基于變分原理選擇法的一種改進(jìn)

趙明亮

摘要：在反問題的第一類算子方程中，為了解決應(yīng)用變分原理選擇法在解空間不連續(xù)性，未能逆算子在解空間連續(xù)的這一問題，提出了一種基于泛函延拓定理、應(yīng)用其稠密子集來對逆算子連續(xù)定理進(jìn)行改進(jìn)，并給出其理論的證明。一個例子說明了這種方法的有效性。

關(guān)鍵詞：反問題；變分原理；選擇法；泛函延拓；逆算子連續(xù)定理

中圖分類號：TP391.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-9416（2018）01-0235-02

反問題是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個重要的分支，在生物醫(yī)學(xué)、地球物理、工程控制和金融工程中都有廣泛的利用[1]。大量的反問題都以不同的形式出現(xiàn)在材料學(xué)、流體學(xué)、熱傳導(dǎo)以及工程科學(xué)的實(shí)際應(yīng)用中。變分原理選擇法[2-3]在求解反問題的基礎(chǔ)上提出了相應(yīng)的理論公式，本文利用了選擇法對第一類算子方程的反問題進(jìn)行了改進(jìn)，提出了該問題相應(yīng)的解法。

1 泛函延拓

設(shè)與是兩個度量空間，是到的連續(xù)算子，且具有單值的逆算子不連續(xù)，即條件，滿足，但不滿足條件，這是由于逆算子在上不連續(xù)所導(dǎo)致的[5-7]。本文利用泛函延拓的方法，利用逆算子連續(xù)定理，找到解空間的一個解集，再把解空間的求解范圍延拓在的一個稠密子集上，使在上連續(xù)，因而保證上述問題對于空間偶上是適定的。

2 改進(jìn)的選擇法的證明

試樣在方程（1）中， 設(shè)與是兩個度量空間，是到的連續(xù)算子，由逆算子連續(xù)定理[8-9]可知，方程（1）在原空間的一個解集上是可行的，然而，該解集卻未達(dá)到飽和狀態(tài)，基于這種情形，利用解空間的一個子集，由引理1可知，在其子空間內(nèi)，存在泛函延拓，使得逆算子在的一個稠密子集上連續(xù)，由引理2可知逆算子在上具有保泛性，保證算子在解空間上收斂。因此，我們有如下定理：

定理1：設(shè)是一個連續(xù)具有單值的算子，且為的稠密子集，則逆算子在上連續(xù)。

3 實(shí)例

4 結(jié)語

本文在討論反問題適定的基礎(chǔ)上，提出了一種基于選擇法的泛函延拓，使其在所求解空間問題上也是適定的。運(yùn)用這種方法既能將原問題的解空間延拓在一個新的領(lǐng)域內(nèi)，又能保證它的收斂性，是一種非常方便的方法。

參考文獻(xiàn)

[1]肖庭延，于慎根，王彥飛.反問題的數(shù)值解法[M].北京：科學(xué)出版社，2003.

[2]葛美寶，徐定華等.一類拋物線方程反問題的數(shù)值解法[J].東華理工大學(xué)學(xué)報，2006，29（3）：284-288.

[3] Lattes R， Lions J L. The Method of Quasi-Reversibility， Applications to Partial Differential Equations [M].New York：Elsevier，1982.

[4]扶黃得建，李艷青.雙曲型偏微分方程的變分迭代解法[J].瓊州學(xué)院學(xué)報，2013，2（20）：1-3.

[5]王文華，黃得建.分?jǐn)?shù)階微分-積分方程的迭代解法[J].瓊州學(xué)院學(xué)報，2010，2（17）：1-3.

[6]LIANG Lei， XU Yuan-chang. Adaptive Landweber method to deblur images[J]. IEEE Signal Processing Letters，2003，10（5）：129-132.

[7] XU J， HAN B， LI L. Frozen landweber iteration for nonlinear ill-posed problems[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2007，23（2）：329-336.

[8]WANG Wei， HAN Bo. An implicit Landweber method for nonlinear ill-posed operator equations[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，230（2）：23-28.

[9]HE J H， WAZ A M， XU L.The variational iteration method： Reliable， efficient， and promsing[J]. Int J Nonlin Mech，1999，34：699-708.

[10]HE J H. Some asymptotic methods for strongly nonlinear problems[J].Int J Mod Phys，2006，20：1141-1199.

[11]ZHAO Y X， XIAO A U. Variational iteration method for singular perturbation initial value problems[J]. Computer Physics Communications，2010，181：947-956.