通脹環(huán)境下基于CEV模型的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資問(wèn)題

，，

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

再保險(xiǎn)可以幫助商避免潛在的巨大損失，而投資能使保險(xiǎn)公司實(shí)現(xiàn)其管理目標(biāo)．因此再保險(xiǎn)-投資對(duì)保險(xiǎn)商來(lái)說(shuō)是兩個(gè)重要的問(wèn)題．保險(xiǎn)市場(chǎng)中的再保險(xiǎn)-投資問(wèn)題越來(lái)越引起學(xué)者們的重視，關(guān)于此類問(wèn)題的研究也越來(lái)越多.Browne[1]最先研究了Lundberg風(fēng)險(xiǎn)模型，給出了保險(xiǎn)商終端財(cái)富的指數(shù)效用最大化和破產(chǎn)概率的最小化．Bauerle[2]首次提到了“比例再保險(xiǎn)”這一再保險(xiǎn)名詞，并且很好地解決了相關(guān)的均值-方差問(wèn)題.Wang[3]等在均值-方差準(zhǔn)則以及常彈性絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡(CRRA)效用情形下有效地運(yùn)用鞅方法研究了最優(yōu)投資組合問(wèn)題．Hipp[4]等,Promislow[5]等研究了最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題，以及怎樣來(lái)降低保險(xiǎn)人破產(chǎn)的概率．Liang[6]等在一個(gè)不可測(cè)的馬爾可夫調(diào)制的復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型中討論了最優(yōu)再保險(xiǎn)與投資問(wèn)題．之后，Lin[7]等和Gu[8]等分別應(yīng)用常方差彈性模型(CEV)來(lái)研究最優(yōu)比例再保險(xiǎn)跳擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程．Li[9]等在均值-方差準(zhǔn)則下開(kāi)始使用Heston模型來(lái)研究最優(yōu)比例再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題．在Heston模型下的跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程，Zhao[10]等考慮了保險(xiǎn)商最優(yōu)超額賠損再保險(xiǎn)以及投資問(wèn)題．基于Heston模型下的默認(rèn)市場(chǎng)，Zhu[11]等討論了保險(xiǎn)商最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題．

以上諸多問(wèn)題的研究中并未考慮通貨膨脹情形，而真實(shí)市場(chǎng)環(huán)境下通脹對(duì)投資決策起到了一定的作用.通貨膨脹是指在一段給定的時(shí)間內(nèi)，給定經(jīng)濟(jì)體中的物價(jià)水平普遍持續(xù)增長(zhǎng)，從而造成貨幣購(gòu)買力的持續(xù)下降.現(xiàn)如今，通貨膨脹已經(jīng)存在于生活的方方面面，會(huì)直接影響投資者投資消費(fèi).Munk[12]等考慮了通脹環(huán)境下，一個(gè)可投資于現(xiàn)金、名義債券和股票的冪效用投資者的最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題.Kwak[13]等在通脹環(huán)境下，運(yùn)用鞅方法給出了一個(gè)家庭的最優(yōu)消費(fèi)、投資和人壽保險(xiǎn)決策.Guan[14]等利用CARA效用函數(shù)考慮了通脹的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略.國(guó)內(nèi)學(xué)者的許多文章也考慮了通脹對(duì)投資組合的影響.費(fèi)為銀[15]等在Knight不確定和通脹環(huán)境下研究了最優(yōu)投資消費(fèi)問(wèn)題，考慮了消費(fèi)投資中通脹波動(dòng)率的影響.

在Gu[8]等的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣，利用楊鵬[16]折現(xiàn)的方法引入了通脹因素，考慮通脹環(huán)境下保險(xiǎn)商最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資問(wèn)題.運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，通過(guò)求解HJB方程，獲得值函數(shù)的解析解以及關(guān)于保險(xiǎn)商的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略．將綜合考慮通貨膨脹環(huán)境下基于CEV模型的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略問(wèn)題，最后使用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，分析通脹波動(dòng)率等參數(shù)對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資的影響.

1 模型建立

1.1再保險(xiǎn)市場(chǎng)

根據(jù)經(jīng)典的Cramér-Lundberg模型，保險(xiǎn)商在時(shí)刻t的盈余水平用P(t)表示：

(1)

通過(guò)期望值原理可知，c=(1+η)λμ∞,其中η>0是相關(guān)的再保險(xiǎn)安全負(fù)荷系數(shù).

其中，保費(fèi)率:

這里θ表示再保險(xiǎn)商的安全負(fù)荷系數(shù)，為了再保險(xiǎn)市場(chǎng)無(wú)套利，要求θ>η.根據(jù)Grandell[17]可知，盈余水平P(a)可近似表示為：

(2)

其中W0(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

考慮超額賠損再保險(xiǎn)：

dR(a)(t)=[θμ(a(t))+(η-θ)μ∞]dt+σ(a(t))dW0(t).

(3)

1.2 金融市場(chǎng)

假設(shè)金融市場(chǎng)中存在以下兩種資產(chǎn).

無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)B(t)價(jià)格方程滿足：

dB(t)=RB(t)dt,

其中R是確定性的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S(t)價(jià)格方程滿足以下CEV模型：

dS(t)=μsS(t)dt+σsS(t)β+1dW(t),

其中μs(μs>R)是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)平均收益率，σsS(t)β+1表示一個(gè)瞬時(shí)波動(dòng)率.

