帶隔板的底水油藏水平井水脊高度計(jì)算

胡 平, 卞德智, 范子菲, 劉欣穎, 程林松

( 1. 中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083； 2. 中國石化國際石油勘探開發(fā)公司，北京 100083； 3. 中國石油天然氣勘探開發(fā)公司，北京 100034； 4. 中國石油大學(xué)(北京) 石油工程學(xué)院，北京 102249 )

0 引言

水平井能夠有效延緩底水錐進(jìn)，改變底水錐進(jìn)模式，變“錐進(jìn)”為“脊進(jìn)”，因此被廣泛用于底水油氣藏的開發(fā)[1-3]。研究底水脊進(jìn)規(guī)律，包括水脊高度及形態(tài)變化、水淹模式及機(jī)理，預(yù)測水平井的見水時(shí)間和臨界產(chǎn)量等指標(biāo)參數(shù)，對(duì)實(shí)現(xiàn)底水油藏的高效穩(wěn)定開發(fā)具有重要意義。

人們采用滲流力學(xué)理論和油藏工程方法對(duì)底水脊進(jìn)進(jìn)行研究。Giger F M[4]建立水平井底水脊進(jìn)的二維數(shù)學(xué)模型，計(jì)算臨界產(chǎn)量和見水時(shí)間，但相關(guān)參數(shù)難以確定。Chaperon I[5]研究各向異性對(duì)水脊高度及臨界產(chǎn)量的影響。Ozkan E等[6]刻畫水平井開發(fā)底水油藏流體的流線分布。范子菲等[7]采用鏡像法得出一排水平井位于底水驅(qū)動(dòng)油藏頂部的臨界產(chǎn)量公式，得到不同開發(fā)時(shí)間的臨界產(chǎn)量。程林松等[8]采用鏡像反映和勢(shì)的疊加原理，得到見水時(shí)間的計(jì)算公式。范子菲和程林松等沒有對(duì)水脊高度的變化規(guī)律進(jìn)行研究。在水平井穩(wěn)定滲流情況下,侯君等[9]給出底水油藏不同時(shí)刻和臨界條件下底水脊進(jìn)高度的解析解。劉振宇等[10]利用復(fù)平面坐標(biāo)變換的方法，得到描述水脊位置坐標(biāo)的參數(shù)方程。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，利用數(shù)值模擬軟件實(shí)現(xiàn)底水脊進(jìn)過程的可視化，結(jié)合生產(chǎn)實(shí)際對(duì)水淹模式、水淹機(jī)理及影響因素進(jìn)行深入研究[11-13]。隔夾層是影響底水油藏開發(fā)的重要因素，帶隔板底水油藏水進(jìn)規(guī)律的研究日漸成熟。李傳亮等[14-15]應(yīng)用第二格林公式和達(dá)西公式，分別推導(dǎo)出隔板和半滲透隔板底水油藏的臨界產(chǎn)量公式。趙新智等[16]考慮隔板下部底水錐進(jìn)的半球形徑向流和隔板上部的平面徑向流方式，應(yīng)用物質(zhì)平衡原理，推導(dǎo)低滲透帶隔板底水油藏見水時(shí)間的預(yù)報(bào)公式。劉峰等[17]建立考慮啟動(dòng)壓力梯度的低滲透帶半滲透隔板的底水油藏油井見水時(shí)間預(yù)測公式。李傳亮、趙新智及劉峰等考慮隔板的因素對(duì)水進(jìn)規(guī)律的影響，但只針對(duì)直井井型。Yue Ping等[18]和黃全華等[19]針對(duì)帶隔板底水油藏水平井的見水時(shí)間進(jìn)行預(yù)測，但兩者未考慮隔板的存在對(duì)滲流場的影響，并且也未給出水脊高度的計(jì)算模型及其變化規(guī)律。

在水平井開采含夾層底水油藏物理實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，筆者以多孔介質(zhì)滲流理論為依據(jù)，利用鏡像反映法和勢(shì)的疊加原理，研究帶隔板底水油藏任一時(shí)刻水脊的高度及形態(tài)，并對(duì)油井的見水時(shí)間進(jìn)行預(yù)測，分析其影響因素，對(duì)油藏開發(fā)具有指導(dǎo)意義。

1 物理實(shí)驗(yàn)

為了研究帶隔板底水油藏的水淹模式及水脊的變化規(guī)律，采用包括底水供給系統(tǒng)、三維可視化模型和記錄計(jì)量系統(tǒng)三部分組成的物理模擬裝置，對(duì)三組隔板長度不同的情況進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，呈現(xiàn)出相似的變化規(guī)律[20]。

