主軸熱伸長(zhǎng)建模耦合溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化的研究*

陳 松 王永青 智 瑩 劉子恒

(①遼寧科技大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院, 遼寧 鞍山 114051；②大連理工大學(xué)精密與特種加工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024；③ 鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 遼寧 鞍山 114205)

數(shù)控機(jī)床主軸溫度場(chǎng)具有時(shí)變性、非平穩(wěn)性、時(shí)滯性等特點(diǎn)，主軸熱伸長(zhǎng)也隨著主軸溫度場(chǎng)的變化呈現(xiàn)出非線性與交互關(guān)系[1-3]。溫度場(chǎng)信息的準(zhǔn)確表達(dá)取決于溫度測(cè)點(diǎn)布置的準(zhǔn)確性[4-5]。通常為確保溫度場(chǎng)信息完整，需要布置冗余溫度測(cè)點(diǎn)，以避免熱敏點(diǎn)的遺漏[6]，然而過(guò)多的溫度變量易導(dǎo)致主軸熱伸長(zhǎng)預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)模型計(jì)算量繁重[7-8]。另外冗余溫度變量的存在導(dǎo)致主軸溫度場(chǎng)熱敏點(diǎn)不明確，熱伸長(zhǎng)建模的穩(wěn)定性與魯棒性受到嚴(yán)重影響[9-10]，甚至導(dǎo)致熱伸長(zhǎng)預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)模型出現(xiàn)歧義現(xiàn)象。為提高主軸熱伸長(zhǎng)建模魯棒性，要求能夠判定并消除溫度變量的強(qiáng)耦合，從而準(zhǔn)確提取主軸溫度場(chǎng)的關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)。然而主軸溫度場(chǎng)的連續(xù)分布特性，導(dǎo)致關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)間固有的相關(guān)性不易識(shí)別與排除。為解決此問(wèn)題以提高主軸熱伸長(zhǎng)建模精度，要求能夠有效地消除主軸溫度場(chǎng)重疊信息，從而建立溫度變量與主軸熱伸長(zhǎng)的非線性關(guān)系，以達(dá)到主軸熱伸長(zhǎng)的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)的目的。

1 強(qiáng)耦合溫度測(cè)點(diǎn)質(zhì)心聚類

主軸溫度場(chǎng)溫度測(cè)點(diǎn)的冗余布置具有隨機(jī)性，所以溫度測(cè)點(diǎn)的分組結(jié)構(gòu)無(wú)法確定，需將溫度測(cè)點(diǎn)按照耦合強(qiáng)弱分類以便于關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)的提取。溫度測(cè)點(diǎn)溫升值相似度代表溫度測(cè)點(diǎn)間的耦合程度。根據(jù)溫度測(cè)點(diǎn)聚類原則，溫度測(cè)點(diǎn)溫升變化程度亦需考慮。為簡(jiǎn)化聚類度量標(biāo)準(zhǔn)，利用溫度測(cè)點(diǎn)溫升值的距離作為分類的度量方法，距離近的溫度變量分為一類，在不同類中的溫度變量距離較遠(yuǎn)。聚類分組后，耦合性強(qiáng)的溫度測(cè)點(diǎn)聚類為同一類，變化程度弱的溫度測(cè)點(diǎn)聚類為同一類?？偨Y(jié)歸納得到主軸溫度場(chǎng)溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化策略：(1)排除溫度變量強(qiáng)耦合性，保證溫度變量間相關(guān)性較弱。(2)保證主軸溫度場(chǎng)信息完整性，適度減少溫度變量數(shù)目。(3)選擇影響熱伸長(zhǎng)變化程度顯著溫度變量，最大化主軸溫度場(chǎng)信息。(4)量化優(yōu)化結(jié)果與定性分析結(jié)果一致。

通過(guò)溫度測(cè)點(diǎn)的溫升值可以構(gòu)建溫度變量矩陣T為

其中：m為溫度測(cè)點(diǎn)數(shù)目；n為溫度測(cè)點(diǎn)的溫升測(cè)量值樣本數(shù)目。T矩陣可視為n維空間中的m個(gè)點(diǎn)，可以利用歐氏距離作為溫度變量之間距離的度量標(biāo)準(zhǔn)。設(shè)第u個(gè)溫度變量為Tu，第v個(gè)溫度變量為Tv，Tu與Tv之間的歐氏距離為duv，Tu=(tu1,tu2,…,tun)，Tv=(tv1,tv2,…,tvn)，則：

