分?jǐn)?shù)，有如下結(jié)論(參見(jiàn)[2])：

定理0.1設(shè)jk≡±1(modn)，其中0

本文中，稱(chēng)連分?jǐn)?shù)[aN,aN-1,…,a1,a0]和[a0,a1,…,aN]互為對(duì)稱(chēng)連分?jǐn)?shù).文中討論對(duì)稱(chēng)連分?jǐn)?shù)的一些性質(zhì)，給出了對(duì)稱(chēng)連分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)所滿(mǎn)足的條件，同時(shí)也對(duì)上述定理進(jìn)行了證明并得到一個(gè)重要的推論.

本文所提到的連分?jǐn)?shù)均指有限連分?jǐn)?shù).一般地，連分?jǐn)?shù)是指如下形式的分式

其中a0,a1,…,aN稱(chēng)為該連分?jǐn)?shù)的商序列，而每個(gè)an(0≤n≤N)稱(chēng)為該連分?jǐn)?shù)的部分商.上述連分?jǐn)?shù)有時(shí)也簡(jiǎn)記為[a0,a1,a2,…,aN]. 對(duì)于0≤n≤N，連分?jǐn)?shù)[a0,a1,…,an]稱(chēng)為連分?jǐn)?shù)[a0,a1,…,aN]的第n個(gè)漸進(jìn)分?jǐn)?shù).

1 主要結(jié)果及其證明

在給出本文主要結(jié)果的證明之前，我們先回憶以下關(guān)于連分?jǐn)?shù)的基本結(jié)論(參見(jiàn)[1])：

定理1.1對(duì)于連分?jǐn)?shù)[a0,a1,…,aN]，如果以既約分?jǐn)?shù)pn/qn表示它的第n個(gè)漸進(jìn)分?jǐn)?shù)的值，即

那么pn,qn滿(mǎn)足以下關(guān)系：

p0=a0,p1=a1a0+1,pn=anpn-1+pn-2(2≤n≤N),

q0=1,q1=a1,qn=anqn-1+qn-2(2≤n≤N).

pnqn-1-pn-1qn=(-1)n-1,

pnqn-2-pn-2qn=(-1)nan.

對(duì)于連分?jǐn)?shù)[a0,a1,a2,…,aN]，如果ai(1≤i≤N)均為正整數(shù)，那么該連分?jǐn)?shù)稱(chēng)為簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù).

以下我們僅討論簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù).注意到任一個(gè)簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)后為一個(gè)有理數(shù)，反過(guò)來(lái)任意有理數(shù)也可以表示為簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù).但是有理數(shù)用簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)的表示方法不是唯一的，事實(shí)上，對(duì)于簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)[a0,a1,a2,…,aN]，我們有

[a0,a1,…,aN]=[a0,a1,…,aN-1,1]，aN≥2；

[a0,a1,…,aN-1,1]=[a0,a1,…,aN-2,aN-1+1],aN=1.

如果我們要求最后一個(gè)部分商大于1，那么有限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)的表示方法是唯一的，事實(shí)上我們有以下定理(參見(jiàn)[1])：

定理1.2如果兩個(gè)簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)[a0,a1,…,aN]與[b0,b1,…,bM]有相同的值并且aN>1,bM>1，那么M=N并且這兩個(gè)連分?jǐn)?shù)相同，即an=bn,0≤n≤N.

下面，我們給出本文的主要結(jié)果及其證明.

定理1.3設(shè)簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)[a0,a1,…,aN-1,aN]與[aN,aN-1,…,a1,a0]的值分別為既約分?jǐn)?shù)p/q與r/s.那么p=r并且qs≡±1(modp).

證明由定理1.1，連分?jǐn)?shù)[a0,a1,…,aN-1,aN]的第n個(gè)漸進(jìn)分?jǐn)?shù)的值pn/qn滿(mǎn)足

p0=a0,p1=a1a0+1,

pn=anpn-1+pn-2(2≤n≤N),

q0=1,q1=a1,

qn=anpn-1+qn-2(2≤n≤N).

對(duì)于連分?jǐn)?shù)[aN,aN-1,…,a1,a0]，以rn/sn表示[an,…,a1,a0].于是

r0=a0,r1=a0a1+1,

rn=anrn-1+rn-2(2≤n≤N),

s0=1,sn=rn-1(1≤n≤N).

容易發(fā)現(xiàn)pn與rn滿(mǎn)足相同的遞推公式并且p0=a0=r0，p1=a0a1+1=r1，因此pn=rn,0≤n≤N.

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于0≤n≤N均有qnsn≡±1(modpn).顯然結(jié)論對(duì)n=0,1均成立.假設(shè)結(jié)論對(duì)2≤n≤N也成立，下面來(lái)證明結(jié)論對(duì)n+1也成立.事實(shí)上，

qn+1sn+1=qn+1rn

=(an+1qn+qn-1)pn

=an+1pnqn+pnqn-1

=(pn+1-pn-1)qn+pnqn-1

=pn+1qn+pnqn-1-pn-1qn

≡(-1)n-1(modpn+1).

至此，我們證明了qn=rn及qnsn≡±1(modpn)對(duì)于0≤n≤N均成立.特別地，當(dāng)n=N時(shí)，pN/qN=p/q，rN/sN=r/s，因此定理得證.

定理1.4設(shè)jk≡±1(modm)，其中01，那么m/k的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)為[aN,aN-1,…,a1,a0].

證明根據(jù)定理1.3，連分?jǐn)?shù)[aN,aN-1,…,a1,a0]是[a0,a1,…,aN]的對(duì)稱(chēng)連分?jǐn)?shù)，又因?yàn)閇a0,a1,…,aN]=m/j，所以必有[aN,aN-1,……,a1,a0]=m/k′，并且jk′≡±1(modm).此外，因?yàn)閍N>1，所以必有k′

下面來(lái)證明k=k′.

事實(shí)上，顯然有jk≡jk′(modm).如果jk≡jk′(modm)，注意到(j,m)=1及0

推論1.5如果jk≡±1(modm)，0

證明注意到如果p/q>1的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)為[a0,a1,…,aN]，那么q/p的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)為[0,a0,a1,…,aN]，顯然它們的部分商之和是相同的.由此可見(jiàn)，只要證明(m-j)/j與(m-k)/k的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)的部分商之和是相同的即可.

分以下情況討論：

(1)如果0

(2)如果0

所以m/k與m/(m-k)的連分?jǐn)?shù)有的部分商之和相同. 再注意

j(m-k)≡-jk(modm),

因此j(m-k)≡±1(modm).又因?yàn)?

(3)如果0

(4)如果m/2

(m-k)(m-j)=m2-m(k+j)+kj≡kj(modm)≡±1(modm).

根據(jù)情況(1)，(m-(m-j))/(m-j)=j/(m-j)與(m-(m-k))/(m-k)=k/(m-k)的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)的部分商之和相同，從而(m-j)/j與(m-k)/k的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)的部分商之和是相同的.

綜上，我們對(duì)于所有情況證明了(m-j)/j與(m-k)/k的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)的部分商之和相同，從而推論得證.

事實(shí)上，定理1.3和定理1.4給出了兩個(gè)簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)互為對(duì)稱(chēng)連分?jǐn)?shù)的充分必要條件.