含隔夾層的非均質(zhì)底水油藏底水脊進(jìn)典型過程見圖1。實(shí)驗(yàn)為隔板占油藏1/2的情況，展示帶隔板底水油藏水平井水脊的發(fā)展過程，可概括為“均勻托進(jìn)—底水繞流—邊水橫掃—底水脊進(jìn)—油井見水—沿井?dāng)U展—全井水淹”的水淹模式。根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀察，底水的水脊峰值并不是在隔板下部正中央，而是在隔板的邊部；隔夾層下部在開發(fā)前期出現(xiàn)“屋檐油”[21]，隨著生產(chǎn)的進(jìn)行“屋檐油”的面積逐漸減?。坏姿@過隔板以邊水橫掃的方式進(jìn)行驅(qū)替的過程很短暫，迅速進(jìn)入以底水脊進(jìn)為主的驅(qū)替方式，水脊峰值出現(xiàn)在隔板以上中央的近井底處。該實(shí)驗(yàn)為后續(xù)水脊高度和見水時(shí)間的計(jì)算提供依據(jù)和支持。

圖1 含隔夾層的非均質(zhì)底水油藏底水脊進(jìn)典型過程Fig.1 Representative process of water cresting in bottom water drive reservoir with barrier

2 地層中勢(shì)的分布

2.1 基本假設(shè)

圖2 帶隔板底水油藏水平井示意Fig.2 Schematic diagram of horizontal wellbore in bottom water reservoir with interlayer

(1)流體在多孔介質(zhì)中的流動(dòng)為穩(wěn)定流；

(2)油水邊界為恒壓或等勢(shì)邊界，初始勢(shì)函數(shù)為Φe；

(3)忽略毛管力和相對(duì)滲透率的影響；

(4)不考慮隔板的滲透性，即隔板為不滲透隔板。

2.2 模型建立

帶隔板底水油藏水平井見圖2，其中rw為井筒半徑；Φw為井壁處的勢(shì)；a為水平井井眼中心距隔板的垂向距離；rb為隔板半徑；h為油藏厚度；hb為隔板距油水界面高度；re為供給半徑；Φe為供給邊界處的勢(shì)。當(dāng)無隔板時(shí)，水質(zhì)點(diǎn)在壓差的作用下直接到達(dá)井底，沿z軸方向質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度最快，最先到達(dá)井底，離z軸水平距離越遠(yuǎn)，水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度越慢，在空間上，水體呈現(xiàn)脊?fàn)钌仙?。?dāng)有隔板存在時(shí)(見圖2)，在隔板寬度rb影響的范圍內(nèi)，水質(zhì)點(diǎn)在壓差的作用下上升，但到達(dá)隔板附近時(shí)不能繼續(xù)向上穿過隔板，而是繞過隔板到達(dá)井底，即水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到隔板附近時(shí)，速度在z方向上的分量值為0，隔板表現(xiàn)為近似分流線的性質(zhì)。與無隔板的情況相比，運(yùn)動(dòng)方向改變，意味著有無隔板油藏中流體的勢(shì)場分布不同。因此，不能按照無隔板時(shí)，油藏的勢(shì)函數(shù)分布計(jì)算相關(guān)的水脊高度等參數(shù)。

為了研究油藏中勢(shì)場的分布，將油藏劃分為3個(gè)區(qū)分別計(jì)算勢(shì)函數(shù)。以隔板為分界線，隔板下部為Ⅰ區(qū)，上部為Ⅱ區(qū)，隔板寬度影響范圍以外為Ⅲ區(qū)(見圖2)。Ⅰ區(qū)中流體質(zhì)點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力主要來源于底水供給邊界與油井之間的壓力差，并且考慮不滲透隔板對(duì)底水的阻擋，因此計(jì)算勢(shì)分布時(shí)采用圖3(a)的簡化模型：底水為直線供給邊界、隔板為封閉邊界外一口水平井生產(chǎn)的情況。同理，Ⅱ區(qū)水脊上升的動(dòng)力主要來源于油井與周圍地層之間的壓力差，并且在隔板的影響范圍內(nèi)，模型簡化為頂?shù)诪榉忾]邊界下一口水平井生產(chǎn)的情況，見圖3(b)。Ⅲ區(qū)在隔板影響范圍外，水脊上升的動(dòng)力為油井與底水供給邊界之間的壓力差，模型簡化為頂部封閉邊界，底部為直線供給邊界一口水平井生產(chǎn)的情況，見圖3(c)。

