中學(xué)數(shù)學(xué)幾何機械化類問題的解題教學(xué)方法初探

林文波

摘要：隨著素質(zhì)教育思想的深入，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高要求，其中幾何機械化類問題是初中數(shù)學(xué)知識中的重要組成部分，對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維有重要作用。本文主要圍繞中學(xué)數(shù)學(xué)機械化類解題思想、中學(xué)數(shù)學(xué)機械化類解題過程實例兩方面展開討論，根據(jù)實際習(xí)題來分析機械類數(shù)學(xué)問題的解題方法，可幫助學(xué)生充分掌握數(shù)學(xué)解題技巧，有利于數(shù)學(xué)教學(xué)的良好發(fā)展。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；機械類問題；解題教學(xué)方法

前言：中學(xué)數(shù)學(xué)課程經(jīng)過改革后，在理念、結(jié)構(gòu)以及結(jié)構(gòu)等方面發(fā)生了很大變化，其中“空間與圖形”這一模塊知識來自傳統(tǒng)幾何類問題，是要求學(xué)生充分掌握的一部分知識。幾何機械類問題的解決對學(xué)生空間想象能力有更高要求，給學(xué)生帶來了一定的學(xué)習(xí)難度，因此，需要加強對解題教學(xué)方法的研究，加深學(xué)生對空間立體的認識，進而促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的加強。

一、中學(xué)數(shù)學(xué)機械化類解題思想

有研究者指出數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的在于培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力和思考能力。中學(xué)數(shù)學(xué)機械化類解題思想為將隱性的解題經(jīng)驗應(yīng)用在問題解決上，并根據(jù)已知條件來分析其與求解問題的相關(guān)性，化幾何題目的無窮為有窮，通過對典型習(xí)題類型進行總結(jié)，來提高學(xué)生的幾何機械化類問題的解決能力。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)機械化類解題過程實例

1. 梯形教學(xué)過程實例 梯形是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點講解內(nèi)容，在對其教學(xué)過程進行分析時，可使學(xué)生一定程度掌握梯形的解題教學(xué)方法。在實際教學(xué)過程中，應(yīng)發(fā)揮教師在教學(xué)活動中的指導(dǎo)作用，幫助學(xué)生確定明確的學(xué)習(xí)目標，并有清晰的解題思路。以梯形解題教學(xué)過程為例，在學(xué)習(xí)梯形綜合計算及證明這一模塊知識時，教師會首先將教學(xué)重點設(shè)置為尋找該類問題共性，并得到機械化解題方法。之后教師將在解決實際問題的過程中，鍛煉學(xué)生的解題能力。如在某一梯形ABCD中，AD//BC，且AB=AD=DC=2，BC=5。求∠B度數(shù)和AC邊長。在面對這一問題時，教師會為學(xué)生提供一定思考空間，并與學(xué)生進行積極互動，鼓勵學(xué)生將自身見解表達出來，然后在解題過程中明確思路，引導(dǎo)學(xué)生參與到解題中。

如在求解角的度數(shù)時，教師將采用特殊三角形和正余弦函數(shù)等知識內(nèi)容，會指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件來思考可以用到的數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生在已知梯形中尋找特殊三角形，在完成上述步驟后，教師會要求學(xué)生將特殊三角形與需要求解的度數(shù)聯(lián)系起來。通常借助輔助線來得到想要的條件，通過劃分出等邊三角形或者等腰三角形，可實現(xiàn)問題的有效解決。而在求解梯形邊長時，中學(xué)解題方法包括特殊三角形或者四邊形、勾股定理等，對這道問題來講，學(xué)生可根據(jù)已經(jīng)求解出的∠B的度數(shù)來設(shè)計解題思路，在輔助線的作用下，能得到已知角度和其中一條邊長度的三角形，進而保證問題的有效解決。教師主要通過解題實踐來加深學(xué)生對幾何機械化類問題解題方法的掌握，能在逐步解題的過程中，使得學(xué)生保持清晰的解題思路，并與學(xué)生進行積極互動，在保證學(xué)生主體地位的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)較好的教學(xué)效果。

2. 綜合性探究題教學(xué)實例 綜合性探究題同樣是要求學(xué)生重點掌握的知識內(nèi)容，在進行這類知識的講解時，應(yīng)總結(jié)出此類問題共性，使其形成不同類型模塊，進而得出機械化的解題步驟，促使學(xué)生能有效掌握這類問題的解決方法。綜合性探究性問題解決難點主要體現(xiàn)在模塊的歸納以及解題思路連貫性上，因此，教師將主要針對教學(xué)中難點來制定教學(xué)方案。例如，已知在△ABC中，2∠ACB=∠BAC，并且點D是△ABC中的一點，其中BD=BA，AD=CD。試驗證∠ABC與∠DCB度數(shù)的比值。在解決這類問題時，教師會向?qū)W生灌輸將圖形特殊化后得出猜想這一解題思路，如假設(shè)∠BAC度數(shù)為90°時，可得出這一條件下AB和AC的數(shù)量關(guān)系，并可結(jié)合其他已知角的度數(shù)來得出∠DBA和∠ABC度數(shù)比值。之后可假設(shè)該角不等于90°，這時教師會鼓勵學(xué)生畫出對應(yīng)圖形，并驗證是否與上述得出的結(jié)論一致并加以證明。為了保證學(xué)生對知識的有效掌握，教師會從簡到難來引導(dǎo)學(xué)生對這類問題共性的總結(jié)，能幫助學(xué)生構(gòu)建強大的解題思路，使得掌握機械化解題方法。

