玻爾—索末菲的橢圓軌道理論的推導(dǎo)

武曉霞　展鐵政　陳偉麗　侯小娟

【摘 要】本文從橢圓運(yùn)動的軌道方程出發(fā)，結(jié)合量子化條件，詳細(xì)推導(dǎo)了玻爾-索末菲的橢圓軌道的理論，給出了電子的能量以及量子化的半長軸a和半短軸b的表達(dá)式。能級公式與玻爾通過對圓軌道得到的結(jié)果一致，即能量是量子化的。而電子具有一定能量時，可能的狀態(tài)n種，即n重簡并。

【關(guān)鍵詞】玻爾-索末菲的橢圓軌道；量子化條件；守恒量

中圖分類號： O562.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）02-0064-002

【Abstract】Starting from the orbital equations of elliptical motion and combining with the quantization conditions，the theory of elliptic orbitals of Bohr-Sommerfeld is deduced in detail.The energies of the electron and the quantized half- and semi-minor axes b expression.The energy level formula is consistent with the result Bohr obtained for a circular orbit，that is，the energy is quantized.And electronic has a certain energy，the possible state n species，that is，n heavy degenerate.

【Key words】Bohr-Sommerfeld elliptical orbit；Quantization conditions；Conservation quantity

玻爾理論是原子結(jié)構(gòu)的半經(jīng)典理論，雖然引入了量子化的概念，但大部分計算依然沿用經(jīng)典力學(xué)。索末菲推廣了玻爾理論提出量子化通則，并應(yīng)用有心力場中質(zhì)點(diǎn)的普遍運(yùn)動規(guī)律，得到了量子化的橢圓軌道。通常的原子物理學(xué)教材中進(jìn)介紹索末菲理論的結(jié)果，而對其推導(dǎo)的過程講解較少。其實(shí)，索末菲橢圓軌道理論是有心力場中粒子運(yùn)動的重要應(yīng)用環(huán)節(jié)。

本文依據(jù)理論力學(xué)中的有心力場理論詳細(xì)推導(dǎo)了玻爾-索末菲橢圓軌道理論，并討論了其物理意義。希望對理論力學(xué)和原子物理學(xué)的教學(xué)有參考作用。

在原子中，核外電子受到的庫侖力也是平方反比吸引力，即

F=-■■e■，V（r）=-■■，（1）

式中，ε0是真空的電容率、Z是原子序數(shù)、-e是電子的電量、+Ze是原子核的電量。由于原子核的質(zhì)量M遠(yuǎn)大于電子的質(zhì)量m，可仍視作為力心的原子核靜止不動，需要修正時再用μ取代m。按照經(jīng)典力學(xué)的處理方法，得到電子繞核作橢圓運(yùn)動的軌道方程，即

r=■（2）

ε表示偏心率。注意到α=■，再用符號pφ表示L，并稱之為電子的軌道角動量，則橢圓軌道的幾何參量為：

p=■，ε=■a=■■，b=■（3）

據(jù)行星沿橢圓軌道運(yùn)動周期公式，可算出電子繞核運(yùn)轉(zhuǎn)的頻率

f=■=■■=■■（4）

然而，在橢圓或圓軌道上運(yùn)動的電子具有加速度，依經(jīng)典電動力學(xué)：（1）加速運(yùn)動的電子所發(fā)出的電磁輻射，其頻率是連續(xù)分布的，這與原子的光譜是線狀光譜不符；（2）因不斷發(fā)出輻射而逐漸損失能量的電子將會很快隕落到原子核上，從而導(dǎo)致原子迅速塌縮，這就更與原子應(yīng)具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)這一基本事實(shí)相悖了。為說明原子的穩(wěn)定性并解釋原子的線光譜，玻爾（N.Bohr）于1913年建立了原子的量子論，指出電子只能沿著一組分立的定態(tài)軌道繞核運(yùn)動，這時（即處于定態(tài)的）電子既不吸收也不輻射能量。玻爾還就圓軌道給出了定態(tài)條件，稱為量子化條件。1916年，索末菲（Sommerfeld）把它推廣到了橢圓軌道，對電子的徑向運(yùn)動與角向運(yùn)動給出了兩個量子化條件：

？蓍p■dr=n■h，？蓍p■dr=n■h，（5）

圖1 電子的橢圓軌道

式中（參見圖1），左邊的r、φ是電子的極坐標(biāo)，pr=m■、pφ=mr2■是與這兩個坐標(biāo)對應(yīng)的徑向線動量與軌道角動量，符號？蓍表示積分應(yīng)沿運(yùn)動的一個周期進(jìn)行，兩個積分都具有[能量·時間]的量綱，稱為作用量積分；右邊的h是普朗克常數(shù)，而nr、nφ是正整數(shù)，分別叫做徑量子數(shù)和角量子數(shù)。

