秦九韶多項(xiàng)式在應(yīng)變式稱重傳感器非線性校正的應(yīng)用

黃永剛

（中國鐵道科學(xué)研究院 標(biāo)準(zhǔn)計量研究所，北京 100015）

稱重傳感器被稱為電子衡器的心臟部件。隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展和微處理機(jī)的出現(xiàn)，工業(yè)生產(chǎn)過程自動化程度的不斷提高，稱重傳感器已成為過程控制中的一種必需裝置。由稱重傳感器制作的電子衡器也已廣泛地應(yīng)用到各行各業(yè)，實(shí)現(xiàn)了對物料快速、準(zhǔn)確地稱量。

電阻應(yīng)變式稱重傳感器由于具有準(zhǔn)確度高、測量范圍廣、壽命長、結(jié)構(gòu)簡單、頻響特性好、能夠在惡劣條件下工作、易于實(shí)現(xiàn)小型化整體化和品種多樣化等優(yōu)點(diǎn)，成為應(yīng)用最廣泛的稱重傳感器。

它的一個缺點(diǎn)就是對于大應(yīng)變有較大的非線性，這是由多方面的原因造成的。對于數(shù)字應(yīng)變式稱重傳感器而言，由于集成了彈性元件、信號調(diào)理模塊和數(shù)據(jù)采集卡等部分，稱重傳感器各部分的非線性特性[1-3]合成了整體的非線性特性。過去，通常采用硬件電路對非線性誤差進(jìn)行補(bǔ)償[4]。隨著計算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，尤其是微型計算機(jī)和嵌入式微處理芯片的迅速發(fā)展，人們開始關(guān)注計算機(jī)處理數(shù)據(jù)的能力，使用軟件進(jìn)行傳感器特性的非線性補(bǔ)償。常用的方法有最小二乘法[5-6]，支持向量機(jī)法[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[8-9]等，尤以最小二乘法最為簡單實(shí)用。

在此，采用軟件和硬件相結(jié)合的方法校正稱重傳感器的非線性特性。稱重傳感器的輸出電壓經(jīng)過一個以單片機(jī)為核心的非線性校正環(huán)節(jié)。該環(huán)節(jié)以多項(xiàng)式為數(shù)據(jù)處理模型，在計算多項(xiàng)式的值時，采用秦九韶算法，以減少運(yùn)算次數(shù)，縮短運(yùn)算時間，節(jié)約單片機(jī)的存儲空間。試驗(yàn)結(jié)果證實(shí)該方法的正確性和有效性。

1 非線性修正的算法實(shí)現(xiàn)

1.1 基于最小二乘法的曲線擬合

稱重傳感器在正式使用前必須進(jìn)行靜態(tài)標(biāo)定（校準(zhǔn)），得到該傳感器的輸出信號與載荷的關(guān)系（輸出曲線），以此作為使用過程中的計量依據(jù)。假定，標(biāo)定過程中加載砝碼的質(zhì)量為，稱重傳感器的輸出電壓為u，稱重傳感器輸出電壓對載荷的函數(shù)關(guān)系為

在實(shí)際工作中，對載荷的測量是其逆過程，即通過測量到的電壓推算出載荷質(zhì)量，即

構(gòu)造一個函數(shù)

圖1 測量系統(tǒng)框圖Fig.1 Measurement system block diagram

由數(shù)值分析理論[10]知，任何一個初等函數(shù)均可以用一個適當(dāng)?shù)膎次多項(xiàng)式去充分逼近它，因此式（3）可由n階多項(xiàng)式表示為

式中：a0，a1，…，an為 n 次多項(xiàng)式的系數(shù)；ε 為高階無窮小。標(biāo)定點(diǎn)的示值殘差的平方和函數(shù)為

式中：i=0，1，2，…，m；m=標(biāo)定點(diǎn)個數(shù)-1。

根據(jù)最小二乘法原理和多元函數(shù)求極值條件，要使標(biāo)定點(diǎn)殘差的平方和達(dá)到最小值，將函數(shù)s=v（a0，a1，a2，…，an）分別對 a0—an求偏導(dǎo)，并令各偏導(dǎo)數(shù)等于零即可

聯(lián)立式（4），式（5）和式（6），整理得到正規(guī)方程組

式（7）可以寫為

則最終得到A的表達(dá)式為

由上述分析可知，用 span｛1，x，x2，…，xn｝上的多項(xiàng)式擬合，首先需要求解一個n+1的線性方程組。一般地，n值由所要求的精度確定。有時為了提高測量精度，可能需要增大n的取值。而當(dāng)n較大時，正規(guī)方程的系數(shù)矩陣會出現(xiàn)病態(tài)[10]，可以采用其它方法求解多項(xiàng)式系數(shù)，從而避免正規(guī)方程組的病態(tài)。

QR（正交三角）分解法，將矩陣分解成一個正規(guī)正交矩陣Q與上三角形矩陣R，是目前求一般矩陣全部特征值的最有效并廣泛應(yīng)用的方法[10]。它有現(xiàn)成的Matlab指令可供調(diào)用，簡單快捷，易于實(shí)現(xiàn)。利用QR分解法求解多項(xiàng)式系數(shù)的程序流程如圖2所示。

圖2 利用QR分解法求解多項(xiàng)式系數(shù)的程序流程Fig.2 Program flow chart of solving polynomial coefficients using QR decomposition method

1.2 多項(xiàng)式求值的秦九韶算法

一個計算問題如果能減少運(yùn)算次數(shù)，不僅可節(jié)省計算量，還可減少舍人誤差。這是算法設(shè)計的重要原則之一，以多項(xiàng)式求值為例，設(shè)給定n次多項(xiàng)式