3. 中學(xué)數(shù)學(xué)圓的教學(xué)實例 在開展這類知識的教學(xué)活動時，教學(xué)內(nèi)容主要為圓與直線的位置關(guān)系計算及證明，需要學(xué)生在不斷練習(xí)后，掌握這類問題的解題技巧，并將其形成模塊，得出機械化的解題方法，從而加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的了解和掌握。圓與直線位置關(guān)系計算和證明這類問題的教學(xué)難點體現(xiàn)在解題方法的歸納和解題思路的清晰上，因此，為了保證學(xué)生充分掌握解題方法的靈活應(yīng)用，應(yīng)加強對教學(xué)方法的研究，并利用多媒體課件和幾何教具等實現(xiàn)較好的教學(xué)效果。

在實際教學(xué)過程中，考慮到這類問題與梯形部分解題方法類似，可參考梯形教學(xué)過程來開展教學(xué)活動。首先確定圓的考題形式，指導(dǎo)學(xué)生通過問答的方式對圓形直徑、半徑、切線、弦等重要內(nèi)容和判定方法進行系統(tǒng)復(fù)習(xí)，以便幫助學(xué)生掌握機械化解題技巧。例如，教師為了培養(yǎng)學(xué)生解題能力，會列舉以下題型：已知在△ABC中，D點AB邊上的一點，圓O經(jīng)過B、C、D三點，并且∠DOC=2∠ACD=90°。根據(jù)已知條件，證明直線AC為圓O切線；求解當∠ACB=75°，圓O半徑為2時，BD的長。這一題型是圓部分較為常見的題目，要求學(xué)生能快速分析已知條件，并確定正確的解題思路。首先，在證明切線問題時，應(yīng)養(yǎng)成學(xué)生尋找圓半徑的解題意識，這道題目中已經(jīng)有一過C點的半徑，因此，第一證明問題可利用半徑來為解決，將問題簡化為證明∠ACO=90°。在上述解題過程中，可幫助學(xué)生回顧圓的基本性質(zhì)，運用到了圓的半徑相等，則△ODC為一個等腰三角形的知識，求得∠DCO=∠CDO，從而解決上述問題。

在解決第二問時，需要求出線段長度。在解決這一問題時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已知條件進行分析，如題目中給出∠ACB=75°，是非特殊角，而幾何問題求解的關(guān)鍵在于尋找特殊角。因此，面對這一問題時，要求學(xué)生能從盡可能得到特殊角這一解題方向考慮。其次，觀察某邊長度是否是某個四邊形或者三角形對應(yīng)的邊長，并判斷四邊形或者三角形的特殊性質(zhì)。從條件出發(fā)來分析問題，能保證問題的有效解決。在分析已知條件時，還可知道∠AC=45°，進一步得出∠DCO=30°，即是得到特殊角。但是△DBC不是特殊三角形，為了保證問題的有效解決，應(yīng)對其進行轉(zhuǎn)化處理。這時需要再次思考圓的基礎(chǔ)知識，如圓心角和圓周角，教材中提到圓弧對應(yīng)圓周角為其對應(yīng)圓心角的兩倍，所以要求學(xué)生能想到將半徑BO連接起來，進而得到一個新的等邊三角形，進一步利用特殊三角形性質(zhì)來解決邊長問題。通過對實際問題的分析，能在解題過程中鍛煉學(xué)生解題能力，并引導(dǎo)他們掌握正確的解題思路，對學(xué)生解題能力的提高有重要作用。

結(jié)論：綜上所述，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對學(xué)生發(fā)展有重要作用，主要體現(xiàn)在學(xué)生思考意識和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)上。幾何機械類問題始終是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點內(nèi)容，可起到鍛煉學(xué)生空間想象能力的作用，為了保證學(xué)生對這一模塊知識有良好掌握，應(yīng)加強對問題解決方法的研究，以便幫助學(xué)生對空間幾何問題有更深了解。

參考文獻：

[1]劉兼，孫曉天.數(shù)學(xué)課程標準解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.218—219

[2] 呂亞軍.初中平面幾何新舊教材結(jié)構(gòu)的比較研究[D].蘇州：蘇州大學(xué)，2007，11-31.

[3]教育部.全同制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿），[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001：97.

[4]張奠宙，方均斌.研究吳文俊先生的數(shù)學(xué)教育思想[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009（4）：15-16.

[5] 張奠宙，趙小平.遵守約定和自主創(chuàng)新[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（3）：21-22.

（作者單位：浙江省溫嶺市城南鎮(zhèn)岙環(huán)中學(xué) 317500）