數(shù)學(xué)悖論研究

(重慶工商大學(xué)　重慶　400067)

悖論就是指在邏輯上可以推導(dǎo)出互相矛盾的結(jié)論，但是表面上看起來又能夠自圓其說的命題或者理論體系。比如“我說的是假話”[1]，這種說法在生活中是正常且常見的，但是仔細(xì)觀察分析一下：因?yàn)槲艺f的話是假話，按此假定“我說的是假話”是假話，說明真實(shí)就是“我說的是真話”，可是這又意味著我說的是真話，那么“我說的是假話”就是真的，怎么一句話看上去完美無缺似乎是沒有什么矛盾，但結(jié)果就是“我說的是假話”既是真話又是假話呢？但這就是悖論的有趣之處，下面我們來鑒賞悖論奇景的冰山一角，本文簡單列舉以下三種方向的悖論。

一、邏輯學(xué)悖論

邏輯學(xué)是一切演繹推理的基礎(chǔ)，不具備基礎(chǔ)的邏輯推理能力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是非常艱難的。有一個(gè)有趣的例子—“這句話有八個(gè)字”，很明顯這句話是是錯(cuò)的，明明白白的只有七個(gè)字，那么它的反話就應(yīng)該是對(duì)的吧？多數(shù)人都會(huì)這么想；這句話的反話是“這句話沒有八個(gè)字”，但是咱們來數(shù)一數(shù)，這句話明明就是八個(gè)字，那么這句話也是錯(cuò)的。為什么會(huì)出現(xiàn)這種尷尬的局面呢，這就是邏輯悖論的魅力所在，用常識(shí)的思想去思考是行不通的，一味地嚴(yán)肅查看問題也并許還不如換個(gè)角度思考問題來的輕松。

有一個(gè)很出名的悖論——“唐·吉柯德悖論”[2]：小說《堂吉訶德》里描寫過一個(gè)國家，它有一條奇怪的法律：每一個(gè)旅游者都回答一個(gè)問題。問：“你來這里做什么？”如果旅游者回答對(duì)了，一切都好辦；如果回答錯(cuò)了，他就要被絞死。一天，有個(gè)旅游者回答：“我來這里是要被絞死。”這時(shí)，衛(wèi)兵們就慌了神，如果他們不把這旅游者絞死，他就說錯(cuò)了，他就得受絞刑?？墒牵绻f對(duì)了，就不應(yīng)該絞死他。為了作出決斷，旅游者被送到國王那里。苦苦想了好久，國王才說：“不管我做出什么決定，都肯定要破壞這條法律，我們還是寬大為懷算了，讓這個(gè)人自由?！边@個(gè)旅游者正是聰明的利用了這條法律的悖論之處，讓人抓不到他的過錯(cuò)，保住了他的性命。

二、概率論悖論

概率論作為一門學(xué)科在數(shù)學(xué)當(dāng)中占了很大的分量，而且?guī)缀鯖]有一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)的教數(shù)學(xué)的不知道概率對(duì)本科目的重要性，按約瑟夫·巴特勒的說法，概率是“生活的真正指南”[3]，正如它是現(xiàn)代科學(xué)的每一學(xué)科的指南一樣。史密斯教授和兩個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)生一起吃午飯：

教授：“我來告訴你們一個(gè)新游戲，把你們的錢包放在桌上，我來數(shù)你們的錢，錢包里的錢最少的那個(gè)人可以贏掉另一個(gè)人錢包里的所有的錢。”

喬：“如果我的錢比吉爾的多，她就會(huì)贏掉我的錢?？墒?，如果她的多，我就會(huì)贏多余我的錢，所以我贏的要比輸?shù)亩?。因此這個(gè)游戲?qū)ξ矣欣??！?/p>

吉爾：“如果我的錢比喬多，他就會(huì)贏掉我的錢?？墒?，如果他的錢比我的多，我就可以贏，而我贏的比輸?shù)亩?，所以游戲?qū)ξ矣欣??！?/p>

一個(gè)游戲怎么會(huì)對(duì)雙方都有利呢？這是不可能的。是不是因?yàn)閮蓚€(gè)參與者都錯(cuò)誤的設(shè)想自己輸和贏的機(jī)會(huì)是相等的，因而產(chǎn)生了這個(gè)謬論呢？這個(gè)有意思的悖論出自法國數(shù)學(xué)家莫里斯·克萊特契克，在他的《數(shù)學(xué)消遣》書中用領(lǐng)帶代替錢包。很容易表明，如果我們作出一個(gè)明確的假定來準(zhǔn)確的限定條件，他就是一個(gè)公正的比賽。當(dāng)然，如果我們已經(jīng)得知比賽中的一個(gè)人總愛帶較少的錢，那么我們就知道這個(gè)比賽是不公平的。如果無法得知這類消息我們就可以假定每一個(gè)比賽者有從0到任意數(shù)量的隨便多少錢?？上?，這不可能告訴你兩個(gè)比賽者的想法錯(cuò)在哪里，書中也未給出確切的說法，有讀者有興趣的可以思考思考。

