Markov跳變系統(tǒng)有限短時(shí)間控制研究綜述

曹智茹，牛玉剛*，宋 軍，何舒平

(1.華東理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200237；2.安徽大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，安徽 合肥 230601；3.安徽大學(xué) 計(jì)算智能與信號處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230601)

隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，研究人員開始用隨機(jī)模型來描述工業(yè)生產(chǎn)中出現(xiàn)的各種復(fù)雜過程.環(huán)境改變、內(nèi)部元件損壞及人為干預(yù)等因素的影響，使確定性的系統(tǒng)模型已不能準(zhǔn)確描述工業(yè)生產(chǎn)過程，這時(shí)就需要用分段系統(tǒng)或跳變系統(tǒng)來描述.Markov跳變系統(tǒng)(Markov jump systems, 簡稱MJSs)是一類時(shí)間和事件共同驅(qū)動的混合系統(tǒng)，它用離散的模態(tài)表示不同的子系統(tǒng)，而各子系統(tǒng)又含有連續(xù)時(shí)變的狀態(tài)變量，這類系統(tǒng)相對僅含有狀態(tài)變量而無模態(tài)變化的一般系統(tǒng)來說，能夠更加準(zhǔn)確描述實(shí)際過程.

控制理論中，系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)控制過程的關(guān)鍵問題.Lyapunov漸近穩(wěn)定性以假設(shè)工作時(shí)間無限長為前提，描述系統(tǒng)狀態(tài)的漸進(jìn)變化，即關(guān)注系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能.然而，對于一些實(shí)際工程，人們更關(guān)心有限(或短暫)時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的狀態(tài)變化，如導(dǎo)彈系統(tǒng)及衛(wèi)星姿態(tài)的調(diào)整.因此，有限短時(shí)間穩(wěn)定(finite-time stability, 簡稱FTS)在一定程度上變得非常重要，極具研究意義.需要強(qiáng)調(diào)的是，由于Lyapunov穩(wěn)定性和有限短時(shí)間穩(wěn)定性是相互獨(dú)立的兩個(gè)概念，二者關(guān)注重點(diǎn)與研究方法也不同.

筆者對近年來Markov跳變系統(tǒng)的有限短時(shí)間控制問題進(jìn)行綜述.首先，闡述Markov跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性、魯棒控制及濾波方法；然后，介紹有限短時(shí)間穩(wěn)定性的基本概念及目前Markov跳變系統(tǒng)有限短時(shí)間控制的研究現(xiàn)狀；最后，從Markov跳變系統(tǒng)模型及有限短時(shí)間控制方法兩個(gè)角度，分別提出Markov跳變系統(tǒng)有限短時(shí)間控制未來潛在的研究課題.

1 Markov跳變系統(tǒng)

1.1 Markov跳變系統(tǒng)模型

許多工業(yè)過程中，由于外界環(huán)境的突然變化、內(nèi)部各子系統(tǒng)間連接方式的改變、非線性對象工作點(diǎn)范圍的變化、元件損壞及人為干預(yù)等，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)會發(fā)生隨機(jī)突變，這類系統(tǒng)稱為混雜動態(tài)系統(tǒng)(hybrid dynamic systems, 簡稱HDS)[1].混雜動態(tài)系統(tǒng)可描述實(shí)際系統(tǒng)，如電力系統(tǒng)、生化系統(tǒng)以及經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)等.

混雜動態(tài)系統(tǒng)既描述離散的事件動態(tài)，也描述連續(xù)的變量動態(tài).切換系統(tǒng)(switched systems)描述一類特殊的混合系統(tǒng)，一個(gè)由多個(gè)子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)，其系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移僅與該事件是否發(fā)生有關(guān)，而與該系統(tǒng)狀態(tài)無關(guān)[2].一般地，切換系統(tǒng)由若干個(gè)子系統(tǒng)及一個(gè)切換信號構(gòu)成，并通過切換信號在子系統(tǒng)間進(jìn)行切換，以實(shí)現(xiàn)預(yù)定的性能指標(biāo).