(1)

(2)

其中：nU為分類GU的樣本數(shù)；nW為分類GW的樣本數(shù)；nV為分類GV的樣本數(shù)。

以KHC63臥式加工中心主軸熱伸長(zhǎng)為研究對(duì)象，根據(jù)主軸溫度場(chǎng)的分布情況，布置溫度測(cè)點(diǎn)，主軸溫度場(chǎng)的溫度測(cè)點(diǎn)布置位置如圖1所示。

機(jī)床初始加工環(huán)境溫度為19～21 ℃；針對(duì)變轉(zhuǎn)速工況實(shí)驗(yàn)進(jìn)行研究，具體工況如圖2所示，空切削運(yùn)轉(zhuǎn)，每1分鐘采集各溫度測(cè)點(diǎn)溫升與主軸熱伸長(zhǎng)1次。溫度變量Ti與主軸熱伸長(zhǎng)的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)如圖3所示，其中i∈N，i∈[1,10]。

針對(duì)此10個(gè)初始溫度測(cè)點(diǎn)，通過(guò)質(zhì)心聚類分析，生成的溫度測(cè)點(diǎn)質(zhì)心聚類樹(shù)形結(jié)構(gòu)如圖4所示。

2 聚類分組關(guān)鍵溫度變量灰色關(guān)聯(lián)分析

因?yàn)闇囟葴y(cè)點(diǎn)的溫升變化直接影響主軸熱伸長(zhǎng)的變化態(tài)勢(shì)[11]，所以在溫度測(cè)點(diǎn)分類內(nèi)，各溫度測(cè)點(diǎn)的溫升與主軸熱伸長(zhǎng)的變化態(tài)勢(shì)的一致性，可作為關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)提取的參考依據(jù)。針對(duì)溫度測(cè)點(diǎn)的溫升變化，有的溫度測(cè)點(diǎn)對(duì)主軸熱伸長(zhǎng)影響程度弱，有的溫度測(cè)點(diǎn)對(duì)主軸熱伸長(zhǎng)影響程度強(qiáng)，所以要求在溫度測(cè)點(diǎn)聚類分組內(nèi)判定出主、次溫度測(cè)點(diǎn)，以提取關(guān)鍵溫度變量參加主軸熱伸長(zhǎng)建模。

設(shè)溫度變量Ti為主軸熱伸長(zhǎng)的影響因素，數(shù)控機(jī)床加工的時(shí)間序號(hào)為j，則Ti在j時(shí)刻的溫升測(cè)量值為ti(j)。則溫升時(shí)間序列為Ti=(ti(1),ti(2),…,ti(n))。主軸熱伸長(zhǎng)變化趨勢(shì)的數(shù)據(jù)序列E=(e(1),e(2),…,e(n))。則比較序列Ti相對(duì)于參考序列E的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)為：

(3)

其中ζ為分辨系數(shù)，ζ∈(0,1)，j=1,2,…,n，i=1,2,…,m，這里ζ取值為0.6。

由于灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)反映的關(guān)聯(lián)信息分散，不利于溫度變量序列之間的整體比較。將溫度變量序列曲線各個(gè)時(shí)刻的關(guān)聯(lián)系數(shù)進(jìn)行均值計(jì)算得到Ti相對(duì)于E的灰色關(guān)聯(lián)程度，以解決溫度變量序列之間難以比較的問(wèn)題，灰色關(guān)聯(lián)度為：

(4)

根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度的規(guī)范性，則0<γie1，即主軸溫度場(chǎng)中的溫度變量都與主軸熱伸長(zhǎng)相關(guān)。R(Ti,E)=1?Ti=E，說(shuō)明溫度變量序列的灰色關(guān)聯(lián)度越接近于1，其影響主軸熱伸長(zhǎng)的程度越大。將m個(gè)關(guān)聯(lián)度的數(shù)值進(jìn)行降序排序，從而得到溫度變量的灰色關(guān)聯(lián)序。若R(Tu,E)>R(Tv,E)，則比較序列Tu相對(duì)于參考序列E優(yōu)于Tv，即相對(duì)于Tv序列曲線，Tu序列曲線更接近E序列曲線記為Tu>Tv。

根據(jù)公式4計(jì)算各個(gè)溫度變量的灰色關(guān)聯(lián)度。溫度變量的灰色關(guān)聯(lián)序的降序排列結(jié)果為：T9>T10>T8>T7>T5>T4>T6>T3>T2>T1

