索-梁耦合振動下的拉索復合減振方法研究

梁 棟， 狄方殿， 陳紅霞， 段文博， 李紫碩(.河北工業(yè)大學 土木與交通學院，天津 30040；2.河北省土木工程技術研究中心，天津 30040)

現(xiàn)代大跨度斜拉橋跨度大、橋塔高、主梁輕柔且廣泛采用阻尼較小的鋼結(jié)構(gòu)，這些特點使大跨度斜拉橋的整體頻率持續(xù)降低，與拉索頻率已十分接近。以蘇通大橋為例，當主梁發(fā)生振動時，其1～5階對稱豎彎頻率為0.184～0.669 Hz，1～4階反對稱豎彎頻率為0.219～0.60 Hz[1]；邊跨拉索面內(nèi)振動基頻的范圍為0.251～0.758 Hz，中跨拉索面內(nèi)振動的基頻范圍為0.238～0.755 Hz[2]。由此可知，大跨度斜拉橋索、梁頻率重合或接近的范圍非常寬泛，在外界激勵下發(fā)生索-梁耦合振動是不可避免的。

既有的研究成果表明，大跨度斜拉橋一旦發(fā)生索-梁耦合振動，將會導致索端阻尼器減振作用的大幅度降低[2-3]。同時大量工程實踐也表明，安裝了各種減振裝置的斜拉橋，在一定情況下仍然會發(fā)生大幅振動。例如，1988年，比利時Ben-Ahin斜拉橋多根拉索發(fā)生了最大幅值超過1 m的大幅振動，并伴隨著橋面輕微振動，有研究者認為橋面發(fā)生輕微振動將會進一步加劇拉索的振動[4]。1996年，荷蘭Erasmus斜拉橋使用不久就出現(xiàn)多根拉索發(fā)生嚴重的大幅度振動現(xiàn)象，同時伴隨著橋面的振動，振幅達2.5 cm[5]。1993年，F(xiàn)ujiwara等對一斜拉橋進行現(xiàn)場振動測試時，發(fā)現(xiàn)某一根拉索的二階振型與主梁扭轉(zhuǎn)振型出現(xiàn)了明顯耦合振動的現(xiàn)象[6]。1999年，日本的多多羅大橋在進行成橋試驗時，也出現(xiàn)索-橋耦合振動的問題。在我國很多斜拉橋也曾出現(xiàn)過拉索大幅度振動的現(xiàn)象。2012年8月，在臺風?？挠绊懴?，蘇通大橋及其斜拉索都出現(xiàn)了明顯的振動，特別是風速超過15 m/s時，主梁和拉索的振動徒然加劇。另外，我國的楊浦大橋[7]、洞庭湖大橋[8]等也出現(xiàn)過拉索不同形式的大幅振動。在索-梁耦合振動機理及其影響與危害尚不明確的情況下，積極研究有效的抑振措施，降低疲勞損傷的概率，就成為大跨度斜拉橋的研究熱點之一。

為了彌補常用黏滯阻尼器減振效果的不足，人們很早就對利用調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)抑制吊桿振動展開了很多有益的研究工作。相對于吊桿，斜拉橋拉索具有較小的抗彎剛度，沿索長分散安裝MTMD并固定其振動方向較為困難，因此MTMD一直未能在斜拉索減振工程中得到實際應用。

本文提出將MTMD與拉索常規(guī)黏滯阻尼器組合起來，形成安裝在拉索端部的復合減振裝置，用于抑制大跨度斜拉橋索-梁耦合振動發(fā)生時的拉索振動。本文利用理論推導和室內(nèi)試驗證明了該方法的有效性，針對某超大跨度斜拉橋的拉索，計算了黏滯阻尼器和MTMD的相關參數(shù)，證明了該方法的可行性。

在國內(nèi)外對大跨度斜拉橋建設需求日益高漲，對其關鍵技術的應用研究日漸活躍的背景下，針對超大跨度斜拉橋發(fā)生的索-梁耦合振動開展相應的拉索減振方法研究不僅具有重要的理論意義，而且也是迫切的現(xiàn)實需要。

1 黏滯阻尼器與MTMD的復合減振分析

傳統(tǒng)黏滯阻尼器一端(活塞)安裝在拉索上，另一端(缸體)安裝在橋面上。在假設橋面不動的情況下，拉索振動將引發(fā)阻尼器活塞與缸體之間的往復運動，通過內(nèi)部阻尼液產(chǎn)生阻尼效果，這也是速度型阻尼器的基本原理。而在發(fā)生索-梁耦合振動的情況下，索與梁的同相位振動會減少活塞與缸體之間往復運動的行程和相對速度，造成減振效果的大幅降低[9]。