Markov跳變系統(tǒng)是一種特殊的切換系統(tǒng)，該系統(tǒng)從一個(gè)模態(tài)切換到另一個(gè)模態(tài)的過程中沒有固定的切換規(guī)則可以遵循，模態(tài)間切換是隨機(jī)的，但這種隨機(jī)切換符合一定的統(tǒng)計(jì)特性——各模態(tài)間的轉(zhuǎn)移服從Markov跳變過程(Markov jump process)[3-4].因此，Markov跳變系統(tǒng)是一類特殊的隨機(jī)系統(tǒng)，也稱為隨機(jī)Markov跳變系統(tǒng)(stochastic Markov jump systems, 簡稱SMJSs).

作為特殊的隨機(jī)切換系統(tǒng)，Markov跳變系統(tǒng)模型可用來描述很多實(shí)際系統(tǒng)，如金融系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、多旋翼姿態(tài)控制系統(tǒng)、機(jī)器人操作系統(tǒng)及同時(shí)涉及隨機(jī)決策和連續(xù)控制的系統(tǒng)等.

下面介紹Markov跳變系統(tǒng)模型：

(1) 連續(xù)時(shí)間Markov跳變線性系統(tǒng)

連續(xù)時(shí)間Markov跳變線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下

(1)

其中：x(t)∈Rn，y(t)∈Rp，u(t)∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量、控制輸出和控制輸入；A(rt)，B(rt)，C(rt)均為適當(dāng)維數(shù)的矩陣.{rt,t≥0}為有限集T={1,2,…,N}中取值的齊次Markov過程，具有如下性質(zhì)

(2)

(2) 離散時(shí)間Markov跳變線性系統(tǒng)

離散時(shí)間Markov跳變線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下

(3)

其中：x(k)∈Rn，y(k)∈Rp，u(k)∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量、控制輸出和控制輸入；A(rk)，B(rk)，C(rk)均為適當(dāng)維數(shù)的矩陣.{rk,k≥0}為有限集T={1,2,…,N}中取值的齊次Markov過程，具有如下性質(zhì)

Pr{rk+1=j|rk=i}=πij，

(4)

由上面連續(xù)時(shí)間、離散時(shí)間Markov跳變線性系統(tǒng)模型可以看出，Markov跳變系統(tǒng)是由若干個(gè)子系統(tǒng)組成，不同的模態(tài)代表不同的狀態(tài)空間，各模態(tài)間的跳變服從Markov過程.描述該Markov過程將來時(shí)刻的概率分布，僅依賴于現(xiàn)在時(shí)刻所給定的量，而與過去時(shí)刻的特性無關(guān)，Markov跳變系統(tǒng)的這種特性又稱為無后效性.

1.2 Markov跳變系統(tǒng)的分析與綜合

自Markov跳變系統(tǒng)被提出以來，該系統(tǒng)便引起了控制領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注，并取得了大量的成果，主要包括以下幾個(gè)方面：

(1) 穩(wěn)定性分析

Markov跳變系統(tǒng)穩(wěn)定性源于矩穩(wěn)定性(moment stability).1969年，文獻(xiàn)[5]由矩穩(wěn)定性推出幾乎必然穩(wěn)定性，使穩(wěn)定性分析有了進(jìn)一步的發(fā)展.文獻(xiàn)[6]研究了Markov跳變系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定(stochastic stability)，在均方穩(wěn)定充分條件的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定(exponential mean square stability)的充要條件.文獻(xiàn)[7]和[8]分別對離散時(shí)間和連續(xù)時(shí)間的線性Markov跳變系統(tǒng)的幾乎必然穩(wěn)定進(jìn)行了深入的研究.文獻(xiàn)[9]給出了受Markov鏈和確定性切換影響時(shí)線性Markov跳變系統(tǒng)幾乎必然穩(wěn)定的充分條件.