假設(shè)通脹變化率滿足：

dL(t)=L(t)[μpdt+σpdW(t)].

其中,μp,σp分別表示通貨膨脹率的預(yù)期增長(zhǎng)率和預(yù)期波動(dòng)率.

μp-σpσsSβ)dt+(SβσS-σP)dW(t)].

假設(shè)保險(xiǎn)商在上述通貨膨脹影響下進(jìn)行投資，其中在t時(shí)刻投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的現(xiàn)金流為π(t)，于是保險(xiǎn)商的盈余過(guò)程滿足下面的隨機(jī)微分方程：

2 最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略

在上述模型的基礎(chǔ)上，以財(cái)富期望效用最大化為目標(biāo)，尋求最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略.假設(shè)收益函數(shù)為：

Hπ(t,x,s1)=E[u(X(T))|X(t)=x,S1(t)=s1,L(t)=l],

H(t,x,s1)=supHπ(t,x,s1,l),

目標(biāo)是最優(yōu)策略π*∈π使H(t,x,s1,l)=Hπ*(t,x,s1,l).

設(shè)保險(xiǎn)商財(cái)富效用采用冪效用函數(shù)：

(4)

其中γ為冪效用下的風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子.

易知該問(wèn)題的HJB方程為：

(5)

由一階條件可得：

(6)

(7)

將式(6)，式(7)代入式(5)整理得：

(8)

考慮冪效用函數(shù)式(4)，可設(shè)

(9)

此時(shí)式(9)各偏導(dǎo)如下：

將以上得到的各偏導(dǎo)代入式(8)可得：

(10)

消除式(10)中對(duì)x的依賴，得到：

(11)

假設(shè)式(11)解的結(jié)構(gòu)：

f(t,s1,l)=u(t,s1,l)1-γ,u(T,s1,l)=1.

(12)

則式(12)各類偏導(dǎo)如下：

(13)

將式(13)代入式(11)得：

(14)

令式(14)大括號(hào)里算式等于0，則可得到關(guān)于u(t,s1,l)的微分方程：

(15)

假設(shè)式(15)形式如下：

u(t,s1,l)=exp{A(t)+B(t)s1+C(t)l}.

(16)

邊界條件A(t)=0,B(T)=1,C(T)=1.則式(16)各偏導(dǎo)如下：

us1s1=B2(t)u,ul=C(t)u,ull=C2(t)u,us1l=B(t)C(t)u.

(17)

將式(17)代入到式(15)中，得到：

(18)

消除式(18)中關(guān)于s1,l的影響，可以得到如下3個(gè)方程：

求解以上3個(gè)等式可得：

其中，

最后，得到最優(yōu)再保險(xiǎn)投資策略為：

3 數(shù)值模擬

為了更好地分析財(cái)富水平和通脹因素對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資的影響，利用MATLAB進(jìn)行了數(shù)值模擬，并對(duì)所得最優(yōu)策略進(jìn)行分析.盈余水平波動(dòng)率對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響如圖1所示．圖1中參數(shù)為：θ=0.1,γ=0.3,x=1.圖1是由兩種不同的線組成，這是考慮了在其他參數(shù)不變的情況下，僅僅考慮盈余水平波動(dòng)率的改變，造成的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的變化．由圖1可知，再保險(xiǎn)策略隨著系數(shù)σ的增加而減小，對(duì)保險(xiǎn)商來(lái)說(shuō)就存在更低的保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)楸ｋU(xiǎn)商將更多的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給再保險(xiǎn)商來(lái)得到最優(yōu)的一個(gè)財(cái)富.

安全系數(shù)θ對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響如圖2所示.圖2中參數(shù)為：θ=0.1,γ=0.3,σ=0.15,x=1.θ意味著對(duì)沖保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)的成本，θ越高，保險(xiǎn)商所用來(lái)對(duì)沖保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)的成本就越高，θ越大，再保險(xiǎn)公司的保費(fèi)收入越大，即保險(xiǎn)公司進(jìn)行更多的再保險(xiǎn)，也就是進(jìn)行更多的再保險(xiǎn)策略.所以再保險(xiǎn)策略和再保險(xiǎn)商安全系數(shù)θ之間是正相關(guān)的.

圖1 盈余水平波動(dòng)率對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響圖2 安全系數(shù)θ對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響

圖3 通脹系數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

4 小結(jié)

在通脹環(huán)境下，對(duì)保險(xiǎn)商的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行通脹折現(xiàn)，并給出了財(cái)富過(guò)程的動(dòng)力學(xué)方程，建立了相應(yīng)的HJB方程.通過(guò)求解方程，獲得值函數(shù)的解析解和最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略；最后，通過(guò)數(shù)值模擬給出通脹對(duì)最優(yōu)投資的影響. 研究所得結(jié)果和相應(yīng)分析為保險(xiǎn)商在金融市場(chǎng)中再保險(xiǎn)-投資提供一定的理論指導(dǎo)．

在現(xiàn)有工作的基礎(chǔ)上考慮通脹對(duì)保險(xiǎn)商最優(yōu)再保險(xiǎn)投資策略的影響，保險(xiǎn)商可以投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，投資更加多樣化.在進(jìn)行討論時(shí)并沒(méi)有考慮交易費(fèi)用和稅收等摩擦成本，后面將進(jìn)一步討論帶摩擦成本情況下保險(xiǎn)商最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資問(wèn)題.

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