戰(zhàn)國時(shí)趙國人公孫龍?jiān)?jīng)著有《公孫龍子》一書，平原君禮遇甚厚。其“白馬非馬”[4]就是他的著名命題。

據(jù)說，公孫龍有一次騎馬過關(guān)，把關(guān)的人對(duì)他說：“法令規(guī)定馬不許過。”公孫龍回答說：“我騎的是白馬，白馬不是馬，這可是兩回事啊?！惫珜O龍的“白馬”最終有沒有過關(guān)，我們不得而知。從常人的觀點(diǎn)來看，守關(guān)的士兵八成認(rèn)為公孫龍是在詭辯。這也是一個(gè)邏輯上“莫能與辯”，現(xiàn)實(shí)中不能成立的例子。

辯證法是在對(duì)付詭辯論的過程中發(fā)展起來的。黑格爾在《小邏輯》中說：“辯證法切不可與單純的詭辯相混淆，詭辯的本質(zhì)在于孤立起來看事物，把本身片面的、抽象的規(guī)定，認(rèn)為是可靠的[5]?！?/p>

從辯證法的角度看，“白馬非馬”割斷了個(gè)別和一般的關(guān)系。白馬屬于個(gè)性，特指白顏色的馬；馬屬于一般具有各種顏色的馬的共性。公孫龍區(qū)分了它們之間的差別，但是又絕對(duì)化了這種差別。白馬盡管顏色上不同于其他的馬，如公孫龍?zhí)岬降狞S馬、黑馬，但仍然是馬。作為共性的“馬”寓于作為個(gè)性的“白馬”之中。“馬”作為一般的范疇，包括各種顏色的馬，公孫龍的白馬自然也不例外。

三、關(guān)于時(shí)間的悖論

從微小的基本粒子到巨大的星系，整個(gè)宇宙都處于永恒的變化中，它那令人難以置信的因果每一微秒都在時(shí)間的無情流逝中變化著[6]。沒有人能想象出一個(gè)沒有時(shí)間的真實(shí)世界。一個(gè)亦只在零秒中的客觀事物根本不存在。幸好，時(shí)間是在均勻的流逝，因而可以測量，伴隨著測量，便有了數(shù)和方程。純粹數(shù)學(xué)也許被當(dāng)作是“沒有時(shí)間的”，但在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，從簡單的代數(shù)到微積分以致更深的領(lǐng)域，大量問題都是以時(shí)間為基本變量的。

時(shí)間能夠倒流嗎？當(dāng)某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)反轉(zhuǎn)時(shí)，如一個(gè)人往回走，或一輛汽車往回開的時(shí)候，看起來像是時(shí)間倒流了一樣，一首歌順著放是這樣，倒著放是那樣。生活中大多數(shù)事情是不能逆轉(zhuǎn)的，時(shí)間好比一支箭，它總是指向一個(gè)相同的方向。即使一首歌翻轉(zhuǎn)播放時(shí)，音符也還是一個(gè)一個(gè)隨著時(shí)間向前推移。我們不可能看見未來，我們只能回顧以往。當(dāng)你看見一顆以前光年以外的星星的時(shí)候，你所看見的已經(jīng)是一千年以前的情景了?？墒牵匆娺^去與身臨其境是不同的。

四、總結(jié)

一般地說，由于悖論是一種形式矛盾，即是某些特殊的思想規(guī)定的產(chǎn)物，它們就不可能是事物辯證性質(zhì)的直接反映；進(jìn)而，我們也就不能把它們說成是“特殊的客觀真理”，而只能說它們是“歪曲了的真理”。

古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，激發(fā)了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要?jiǎng)?chuàng)造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念和突破。

【參考文獻(xiàn)】

[1]黃展驥.“矛盾”、“自涉”、“意義”、“悖論”漫談——批判西方多位著名論者[J].河池師專學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版).2004(01)

[2]繞道慶.意義的重建：從過去到未來——《堂吉訶德》新論[J].外國文學(xué)評(píng)論，1992(04)

[3]周炳飛.數(shù)學(xué)文化滲透視角下概率統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)[J].教育教學(xué)論壇，2014(20)

[4]江向東.《公孫龍子·指物論》新詮[J].中國哲學(xué)史，2011(01)

[5]王元化.讀黑格爾《美學(xué)》筆記[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版)，1998(03)

[6]悖論，百度百科相關(guān)介紹