對于含有不確定性參數(shù)的Markov跳變系統(tǒng)，文獻(xiàn)[10]給出了與時(shí)變時(shí)滯有關(guān)的指數(shù)均方穩(wěn)定的充分條件.文獻(xiàn)[11]考慮了線性Markov跳變系統(tǒng)中含有影響系統(tǒng)狀態(tài)和輸入矩陣范數(shù)有界的不確定性，給出了系統(tǒng)幾乎必然穩(wěn)定的充分條件.文獻(xiàn)[12]研究了含有多胞參數(shù)不確定的非線性Markov跳變系統(tǒng)的指數(shù)均方穩(wěn)定問題，通過構(gòu)造依賴系統(tǒng)狀態(tài)和不確定參數(shù)的隨機(jī)Lyapunov函數(shù)，給出了非線性Markov跳變系統(tǒng)指數(shù)均方穩(wěn)定的充分條件.

上述討論均是在系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率完全已知的條件下進(jìn)行的，實(shí)際上，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率很難完全已知.文獻(xiàn)[13]對具有時(shí)變時(shí)滯的離散時(shí)間線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題進(jìn)行研究，考慮轉(zhuǎn)移率為完全已知和完全未知兩種情況，利用時(shí)變時(shí)滯的上下界信息給出了系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定的充分條件.文獻(xiàn)[14]和[15]分別對連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間Markov跳變系統(tǒng)進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，考慮了轉(zhuǎn)移概率完全未知的情況，利用線性矩陣不等式給出了系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定的充要條件.

(2) 魯棒控制

Markov跳變系統(tǒng)的魯棒控制一直是控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題.文獻(xiàn)[16]研究了一類具有參數(shù)不確定性的非線性離散Markov跳變系統(tǒng)的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題，利用隱函數(shù)定理和奇異值分解給出了線性矩陣不等式算法，設(shè)計(jì)魯棒狀態(tài)反饋控制器使被控系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定.文獻(xiàn)[17]則對一類同時(shí)具有混合時(shí)變時(shí)滯和參數(shù)不確定的非線性連續(xù)Markov跳變系統(tǒng)進(jìn)行研究，基于線性矩陣不等式給出了魯棒穩(wěn)定的充分條件.

關(guān)于隨機(jī)Markov跳變系統(tǒng)魯棒控制的相關(guān)研究成果還包括H∞控制問題[18-24]、成本及耗散控制問題[25-26]、模糊控制問題[27-29]及最優(yōu)控制問題[30]等.其中，H∞控制是Markov跳變系統(tǒng)魯棒控制研究中最常用的控制方法，文獻(xiàn)[18]研究了具有不確定轉(zhuǎn)移概率的離散時(shí)間Markov跳變系統(tǒng)的H∞控制問題，當(dāng)不確定轉(zhuǎn)移概率是連續(xù)隨機(jī)變化且部分未知時(shí)，使用高斯密度函數(shù)對隨機(jī)變化的轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行量化處理，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器保證閉環(huán)系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定并滿足給定的H∞性能指標(biāo).同樣針對具有不確定轉(zhuǎn)移概率的離散時(shí)間Markov跳變系統(tǒng)，文獻(xiàn)[19]進(jìn)一步考慮轉(zhuǎn)移概率具有多胞不確定性且時(shí)變的情況，設(shè)計(jì)魯棒H∞控制器減弱執(zhí)行器飽和帶來的影響.上述工作只考慮了系統(tǒng)狀態(tài)可測的情況，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不可測時(shí)，文獻(xiàn)[24]通過模態(tài)依賴和參數(shù)依賴的Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)了一個(gè)基于觀測器的H∞控制器，使增廣系統(tǒng)不僅能夠隨機(jī)穩(wěn)定，還能滿足規(guī)定的H∞性能.

(3) 濾波方法

實(shí)際物理系統(tǒng)中，由于干擾、不確定性等，往往不能直接測量系統(tǒng)的狀態(tài)，而只能通過系統(tǒng)輸出來間接估計(jì)，因此Markov跳變系統(tǒng)的濾波一直是控制界的研究熱點(diǎn)，常用的濾波方法有Kalman濾波、最小方差濾波、峰值濾波[31]、H∞濾波[32-36]等.由于H∞濾波僅要求能量有界而不需要考慮外部噪聲信息，該濾波方法在Markov跳變系統(tǒng)得到了廣泛應(yīng)用.文獻(xiàn)[32]針對具有Markov過程的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)中含有范數(shù)有界不確定性和隨機(jī)丟包現(xiàn)象，設(shè)計(jì)濾波器使系統(tǒng)滿足H∞性能指標(biāo)且具有無源性.考慮到轉(zhuǎn)移概率信息不完整的情況，文獻(xiàn)[33]研究了具有多胞型不確定性轉(zhuǎn)移概率的Markov跳變系統(tǒng)H∞濾波問題，文獻(xiàn)[34]研究了同時(shí)具有多胞型不確定性和不完整轉(zhuǎn)移概率的Markov跳變系統(tǒng)的H∞濾波問題.當(dāng)濾波器的模態(tài)與系統(tǒng)模態(tài)異步時(shí)，文獻(xiàn)[36]使用T-S模糊方法對非線性Markov系統(tǒng)進(jìn)行建模，設(shè)計(jì)異步濾波器保證增廣系統(tǒng)穩(wěn)定.