圖3 帶隔板底水油藏水平井物理模型分區(qū)簡化模型Fig.3 Partition simplified model of horizontal well in bottom water reservoir with interlayer physical experiment

2.3 勢(shì)的分布

2.3.1 Ⅰ區(qū)

根據(jù)鏡像反映原理，圖3(a)中的yz平面的有限區(qū)域地層，可反映無限空間兩源兩匯交替排列的一直線井排。在yz平面的無限空間中，直線井排上井的類別和位置可歸結(jié)為四類：生產(chǎn)井兩類，即(0,4nhb+hb+a)和(0,4nhb+hb-a)；注入井兩類，即(0,4nhb-hb+a)和(0,4nhb-hb-a)，其中n=0，±1，±2，…。

設(shè)水平井長度為L，產(chǎn)量為Q，取q=Q/(2πL)。由勢(shì)的疊加原理，得到y(tǒng)z平面地層中任一點(diǎn)勢(shì)的分布為

(1)

式中：Φ為勢(shì)函數(shù)；C為常數(shù)。

由貝塞特公式[7]，式(1)可整理為

(2)

2.3.2 Ⅱ區(qū)

根據(jù)鏡像反映原理，圖3(b)中的yz平面的有限區(qū)域可反映無限平面中直線生產(chǎn)井排，生產(chǎn)井的井位坐標(biāo)為：[0,2n(h-hb)+a]和[0,2n(h-hb)-a]，n=0，±1，±2，…,由勢(shì)的疊加原理，得到y(tǒng)z平面上任一點(diǎn)勢(shì)的分布為

(3)

2.3.3 Ⅲ區(qū)

圖3(c)中的yz平面的有限區(qū)域可反映無限空間兩源兩匯交替排列的直線井排，井的類別和位置可歸結(jié)為四類：生產(chǎn)井兩類，即[0,2h+4nh-(a+hb)]和[0,4nh+(a+hb)]；注入井兩類，即[0,2h+4nh+(a+hb)]和[0,4nh-(a+hb)]，其中n=0，±1，±2，…。因此，yz平面上任一點(diǎn)勢(shì)的分布[7]為

(4)

因此，為描述水脊到達(dá)井筒過程中的高度及形態(tài)，計(jì)算油井見水時(shí)間，將yz平面井筒以下區(qū)域的勢(shì)函數(shù)定義為分段函數(shù)，即

3 水脊高度計(jì)算方程及見水時(shí)間

3.1 水脊高度

3.1.1 Ⅰ區(qū)

由Ⅰ區(qū)勢(shì)的分布方程式(2)，求得井軸方向(y=0，即隔板正下方)上勢(shì)函數(shù)梯度為

(5)

(6)

式中：vz為流體的滲流速度v在z方向上的分量。滲流速度與流體質(zhì)點(diǎn)的平均真實(shí)速度u的關(guān)系為

(7)

式中：φ為孔隙度；t為流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間。對(duì)式(7)進(jìn)行分離變量積分，將式(6)代入，有

(8)

積分得在井軸上(y=0)不同時(shí)刻水脊高度的計(jì)算式，即

(9)

另外，由式(2)可得

(10)

(11)

3.1.2 Ⅱ區(qū)

同樣，根據(jù)Ⅱ區(qū)勢(shì)的分布方程式(3)，可得井軸方向(y=0)上勢(shì)函數(shù)梯度，即

(12)

沿井軸方向上水脊高度的計(jì)算式為

(13)

沿y方向的勢(shì)梯度為

(14)

由式(14)，得Ⅱ區(qū)水脊面距離側(cè)向距離y隨時(shí)間t的變化為

(15)

3.1.3 Ⅲ區(qū)

由式(4),對(duì)y=rb的隔板邊緣求得z方向的勢(shì)梯度為

(16)

可得y=rb處不同時(shí)刻水脊高度為

(17)

其中，

同樣，由y方向的勢(shì)梯度，可得Ⅲ區(qū)的水脊離井軸側(cè)向距離y隨時(shí)間的變化，即

(18)

