淺談中學數(shù)學逆向思維方法

胡艷

【摘要】本文通過在教學當中培養(yǎng)學生逆向思維的常見途徑，闡明了數(shù)學題當中“正難則反”的一種思維方法，它對于培養(yǎng)和訓練學生思維敏捷性和靈活性大有禪意，常會因此收到意想不到的良好效果或是會獲得新的創(chuàng)新發(fā)明。

【關(guān)鍵詞】中學數(shù)學 逆向思維方法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）01-0135-02

“問題是數(shù)學的心臟”，數(shù)學題五花八門，解題的方法也各式各樣，那么針對不同的數(shù)學題而采取不同的方法解它才能迅速便捷。在中學數(shù)學的教學當中，教師應當重視對學生進行思維轉(zhuǎn)換能力的訓練，而逆向思維能力則是思維轉(zhuǎn)換的一種重要的表現(xiàn)形式。逆向思維是一種從已有的習慣思維的反方向思考問題，它的基本特征是“雙向性”和“可逆性”，在中學數(shù)學解題當中則表現(xiàn)為“反序”和“否定”，逆向思維是一種產(chǎn)生新思想，發(fā)現(xiàn)新知識的重要思維方式，本文就一些直接從正面探求，但絞盡腦汁也一籌莫展的數(shù)學問題，如果能改變一下思考的角度，將思維逆轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)向習慣性思維進程的反面，就能間接迂回打開解題通道，而使問題獲得優(yōu)解，正如同伽利略看到人們用力推車后，從反面提出問題“如果還用力推車子，結(jié)果會是怎么樣？”

一、逆用定理

數(shù)學定義總是可逆的，學生在解題當中往往習慣于正面使用定義，而對定義的逆用卻缺乏自覺性，以至影響了解題的質(zhì)量和速度，其實，許多數(shù)學問題逆用定義來分析，會更加的簡捷明快，干脆利索。

例1.設f（x）=4x-2x+1，求f-1（0）

分析：常見的方法是：先求出反函數(shù)f-1（x），再求出反函數(shù)f-1（0）的值，但是，此解法太笨太繁，只要我們逆用反函數(shù)的定義，令f（x）=0，解出x的值即為f-1（0）的值。

解：令（2x）x-2·2x=0 可得到：2x（2x-2）=0

有2x=2

簡析：此題在標準卷子中給出了兩種解法，但是逆用定義（方程根的定義）、還可以得到更簡潔的解法。

二、逆向分析法

分析法的實質(zhì)是“執(zhí)果索因”要證實結(jié)論成立，只需要找到使結(jié)論成立的充分條件即可。換句話說，就是從肯定結(jié)論入手進行推理，推得符合條件或易證的命題，而推理的每一步均可逆，于是證得原命題成立，這種“執(zhí)果索因”的分析法，便于思考易于找到解題的途徑。

例.設a、b是正數(shù)，且2c>a+b 求證：

c-■

證：解證c-■

只需證 -■

即∣a-c∣<■

只需證（a-c）2

即 a+b< 2c該式為已知條件且以上推理每步均可逆，故原不等式得證。

三、反解法

用此方法的理論根據(jù)：記原問題的解集為A取消某種限制條件后，該問題的解集為全集I，則A為限制條件相反問題的解集，由于A=A .故原問題的解集即為限制條件相反時該問題解集的補集。

例：求二次項式（■–y）21 展開式當中所有無理系數(shù)之和。

分析：本題若是直接用二次項式定理展開求解極為繁瑣，先考慮從反面求解，取消系數(shù)當中“無理”條件的限制，在（21■-y）21中所有系數(shù)之和為I；所有無理數(shù)系數(shù)之和為A；則A為所有有理數(shù)系數(shù)之和。解如下：

解：在二項式（21■-y）21中，含x=y=1，可得展開式中所有項系數(shù)之和為：（21■-1）21，對此二次項展開式當中所有有理系數(shù)只有兩項（21■）21=2x21以及（-y）21=-y21.其系數(shù)之和為1 ，故（21■-y）21展開式當中所有無理數(shù)系數(shù)之和為（21■-y）21-1

這種從問題的反面入手進行求解的方法我們稱之為反解法。

反解法與反證法同屬于逆向思維的方法，適用范圍也相類似，一般的，有關(guān)“否定性”，“存在性”，“至多”，“至少”為類型問題的證明題常用反證法。而此類問題的求解題則可考慮用反證解法。

