一種穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘的新方法

龔循強(qiáng)

1. 東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013； 2. 東華理工大學(xué)江西省數(shù)字國(guó)土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013； 3. 西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都 611756

在測(cè)繪地理信息實(shí)踐中，可能會(huì)遇到系數(shù)矩陣含有誤差的情況，如果此時(shí)采用傳統(tǒng)的最小二乘(LS)方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)顯然是不恰當(dāng)?shù)摹榱藦浹a(bǔ)這個(gè)缺陷，在顧及權(quán)陣的前提下，采用同時(shí)考慮觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣誤差的加權(quán)總體最小二乘(WTLS)方法被認(rèn)為是更可取的。然而，該方法雖然考慮了系數(shù)矩陣存在誤差的情況，但對(duì)于觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣中均可能存在的粗差卻沒(méi)有考慮，致使結(jié)果較大地偏離真實(shí)值。本文研究加權(quán)總體最小二乘的抗差估計(jì)方法，并將該方法成功應(yīng)用在測(cè)繪地理信息學(xué)科的兩個(gè)相關(guān)方面。論文的主要研究工作和成果如下：

(1) 通過(guò)對(duì)3種具有代表性的加權(quán)總體最小二乘方法(加權(quán)總體最小二乘的高斯—赫爾默特模型方法、加權(quán)總體最小二乘的牛頓—高斯方法和加權(quán)總體最小二乘的拉格朗日乘數(shù)方法)的比較，表明了加權(quán)總體最小二乘的拉格朗日乘數(shù)方法在公式推導(dǎo)和計(jì)算效率方面的優(yōu)越性，更為重要的是該方法能夠解決觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣的相關(guān)性問(wèn)題。

(2) 現(xiàn)有穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘方法(RWTLS-GHM-Huber方法)利用非線性高斯—赫爾默特模型通過(guò)適當(dāng)?shù)木€性化迭代得到參數(shù)估計(jì)結(jié)果，該方法解算過(guò)程非常棘手，且迭代更新較為瑣碎，更為重要的是該方法沒(méi)有考慮系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量可能存在的相關(guān)性問(wèn)題。同時(shí)，RWTLS-GHM-Huber方法選取的Huber權(quán)函數(shù)缺少淘汰段，不利于提高估值的抗差能力，致使抗差效果變差。為此，本文提出基于IGG權(quán)函數(shù)的穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘的拉格朗日乘數(shù)方法(RWTLS-LM-IGG方法)，并給出了該方法的具體求解步驟。

(3) 為了評(píng)估RWTLS-LM-IGG方法的優(yōu)越性，選取了兩個(gè)評(píng)定指標(biāo)(單位權(quán)方差和均方誤差)，并采用模擬數(shù)據(jù)(分別考慮了粗差數(shù)量和粗差大小對(duì)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響)和真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)，系統(tǒng)地評(píng)估了這種方法。通過(guò)與WTLS方法和RWTLS-GHM-Huber方法的比較表明：在模擬數(shù)據(jù)試驗(yàn)中，RWTLS-LM-IGG方法采用IGG權(quán)函數(shù)，將觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣分別進(jìn)行選權(quán)迭代，所得單位權(quán)方差和均方誤差更小，且隨粗差數(shù)量和粗差大小增加而增大的速度比WTLS方法和RWTLS-GHM-Huber方法要慢得多。在真實(shí)數(shù)據(jù)試驗(yàn)中，RWTLS-LM-IGG方法能夠更好地探測(cè)和抵抗數(shù)據(jù)中可能存在的粗差，從而使其單位權(quán)方差估值比WTLS方法和RWTLS-GHM-Huber方法更小。因此，可以認(rèn)為該方法能夠更加有效地減少粗差的影響，從而使得參數(shù)估計(jì)的結(jié)果更加穩(wěn)健和可靠。

(4) 為了論證RWTLS-LM-IGG方法在高鐵橋墩沉降自回歸模型預(yù)測(cè)中的優(yōu)勢(shì)，采用兩組高鐵橋墩沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)比較該方法與LS方法、穩(wěn)健最小二乘(RLS)方法和WTLS方法的沉降預(yù)測(cè)結(jié)果。結(jié)果表明：在高鐵橋墩的自回歸模型沉降預(yù)測(cè)中，RWTLS-LM-IGG方法較LS方法、RLS方法和WTLS方法有更好的預(yù)測(cè)效果，并且隨著預(yù)測(cè)周期的增加，這一優(yōu)勢(shì)也變得越來(lái)越明顯。

(5) 在遙感圖像場(chǎng)景線性回歸分類中，分別采用LS方法、RLS方法、WTLS方法和RWTLS-LM-IGG方法對(duì)分類模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，根據(jù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果對(duì)遙感圖像場(chǎng)景進(jìn)行線性回歸分類。通過(guò)3組遙感圖像場(chǎng)景數(shù)據(jù)，將RWTLS-LM-IGG方法與LS方法、RLS方法和WTLS方法進(jìn)行比較評(píng)估。結(jié)果表明：采用RWTLS-LM-IGG方法進(jìn)行遙感圖像場(chǎng)景線性回歸分類的精度最高。