根據(jù)溫度變量的質(zhì)心聚類得到4組分類，在同一分類內(nèi)，依據(jù)各溫度變量的灰色關(guān)聯(lián)度提取關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)。關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)分類提取的結(jié)果如表1所示。

表1 關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)提取結(jié)果

質(zhì)心聚類分類結(jié)果提取的關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)主軸位置T1T2T2主軸前軸承T3T4T5T6T5主軸箱T7T8T8變速箱T9T10T9主軸電動(dòng)機(jī)

3 關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)相關(guān)性的主成分分析

溫度變量強(qiáng)耦合性經(jīng)過(guò)溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化得以消除，但是關(guān)鍵溫度變量間固有的相關(guān)性卻難以排除。溫度變量的主成分分析方法采用降低維度技術(shù)，將溫度變量轉(zhuǎn)化為綜合溫度變量，而綜合溫度變量主成分能夠反映絕大部分溫度場(chǎng)信息，同時(shí)消除了主軸溫度場(chǎng)的重疊信息。

設(shè)綜合溫度變量C為

則綜合溫度變量的矩陣表達(dá)形式為：

C=βT

(5)

其中β為主成分系數(shù)矩陣。

λ1,λ2,…,λm為β的特征根，λ1≥λ2≥…≥λm>0，所對(duì)應(yīng)的單位特征向量為u1,u2,…,um，有正交陣U=(u1,u2,…,um)，s.t.

(6)

如果前u個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到85%以上，則說(shuō)明這u個(gè)主成分包含了全部的溫度場(chǎng)信息。

溫度變量樣本的協(xié)方差矩陣S=[suv]m×m，第u個(gè)溫度變量Tu與第v個(gè)溫度變量Tv的協(xié)方差為：

(7)

利用關(guān)鍵溫度變量T2、T5、T8、T9構(gòu)建T矩陣，計(jì)算得到關(guān)鍵溫度變量的協(xié)方差矩陣S，計(jì)算S的特征根與相對(duì)應(yīng)的單位特征向量：λ1=53.13；λ2=15.44；λ3=0.84；λ4=0.02；

可以看出，經(jīng)過(guò)主成分分析后，原先4維空間數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布在2個(gè)維度上得到濃縮，證實(shí)了主軸溫度場(chǎng)信息得到簡(jiǎn)化處理。

4 基于主成分的最小二乘支持向量機(jī)熱伸長(zhǎng)建模

最小二乘支持向量機(jī)[11]將不等式約束轉(zhuǎn)換為等式約束，泛化能力強(qiáng)，樣本數(shù)量依賴性弱，核函數(shù)解決了溫度變量與主軸熱伸長(zhǎng)的非線性難以表達(dá)問(wèn)題。

(8)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，變轉(zhuǎn)速工況條件下，主軸熱伸長(zhǎng)達(dá)到60 μm以上，預(yù)測(cè)殘差曲線波動(dòng)幅度為3 μm以內(nèi)，證明預(yù)測(cè)結(jié)果可靠，可滿足主軸熱伸長(zhǎng)建模精度的要求。

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)質(zhì)心聚類利用歐氏距離為度量手段，聚類強(qiáng)耦合、不顯著變化溫度變量，以溫度變量的灰色關(guān)聯(lián)序?yàn)橐罁?jù)，在同類溫度變量中提取與主軸熱伸長(zhǎng)關(guān)系緊密的熱敏點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了主軸溫度場(chǎng)溫度測(cè)點(diǎn)的精簡(jiǎn)?；谥鞒煞址治?，利用溫度變量的累積貢獻(xiàn)率，降低了關(guān)鍵溫度變量維度，進(jìn)一步簡(jiǎn)化了主軸熱伸長(zhǎng)的數(shù)學(xué)建模結(jié)構(gòu)，利用綜合溫度變量的主成分來(lái)反映主軸溫度場(chǎng)信息，消除了主軸溫度場(chǎng)的重疊信息，提高了主軸熱伸長(zhǎng)建模的魯棒性，基于最小二乘支持向量機(jī)的主軸熱伸長(zhǎng)預(yù)測(cè)結(jié)果表明關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)判定準(zhǔn)確，主軸溫度場(chǎng)關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)耦合信息消除，提高了主軸熱伸長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型的可靠性。

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