上述研究都是在Markov跳變系統(tǒng)的模態(tài)信息可獲得的條件下進(jìn)行的，但實(shí)際應(yīng)用中，有些模態(tài)很難測量，這使得上述方法不能應(yīng)用到實(shí)際中.文獻(xiàn)[37]和[38]分別針對連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間的線性Markov跳變系統(tǒng)設(shè)計(jì)了不依賴模態(tài)的魯棒H∞濾波器.對非線性Markov跳變系統(tǒng)，文獻(xiàn)[39]對濾波器與系統(tǒng)模態(tài)異步問題進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)了不依賴模態(tài)的具有分段同步的異步H∞濾波器保證系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定.

2 Markov跳變系統(tǒng)的有限短時(shí)間控制

2.1 有限短時(shí)間控制

有限短時(shí)間穩(wěn)定，是指一個(gè)有限的時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)的狀態(tài)軌線始終不脫離預(yù)先給定的范圍[40].圖1展示了一個(gè)2維系統(tǒng)的有限短時(shí)間穩(wěn)定性在狀態(tài)空間的變化[41].

圖1 一個(gè) 2維系統(tǒng)的有限短時(shí)間穩(wěn)定性在狀態(tài)空間的變化

在有限短時(shí)間穩(wěn)定概念的提出之初，主要是針對如下自治系統(tǒng)

(5)

給定一個(gè)初始時(shí)間t0，一個(gè)正標(biāo)量T，兩個(gè)集合χ0和χt，如果系統(tǒng)(5)滿足條件

x0∈χ0?x(t)∈χt,t∈[t0,t0+T] ，

(6)

則稱該系統(tǒng)有限短時(shí)間穩(wěn)定.但是，實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)難免會受外界未知擾動的影響，于是文獻(xiàn)[42]擴(kuò)展了有限短時(shí)間狀態(tài)穩(wěn)定的概念，提出了有限短時(shí)間有界性(finite-time boundedness, 簡稱FTB).

對一個(gè)含有外部擾動的系統(tǒng)

(7)

其中：ω(t)為外部干擾.給定一個(gè)初始時(shí)間t0，一個(gè)正標(biāo)量T，兩個(gè)集合χ0和χt，如果系統(tǒng)(7)滿足條件

(8)

x0∈χ0?x(t)∈χt,t∈[t0,t0+T]，

(9)

則稱該系統(tǒng)有限短時(shí)間有界.

文獻(xiàn)[42]提出了輸入輸出有限短時(shí)間穩(wěn)定(input-output finite-time stability, 簡稱IO-FTS)概念[43]，即給定一個(gè)確定的時(shí)間間隔，對于范數(shù)有界輸入信號(即有界的外部擾動)，系統(tǒng)的輸出在該時(shí)間間隔內(nèi)不超過規(guī)定的閾值.

對含有外部擾動的動態(tài)系統(tǒng)

(10)

其中：ω(t)為外部干擾.

給定一個(gè)初始時(shí)間t0，一個(gè)正標(biāo)量T，一個(gè)正標(biāo)量δ，一個(gè)集合χt，如果系統(tǒng)(10)滿足條件

(11)

W[t0,t0+T],δ?y(t)∈χt,t∈[t0,t0+T],

(12)

則稱系統(tǒng)輸入輸出有限短時(shí)間穩(wěn)定.

