求數(shù)列通項(xiàng)公式的另一方法

安徽省合肥市廬江裴崗中學(xué) 邢寶清

數(shù)列一直是高考中的重要內(nèi)容，無論是全國(guó)高考試卷還是自主命題的試卷，數(shù)列都是考查的重點(diǎn)，同時(shí)，數(shù)列對(duì)提高中學(xué)生思維，強(qiáng)化中學(xué)生邏輯推理能力，都起到了積極的作用。而求數(shù)列的通項(xiàng)公式又是此內(nèi)容的重點(diǎn)，在近幾年的高考中，有關(guān)遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式方面的試題越來越多，難度越來越大，仔細(xì)研究大量的數(shù)列試題，其中大部分試題的解題方法無非是把它們轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來解，而轉(zhuǎn)化的常見方法是待定系數(shù)法，但有時(shí)轉(zhuǎn)化過程卻使同學(xué)們感到很難發(fā)現(xiàn)其特殊的情況，現(xiàn)專門探討一種求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法——特征根法，希望能給同學(xué)們一些啟迪。特征根法是解常系數(shù)線性微分方程的一種通用方法,數(shù)列中一階或二階線性遞推公式，即差分方程也可用特征根法求通項(xiàng)公式。

給出定理：若數(shù)列｛an｝滿足an+2=pan+1+qan，其特征方程為x2-px-q=0。

若其方程有兩個(gè)不相等的根（稱作特征根）s1、s2，則其中常數(shù)c1,c2的值由初始值a1、a2的值確定。

若方程有兩個(gè)等根，即s1=s2，則an=（c1n+c2）sn，其中，常數(shù)c1,c2的值由初始值a1、a2的值確定。

證明：∵an+2=pan+1+qan，設(shè)存在實(shí)數(shù)r，s使an+2-ran+1=s［an+1-ran］，

所以an+2=(s+r)an+1-sran,令p=s+r①，q=-sr②，則 s，r為一元二次方程x2-px+q=0的兩個(gè)根，

若r≠s，則方程組①②有解為（s1,r1）和（s2,r2），

由③得｛an+1-r1an｝是以a2-r1a1為首項(xiàng)，以s1為公比的等比數(shù)列，則其通項(xiàng)公式是

若s1=s2,易得an=（c1n+c2）sn證明（略）。

例 1 已 知 數(shù) 列｛an｝ 滿 足 a1=1，a2=1，an+2=5，an+1-6an，n∈N+，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。

分析：上述數(shù)列的遞推公式給出的是連續(xù)三項(xiàng)之間的關(guān)系，若用特征方程的特征根來解，則較為方便。

解：上述數(shù)列的特征方程為：x2=5x-6，那么其方程的根為x1=3，x2=2或x1=2，x2=3。于是，可以設(shè)an=c1x1n+c2x2

n（＊），即得an=c12n+c23n，然后將a1=1，a2=1代入（＊）解得從而可得an=2n-3n-1。

例2 已知數(shù)列｛an｝滿足a1=2，a2=3，an+2=3an+1-an，n∈N+，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an。

分析：上述數(shù)列的遞推公式給出的是連續(xù)三項(xiàng)之間的關(guān)系，若用常規(guī)方法，就要對(duì)遞推公式進(jìn)行變形，使它能成特殊數(shù)列，然后利用特殊數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)來解，雖然可以解出，但顯得比較煩瑣，因此可以用特征方程的特征根來解較為方便。

解：由題意可知，此數(shù)列的遞推關(guān)系符合其特征方程x2=3x-1，可解得其根為于是可設(shè)所求數(shù)列的通項(xiàng)公式為然后將a1=2，a2=3代入（＊）可解得因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為

以上是對(duì)于特征方程有兩個(gè)不同的特征根的情況，求此類通項(xiàng)公式極為方便，若特征方程有重根，即有兩個(gè)相等的特征根時(shí)，又是如何來解呢？這時(shí)也可以用上述公式，相對(duì)于有兩個(gè)不等根還要簡(jiǎn)單一點(diǎn)。

例3 已知數(shù)列｛an｝，若a1=3 , a2=5 且an+2=4an+1-4an，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。

分析：此數(shù)列可以將遞推公式進(jìn)行變形，使之成為新的特殊數(shù)列（等比或等差），然后利用特殊數(shù)列的特征來解，但是那要進(jìn)行多次變形才能求出，若用特征根法解就顯得簡(jiǎn)便一些。

解：設(shè)該數(shù)列的特征方程為x2=4x+4,可得方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=2 ,因此可設(shè)數(shù)列通項(xiàng)公式為 an=(c1+nc2)2n(＊),然后將n)2n-2。

總之，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法是多種多樣的，高中學(xué)生應(yīng)該從給定的已知條件中善于發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，靈活利用不同方法解決有關(guān)問題，這對(duì)學(xué)生打開思路，鍛煉學(xué)生的思維有很強(qiáng)的促進(jìn)作用。