由于水脊形狀關(guān)于z軸對(duì)稱，y=-rb處水脊高度的變化及[-rb,y]范圍內(nèi)的水脊側(cè)向距離的計(jì)算同式(17)及式(18)。綜合式(9)、式(11)、式(13)、式(15)、式(17)和式(18)，利用MATLAB軟件編制計(jì)算程序，計(jì)算不同時(shí)刻的水脊高度及其與井軸的側(cè)向距離，得到一系列離散的數(shù)值解；而后將數(shù)據(jù)點(diǎn)勾畫起來，即可對(duì)某一時(shí)刻水脊形狀進(jìn)行描述。

3.2 見水時(shí)間

底水在Ⅰ區(qū)向上運(yùn)動(dòng)，在繞過隔板到達(dá)Ⅱ區(qū)之前，水脊的峰值出現(xiàn)在隔板邊緣y=±rb處，繞過隔板進(jìn)入Ⅱ區(qū)，先以邊水的方式驅(qū)替，再以底水脊進(jìn)的方式驅(qū)替，水脊的峰值出現(xiàn)在隔板中央正上方的井軸y=0處。在計(jì)算見水時(shí)間時(shí)，假設(shè)水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線(見圖3)為：水質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，再沿著隔板由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，最后到達(dá)井筒D。見水時(shí)間為

t=tAB+tBC+tCD。

(19)

令式(17)中z=hb，得到tAB；由式(15)中z=hb，y=rb得到tBC；在式(13)中，令z=hb+a-rw，即可得到tCD。

4 實(shí)例分析

圖4 某油井月均產(chǎn)量隨時(shí)間變化曲線Fig.4 The average daily production changes with time for a certain well

以南美某一帶隔夾層的底水油藏水平井為例，其基本參數(shù)：油藏壓力為14.9 MPa，溫度為87.7 ℃，地層原油黏度為4.02 mPa·s，原油體積因數(shù)為1.042，油藏厚度h=20.7 m，隔板到油水界面距離hb=12 m，水平井到隔板距離a=2 m，油藏孔隙度φ=0.33，水平井筒長度為198 m，井徑rw=0.088 m，隔板半徑rb=20 m，油井初期產(chǎn)油量約為80 m3/d。油井的產(chǎn)量變化曲線見圖4。由圖4可知，油井的見水時(shí)間為585 d，根據(jù)式(19)，由MATLAB編制的計(jì)算程序，得到tAB=470 d，tBC=141 d，tCD=3 d，即t=614 d，與實(shí)際情況相比，誤差約為4.9%，其計(jì)算結(jié)果相對(duì)合理。

4.1 水脊形態(tài)變化特征

各分區(qū)距離原點(diǎn)不同位置處的水脊高度z隨時(shí)間的變化見圖5-7。由圖5-7可知：對(duì)于Ⅰ區(qū)，水脊高度隨時(shí)間的增加而增加，但增加速度逐漸減慢，當(dāng)時(shí)間達(dá)到2×103d時(shí)，水脊高度變化很小，甚至趨于定值，即水脊高度難以達(dá)到隔板高度處，兩者之間的高度差范圍內(nèi)，底水很難波及而形成所謂的“屋檐油”；距離原點(diǎn)(隔板中間正下方)越近的位置水脊高度越低，越遠(yuǎn)的位置(隔板邊緣附近下方)水脊高度越高，表明越靠近隔板正下方中央位置，隔板對(duì)底水脊進(jìn)的抑制作用越強(qiáng)，而在隔板邊緣附近抑制作用減弱；在某一時(shí)刻，當(dāng)y均勻增加時(shí)，水脊高度z并不均勻增加，近原點(diǎn)位置處z的差異較小，遠(yuǎn)離原點(diǎn)位置處z的差異變大，表明隔板對(duì)底水的抑制作用沿y軸方向并不是均勻減弱。當(dāng)?shù)姿@過隔板到達(dá)Ⅱ區(qū)后，水脊高度隨時(shí)間的增加呈線性變化，表明底水能量充足，導(dǎo)致水線在隔板上方均勻推進(jìn)；y越小，直線的斜率越大，表明越靠近水平井處壓差越大，水脊高度上升越快；在同一時(shí)刻，y越小，越靠近水平井井底，水脊高度沿y方向的差異越大，即水脊高度z在近水平井正下方、隔板正上方位置處變化大，隨y取值均勻增加，z的差異減小。對(duì)于Ⅲ區(qū)，水脊高度隨時(shí)間的增加而增加，增加的速度逐漸減慢；離隔板邊緣正下方處越遠(yuǎn)，水脊高度越低，水脊高度差沿y方向的變化越小，即水脊趨于平緩。根據(jù)計(jì)算的數(shù)值結(jié)果，作出3個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)的水脊形狀(見圖8)，隔板下方“屋檐油”的存在，為底水油藏水平井生產(chǎn)的進(jìn)一步挖潛指明方向。計(jì)算得到的水脊形態(tài)變化特征與物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以相互驗(yàn)證。