第二個作用量積分容易求出結(jié)果。因為在庫侖場中pφ是常數(shù)，于是有

？蘩■■pφdφ=pφ·2π=nφh，

故得

pφ=mr2■=nφ■=nφh.（6）

考慮到pφ=0的軌道是過力心的直線，為不讓電子貫穿原子核，在早期的量子論中，規(guī)定nφ是非零的正整數(shù)。因此上式表明：電子沿軌道運(yùn)動的角動量不能連續(xù)變化，只能取角動量量子單位h=■的整數(shù)倍。

欲計算第一個作用量積分，不妨將積分變量從r變換成φ。為此，應(yīng)先留意

■=■=■■=■■，dr=■dφ；

再令u=■、即dr=-■du，從而有

prdr=m■dr=■■■dφ=■■dφ，

注意到

■=■■=■

便可將被積式寫為

這樣，通過徑向坐標(biāo)給出的量子化條件就變成了

應(yīng)用留數(shù)定理能夠求得式中的定積分：

所以第二個量子化條件給出的結(jié)果是

由這一方程與式（6）及b=■=a■可知

■=■=■（7）

其中

n=nφ+nr（8）

稱為主量子數(shù)。將a、b的經(jīng)典力學(xué)表達(dá)式（3）代入式（7），即可解得電子的能量

E=-■■=-■■（9）

這與玻爾通過對圓軌道得到的能級公式相同，主量子數(shù)n的取值為n=1，2，3，…。上式表明，電子的能量也不能連續(xù)變化，只能依據(jù)主量子數(shù)n的不同取一系列離散的量值，常說成能量是量子化的。再將式（9）代回到式（3）中，就能求出量子化的半長軸a和半短軸b，即

a=（n■+n■）■■=n■■，b=（n■+n■）n■■=nn■■，（10）

這里

a1=■≈0.0529nm

稱為第一玻爾半徑。從（10）的兩式還可看出：當(dāng)b=a、即軌道變成圓時，應(yīng)讓nφ=n、nr=0。下面將各量子數(shù)的可能取值一并列出：

主量子數(shù)：n=1，2，3，…，

角量子數(shù)：nφ=1，2，3，…n，

徑量子數(shù)：nr=n-1，n-2，…，0.

總之，電子的能量E（或者寫成En）只與主量子數(shù)n有關(guān)。當(dāng)n一定時，可以有一個圓軌道：nφ=n（nr=0）；n-1個橢圓軌道：nφ=1，2，…，n-1。也就是說n給定后，電子共有nφ取不同值的條可能軌道，即有n種可能狀態(tài)；而電子處在這n種可能狀態(tài)時都具有相同的能量。在量子力學(xué)中，將這種情況視為簡并，n叫做簡并度。圖2給出了原子序數(shù)Z=1的氫原子處在n=3的能態(tài)時，電子的三條可能軌道。

圖2 n=3的玻爾-索末菲電子軌道

可是，氫光譜具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，表明電子的能量不應(yīng)是簡并的。于是索末菲進(jìn)一步用三維球坐標(biāo)系代替平面極坐標(biāo)系來討論電子的開普勒問題，雖然仍未能解釋譜線何以會分裂，卻得出了軌道角動量在空間的取向（即軌道平面的法線）也不能連續(xù)改變的結(jié)論，并稱之為空間量子化?？臻g量子化使原子具有了類似于“球形”的一種結(jié)構(gòu)。此后，索末菲還將相對論效應(yīng)引入到橢圓軌道理論中，結(jié)果是穩(wěn)定的電子軌道已不再閉合，變成了繞一個焦點(diǎn)作慢進(jìn)動的橢圓；而角量子數(shù)也出現(xiàn)在E的相對論修正項中，從而解除了能級的簡并。

以上我們主要介紹了在玻爾-索末菲的橢圓軌道理論中，是如何將量子化的定態(tài)軌道從電子的經(jīng)典軌道中挑選出來的，讀者自然可體會出理論力學(xué)的方法所起的作用。盡管微觀粒子具有波粒二象性，電子的運(yùn)動其實(shí)并無一條確切的軌道，這一理論已被量子力學(xué)所取代。但是，從軌道理論到量子力學(xué)，是人們認(rèn)識微觀世界的歷史進(jìn)程。至今，玻爾-索末菲量子論不但仍能在一定程度上幫助我們理解原子的圖像，而且其中的一些觀念和方法對量子宇宙學(xué)的建立也有所啟迪，在整個物理學(xué)中依然占有一席之地。

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