值得注意的是，有限短時(shí)間穩(wěn)定性與Lyapunov漸近穩(wěn)定性有很大的不同.前者關(guān)注系統(tǒng)狀態(tài)的暫態(tài)性能、系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在給定時(shí)間間隔內(nèi)的變化及有限短時(shí)間間隔內(nèi)能量的變化，后者關(guān)注系統(tǒng)狀態(tài)的最終穩(wěn)態(tài)是否趨于零，因此有限短時(shí)間穩(wěn)定是更有工程意義的穩(wěn)定性概念.

2.2 Markov跳變系統(tǒng)有限短時(shí)間控制研究現(xiàn)狀

有限短時(shí)間穩(wěn)定問題因其具有重要的工程意義受到關(guān)注，Markov跳變系統(tǒng)的有限短時(shí)間控制也是近幾年的研究熱點(diǎn).文獻(xiàn)[44]首次給出連續(xù)和離散線性隨機(jī)跳變系統(tǒng)有限短時(shí)間穩(wěn)定、有界和鎮(zhèn)定的定義，并設(shè)計(jì)出系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制器.文獻(xiàn)[45]提出隨機(jī)跳變系統(tǒng)有限短時(shí)間穩(wěn)定相關(guān)概念后，進(jìn)而將線性Markov跳變系統(tǒng)有限短時(shí)間穩(wěn)定的主要論點(diǎn)推廣到不確定隨機(jī)Markov跳變系統(tǒng)，且研究了該類線性連續(xù)隨機(jī)跳變系統(tǒng)基于狀態(tài)反饋的有限短時(shí)間鎮(zhèn)定問題.文獻(xiàn)[46]研究了伊滕型隨機(jī)Markov跳變系統(tǒng)的輸入輸出有限短時(shí)間均方鎮(zhèn)定問題，針對外部的有界干擾，設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)輸出在給定時(shí)間內(nèi)能量的均方值不超過給定的閾值.文獻(xiàn)[47]研究了一類具有高斯型轉(zhuǎn)移概率的Markov跳變系統(tǒng)，利用高斯密度函數(shù)對轉(zhuǎn)移概率中隨機(jī)不確定元素進(jìn)行量化處理，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)模態(tài)依賴的控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)有限短時(shí)間有界.

魯棒H∞控制是常用的處理Markov跳變系統(tǒng)有限短時(shí)間控制問題的方法.文獻(xiàn)[48]提出了一個(gè)新的Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造方法，減少了常規(guī)方法處理時(shí)滯問題帶來的保守性，設(shè)計(jì)的H∞控制器能保證系統(tǒng)有限短時(shí)間穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo).文獻(xiàn)[49]則考慮Markov跳變系統(tǒng)的H∞靜態(tài)輸出反饋控制，引入與原系統(tǒng)狀態(tài)和輸出有關(guān)的新變量，給出閉環(huán)系統(tǒng)在特定的性能指標(biāo)下的隨機(jī)有限短時(shí)間有界的充分條件.文獻(xiàn)[50]針對一類時(shí)滯錐型非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的滑模控制器，并給出能保證閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間有界的充分條件.

對于Markov跳變系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率部分信息未知問題，文獻(xiàn)[51]利用矩陣變換和Gron-wall不等式等方法，給出了有限短時(shí)間隨機(jī)穩(wěn)定的判定準(zhǔn)則，設(shè)計(jì)出動態(tài)輸出反饋控制器，使系統(tǒng)有限短時(shí)間鎮(zhèn)定.文獻(xiàn)[52]考慮了一類連續(xù)時(shí)間具有Markov過程的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，利用已知的轉(zhuǎn)移概率上下界信息設(shè)計(jì)控制器，研究系統(tǒng)有限短時(shí)間有界問題.文獻(xiàn)[53]針對一類離散時(shí)間具有Markov過程的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，使用自由權(quán)矩陣方法，討論了系統(tǒng)隨機(jī)有限短時(shí)間穩(wěn)定和有限短時(shí)間有界問題.文獻(xiàn)[54]則考慮了更一般的轉(zhuǎn)移概率部分未知的情況，針對離散的Markov跳變系統(tǒng)，給出與轉(zhuǎn)移概率邊界信息有關(guān)的線性矩陣不等式，保證在該條件下系統(tǒng)狀態(tài)在有限短時(shí)間間隔內(nèi)不超出給定閾值.