求ui處的值f（ui）。若直接計算每一項(xiàng)anun再相加，共需求解

次乘法，n次加法。若采用

可表示為

則bn=f（ui）即為所求。此算法稱為秦九韶算法[10]。依此計算n次多項(xiàng)式f（u）的值，只用n次乘法和n次加法，乘法次數(shù)由 O（n2）降為 O（n），且僅使用 n+2個存儲單元。這是計算多項(xiàng)式值最好的算法。該算法是我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶于1247年提出的，國外稱其為Hernor算法，在1819年給出，比秦九韶算法晚了500多年。

2 試驗(yàn)標(biāo)定及多項(xiàng)式系數(shù)求解

對量程為15000kg的稱重傳感器進(jìn)行加載測試，其加載砝碼質(zhì)量和稱重傳感器的輸出電壓見表1。

表1 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.1 Calibration experiment data

從理論上分析，稱重傳感器載荷和輸出電壓之間的函數(shù)關(guān)系可進(jìn)行任意次多項(xiàng)式擬合。根據(jù)精度的要求，取 n=5，則式（4）為

根據(jù)表1數(shù)據(jù)及前述非線性修正算法的原理，可求得多項(xiàng)式（12）各系數(shù)a0—a5的值為

從而求得式（12）的表達(dá)式為

化為秦九韶算法的多項(xiàng)式表達(dá)式為

3 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)

具有非線性校正功能的應(yīng)變式稱重傳感器的關(guān)鍵技術(shù)在于非線性校正環(huán)節(jié)的處理方法，基于最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，建立非線性校正擬合多項(xiàng)式（式（13）），化為秦九韶算法的多項(xiàng)式表達(dá)式（式（14））后，利用編程語言將校正過程寫入單片機(jī)中。單片機(jī)與傳感器數(shù)據(jù)采集部分的輸出相連，收集前向環(huán)節(jié)的輸出數(shù)據(jù)，并利用儲存的處理方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，最終輸出測量系統(tǒng)的示值。

3.1 硬件實(shí)現(xiàn)

由于應(yīng)用簡單靈活、安全穩(wěn)定、成本低和軟件復(fù)雜程度低等優(yōu)勢，具有更少引腳和存儲的8位MCU長期處于壟斷地位，在未來仍會吸引市場的注意。在智能化控制領(lǐng)域，MCU長期處于8位機(jī)時代，竭盡全力發(fā)展與物理對象相關(guān)的控制功能[11]。在此，非線性校正環(huán)節(jié)以ATMEL89C52單片機(jī)為核心，包含非線性校正環(huán)節(jié)、以數(shù)字應(yīng)變式稱重傳感器為基礎(chǔ)的測試系統(tǒng)的硬件電路框圖如圖3所示。

圖3 測量系統(tǒng)硬件框圖Fig.3 Measurement system hardware block diagram

3.2 軟件部分

程序設(shè)計包括主程序、按鍵中斷子程序、通信中斷子程序。其流程如圖4所示。

圖4 主程序流程Fig.4 Main program flow chart

編寫完成的軟件程序，在集成開發(fā)環(huán)境下運(yùn)行成功后，再送入仿真器內(nèi)進(jìn)行仿真調(diào)試。實(shí)現(xiàn)預(yù)期的功能后，用編程器將程序?qū)懭雴纹瑱C(jī)內(nèi)部進(jìn)行獨(dú)立運(yùn)行。

3.3 算法比較與仿真調(diào)試

以單片機(jī)或SOC（system on chip）為核心的智能儀器儀表中，普遍采用C語言編程[12]。在Keil平臺也采用C語言進(jìn)行編程，數(shù)據(jù)變量采用float型運(yùn)算，在進(jìn)行仿真調(diào)試的過程中，將表1數(shù)據(jù)代入式（13）和式（14），分別采用常規(guī)算法和秦九韶算法求多項(xiàng)式的值，2種算法的運(yùn)算時間對比分析和秦九韶算法運(yùn)算結(jié)果及誤差見表2。

由表可知，采用秦九韶算法進(jìn)行多項(xiàng)式求值的運(yùn)算時間約縮短至常規(guī)算法的1/2。2種算法的運(yùn)算時間分布如圖5所示。

仿真調(diào)試的編譯結(jié)果還顯示，常規(guī)算法的運(yùn)算語句程序代碼占用的存儲空間為893 B，而秦九韶算法縮減至710 B。

表2 仿真調(diào)試結(jié)果Tab.2 Simulation debugging results

圖5 算法的運(yùn)算時間分布Fig.5 Operation time distribution of the algorithm

經(jīng)過非線性校正處理后，測量系統(tǒng)的示值最大偏差為19.94 kg，滿量程時相對誤差為100%＝0.133%，滿足0.2%的測試要求。校正后誤差分布情況如圖6所示。

圖6 誤差分布Fig.6 Error distribution

4 結(jié)語

采用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合建立非線性校正擬合多項(xiàng)式，將校正過程存儲于單片機(jī)中，對應(yīng)變式稱重傳感器進(jìn)行非線性校正。試驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)過非線性校正后，測量結(jié)果的最大絕對誤差為19.94 kg，即最大引用誤差為0.133%，滿足0.2%的測試精度要求。如果遇到標(biāo)定值的示值非線性誤差不太理想等情況，可能需要調(diào)整多項(xiàng)式的次數(shù)或者改變擬合曲線的形式，以確保測量精度滿足實(shí)際需要。

進(jìn)行多項(xiàng)式求值運(yùn)算時，秦九韶算法占用存儲空間小，運(yùn)算速度快，在單字節(jié)8位單片機(jī)中具有較高的應(yīng)用價值。

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