說明：當問題的反面有多種可能性時，應從全集中除去了符合條件的部分；排列組合應用題中的間接解法實際上是反解法的真實運用。

四、逆向排除法

反例是數(shù)學的重要組成部分，當一個命題不真時，只要舉示一個反例就可以否定它，特別是在結(jié)構(gòu)作反例處理選擇題當中，常能起到立竿見影的功效。

例：

設實數(shù)a、b、c滿足a2-bc-8a+7=0b2+c2+bc-6a+6=0

那么a的取值范圍是（ ）

A.（-∞，+∞） B.（-∞，1】∪（9，+∞）

C.（0，7） D.【1，9】 （1986全國高中數(shù)學競賽題）

分析：由于1/2屬于（A），（B），（C）集合，但（3）屬于（D）中的集合，所以，可舉反例：若a=1/2 此時：

b2+c2+bc+6a+6=b2+c2+bc+3

=（b+c/2）2+3/4c2+3>0不為零

這說明3a≠1/2

則可排除（A），（B），（C）故選（D）

五、反客為主

受思維的影響，人們在解題時總是將注意力集中在某些地位較醒目的注意的主元素上，這在很多情況下是正確的，但是在某些特定的條件下，若能“反客為主”，常能取得出人意料的效果。

例：當m為何值時，方程sin2x+2sinxcosx-2cos2x=m有實數(shù)解。

分析：此題若是以x，y為主元，則自然含從⊿=b2-4ac的角度去考慮，這條路這樣走很難走通，且會連連碰壁，若是另：

m=sin2x+2sinxcosx-2cos2x=1+sin2x-3cos2x

=1+sin2x-？（1+cos2x）=sin2x-3/2cos2x-1/2

=■/2sin（2x-x）-1/2

其中x滿足{ }

所以：-1-■/2≤m≤-1+■/2時原方程有實數(shù)解

可將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)a=x+5/x-4.（1≤x≤2）的值域。由函數(shù)a=x+5/x-4.（1≤x≤2）的值域。由函數(shù)a-x=5/x-4在定義域{x∣1≤x≤2}內(nèi)是減函數(shù)可知：1/2≤a≤2

即當1/2≤a≤2時，直線L與曲線C在【1，2】上有公共點。

以上僅僅是數(shù)學當中培養(yǎng)學生逆向思維能力的常見途徑，在各科教學當中，有許多培養(yǎng)逆向思維的好素材，只要以后我們在教學中長期堅持，積累探索并不失時機地利用這些素材，學生的逆向思維能力將逐步走上新的臺階。值得一提的是，逆向思維能力的培養(yǎng)是以扎實的基礎知識，基本技巧為前提的，因此，必須同時注重“三基”的教學逆向思維能力的培養(yǎng)必須與其他能力的培養(yǎng)同時進行，學生才能形成良好的思維結(jié)構(gòu)。

培養(yǎng)學生逆向思維的方法很多，但有時需要綜合運用，方能體會其中的意境，有時針對常法而逆針對題目的條件、結(jié)論而逆，以及針對推理步驟而逆等等，無論怎么樣一種逆向思維的方法，都要從常規(guī)方面著手，由此尋求解決問題的方法，它反映在教學實踐中體現(xiàn)了數(shù)學學科的教學特點，有利于提高學生靈活運用基礎知識和解題技巧的能力，利于培養(yǎng)思維的敏捷性和科學性，尤其是高三數(shù)學復習的全過程，是促進學生創(chuàng)造性思維得到迅速發(fā)展的過程，教師要根據(jù)學生的實際情況和思維活動特點，努力挖掘教材中的互逆元素引導學生運用“逆反轉(zhuǎn)換”的策論解題，它可以有效地克服正向思維的心理定勢產(chǎn)生的消極影響增強互逆的雙向思維意識，進而促進學生解題能力的提高與思維的流暢，變通和獨特，自古以來逆向思維的運用就已經(jīng)在生活、生產(chǎn)學習甚至戰(zhàn)爭中展現(xiàn)了智慧之光，為人們能在實踐中滲透數(shù)學思想、解決問題提供了廣闊的前景。

參考文獻：

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