上述研究工作均是在系統(tǒng)狀態(tài)已知條件下進(jìn)行的，但實(shí)際工程中，系統(tǒng)狀態(tài)存在不可直接測得的情況，因此當(dāng)Markov跳變系統(tǒng)的狀態(tài)不可測時(shí)，基于觀測器或估計(jì)器的控制器設(shè)計(jì)也受到關(guān)注.文獻(xiàn)[55]針對一類具有時(shí)變時(shí)滯的連續(xù)時(shí)間線性Markov跳變系統(tǒng)，給出基于觀測值新的有限短時(shí)間穩(wěn)定的定義，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器使系統(tǒng)狀態(tài)值在有限短時(shí)間內(nèi)不超過給定值.對于離散時(shí)間線性Markov跳變系統(tǒng)，文獻(xiàn)[56]考慮轉(zhuǎn)移概率分段時(shí)變的情況，利用平均駐留時(shí)間設(shè)計(jì)切換信號，設(shè)計(jì)估計(jì)器對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)， 并設(shè)計(jì)H∞控制器使系統(tǒng)有限短時(shí)間有界且滿足性能指標(biāo).文獻(xiàn)[57]對具有不可靠通訊的離散時(shí)間線性Markov跳變系統(tǒng)進(jìn)行研究，同時(shí)考慮分組丟包、時(shí)滯和傳感器非線性，使用Lyapunov-Krasovskii方法，在有限短時(shí)間約束下，設(shè)計(jì)非脆弱狀態(tài)估計(jì)器，使得增廣系統(tǒng)有限短時(shí)間穩(wěn)定.對于非線性Markov跳變系統(tǒng)，文獻(xiàn)[58]利用T-S模糊模型對系統(tǒng)中的非線性部分進(jìn)行建模，基于Lyapunov-Krasovskii泛函，構(gòu)造基于觀測器的狀態(tài)反饋控制器，得到一個(gè)使Markov跳變系統(tǒng)有限短時(shí)間有界的充分條件，并使其在有限短時(shí)間內(nèi)滿足H∞性能指標(biāo).

3 展 望

從以上的研究現(xiàn)狀可以看到，雖然Markov跳變系統(tǒng)有限短時(shí)間控制問題的研究已經(jīng)取得很多成果，但是仍有不少問題值得探索.下面從Markov跳變系統(tǒng)模型及有限短時(shí)間控制方法兩個(gè)角度，討論未來可能的研究課題：

(1) 更復(fù)雜的Markov跳變系統(tǒng)模型

文獻(xiàn)中一般討論的是擁有固定轉(zhuǎn)移概率的Markov跳變系統(tǒng)，而使用這種Markov跳變系統(tǒng)是難以準(zhǔn)確描述復(fù)雜系統(tǒng)的.更復(fù)雜的Markov跳變系統(tǒng)模型有：2維Markov跳變系統(tǒng)[59]、半Markov跳變系統(tǒng)[60]、隱Markov跳變系統(tǒng)[61]、時(shí)變Markov跳變系統(tǒng)[62]，這些模型的有限短時(shí)間控制問題目前研究不多，將是后續(xù)值得研究的課題.

(2) 更多的有限短時(shí)間控制方法

針對Markov跳變系統(tǒng)的有限短時(shí)間控制問題，文獻(xiàn)中廣泛使用的均是基于線性反饋控制策略的有限短時(shí)間控制方法[63].最近幾年，已有文獻(xiàn)開始關(guān)注一些其他更加有效的有限短時(shí)間魯棒控制方法，如文獻(xiàn)[64]給出了基于滑?？刂撇呗韵碌囊话惴蔷€性系統(tǒng)有限短時(shí)間鎮(zhèn)定方法，文獻(xiàn)[65]基于非Lyapunov方法分析了中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限短時(shí)間穩(wěn)定性.但是，如何將這些新的智能控制方法推廣到Markov跳變系統(tǒng)有限短時(shí)間控制領(lǐng)域仍有待進(jìn)一步的探索.

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