圖5 Ⅰ區(qū)水脊高度隨時(shí)間變化Fig.5 Water cresting height changes with time for zone Ⅰ

圖6 Ⅱ區(qū)水脊高度隨時(shí)間變化Fig.6 Water cresting height changes with time for zone Ⅱ

圖7 Ⅲ區(qū)水脊高度隨時(shí)間變化

Fig.7 Water cresting height changes with time for zone Ⅲ

圖8 不同時(shí)間節(jié)點(diǎn)水脊形態(tài)Fig.8 The water cresting shape under different time

4.2 見水時(shí)間影響因素

研究不同因素，包括隔板半徑、隔板距水平井的垂直距離，以及油井產(chǎn)量對(duì)帶隔板底水油藏水平井見水時(shí)間的影響(見圖9)。由圖9可知，水平井見水時(shí)間隨隔板半徑的增大而相應(yīng)延后，即水平井見水越晚。以隔板半徑20 m為拐點(diǎn)，當(dāng)隔板半徑低于20 m時(shí)，見水時(shí)間隨隔板半徑的增大變化幅度較小，當(dāng)隔板半徑大于20 m時(shí)，見水時(shí)間隨隔板半徑的增大變化幅度變大，明顯改善油井的生產(chǎn)效果。隔板與水平井間的垂直距離對(duì)見水時(shí)間的影響表現(xiàn)出類似的變化規(guī)律(見圖10)：隔板距離水平井的垂直距離越大(隔板距離底水越近)，隔板對(duì)底水的抑制作用越強(qiáng)，油井見水越晚。當(dāng)隔板與井的垂直距離在5 m以上時(shí)，見水時(shí)間變化明顯。見水時(shí)間隨油井產(chǎn)量的增加而減小，即水平井見水時(shí)間提前。當(dāng)油井產(chǎn)量小于50 m3/d時(shí)，見水時(shí)間隨油井產(chǎn)油量的增加明顯提前，油井產(chǎn)量大于50 m3/d后，見水時(shí)間變化幅度逐漸減小(見圖11)。因此，在實(shí)際生產(chǎn)中控制油井的產(chǎn)油量，在保證產(chǎn)能的基礎(chǔ)上可以延緩見水時(shí)間。

圖9 隔板半徑對(duì)見水時(shí)間的影響Fig.9 The effect of interlayer radius on water breakthrough time

圖10 隔板與井的垂直距離對(duì)見水時(shí)間的影響Fig.10 The effect of vertical distance away from well on water breakthrough

圖11 油井產(chǎn)量對(duì)見水時(shí)間的影響

5 結(jié)論

(1)不同分區(qū)內(nèi)，水脊高度隨時(shí)間的變化規(guī)律不同。在Ⅰ分區(qū)內(nèi)，水脊高度隨時(shí)間的增加而增加，但增加速度逐漸減慢，甚至趨于定值，水脊高度與隔板所在位置的高度差范圍內(nèi)形成“屋檐油”；在某一時(shí)刻，水脊高度z在近原點(diǎn)位置處沿y方向差異較小，遠(yuǎn)離原點(diǎn)位置處z的差異變大。在Ⅱ分區(qū)內(nèi)，水脊高度隨時(shí)間的增加呈線性變化；在同一時(shí)刻，越靠近水平井井底，水脊高度沿y方向的差異越大。在Ⅲ分區(qū)內(nèi)，水脊高度隨時(shí)間的增加而增加，增加的速度逐漸減慢；離隔板邊緣正下方處越遠(yuǎn)，水脊高度越低，水脊高度差沿y方向的變化越小。

(2)水平井見水時(shí)間隨隔板半徑的增大而相應(yīng)延后，當(dāng)隔板半徑大于20 m時(shí)，見水時(shí)間隨隔板半徑的增加變化幅度增大；隔板距離水平井的垂直距離越大，油井見水越晚，當(dāng)隔板與井的垂直距離在5 m以上時(shí)，見水時(shí)間明顯延緩；見水時(shí)間隨油井產(chǎn)量的增加而縮短，油井產(chǎn)量大于50 m3/d后，見水時(shí)間變化幅度逐漸減?。灰娝畷r(shí)間與實(shí)際誤差約為4.9%。

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