本文擬在傳統(tǒng)常規(guī)黏滯阻尼器的活塞內(nèi)安裝小型MTMD裝置，提出利用MTMD與黏滯阻尼器進行復合減振。拉索振動的能量一部分通過黏滯阻尼器消耗，一部分則通過TMD消耗，整體減振效果是這兩部分的疊加。通過黏滯阻尼器活塞與拉索相連的TMD，不與梁體有任何直接接觸，減振效果不受梁體運動的影響，即TMD所提供的拉索對數(shù)衰減率是恒定的。而傳統(tǒng)黏滯阻尼器所提供的拉索對數(shù)衰減率則隨索-梁振動的耦合程度而變化，索與梁的同相位振動會降低其減振效果。因此通過合理的設計，利用TMD彌補黏滯阻尼器減振效果降低的部分，即可實現(xiàn)索-梁耦合振動下的拉索復合減振。

鑒于TMD對振動頻率極為敏感，每個TMD將用于抑制某一階的拉索振動，其設計參數(shù)將與拉索的該階振動特性相適應。

1.1 拉索、Kelvin阻尼器與TMD組成的理論分析模型

基于TMD的頻率敏感性，本文在理論分析模型中選擇了單個TMD與黏滯阻尼器組合，以了解該復合減振方法的抑振機理。為此，建立了拉索、Kelvin阻尼器與TMD構(gòu)成的復合系統(tǒng)理論分析模型，如圖1所示。

圖1 拉索、Kelvin阻尼器與TMD組成理論分析模型

在靜止平衡條件下，拉索力學參數(shù)分別為：索力T、拉索長度L、拉索每米質(zhì)量m，復合減振裝置距離拉索端部l1。拉索軸線方向為x軸，其法線方向為y軸。為簡化分析，設拉索為張緊弦，不考慮其垂度、抗彎剛度和自身阻尼的影響。設拉索面內(nèi)振動時位移分量為v，則拉索動力特性方程為

(1)

式中：νk為各段拉索的橫向位移；xk為第k段拉索的軸向坐標，k=1,2。除了阻尼器安裝位置外，拉索任意位置處偏微分方程(1)都成立，可通過下列邊界條件方程的求解

v(0,t)=0；v(L,t)=0

(2)

滿足條件(2)時，通過分離變量法可知式(1)解的形式如下

vk(xk,t)=Vk(xk)eiωt

(3)

式中：ω表示復特征頻率。將(3)代入特性方程式(1)可以得到常微分方程式如下

(4)

在拉索的安裝阻尼器-STMD位置點，微分方程需要滿足如下的位移連續(xù)性條件

v1(l1,t)=v2(l2,t)=γ

(5)

(6)

拉索-阻尼器-STMD系統(tǒng)的豎向平衡方程為

(7)

(8)

因為TMD的振動形式與其安裝點拉索的振動形式是一致的，阻尼器位移和拉索位移的關系如下

vd=αvk

(9)

(10)

式中：ξ為TMD的阻尼比;ρ=ω/ωd表示拉索頻率與TMD振動頻率之比。式(3)、式(6)、式(10)代入式(7)可以得到拉索-阻尼器-STMD系統(tǒng)的復特征頻率方程式為

(11)

方程中復波數(shù)解記作βn,n=1,2,3…，ωn為對應的復特征頻率，系統(tǒng)模態(tài)阻尼比ξn和復特征頻率ωn的關系如下

(12)

為了方便推導出近似解析式，由l1+l2=L的關系，可以將拉索-阻尼器-STMD系統(tǒng)的復特征頻率方程(11)可以寫成下面的形式

(13)

1.2 復合減振系統(tǒng)的復模態(tài)近似求解

tan(βnL)=εl+ο[(εL)3]=βnL-nπ

(14)

式(14)代入式(13)后，式中的三角函數(shù)項采用泰勒級數(shù)展開并忽略其中的高階微量，化簡可以得到

(15)

則，安裝阻尼器-STMD后拉索各階模態(tài)下對數(shù)衰減率可近似表示成

δn=2πξn=

(16)

1.3 附加TMD參數(shù)的分析

表1中給出了某斜拉橋最長拉索及其安裝的阻尼器相關參數(shù)。當利用經(jīng)典理論進行分析時，該阻尼器可以使拉索的一階振動對數(shù)衰減率達到理論設計值0.04。

表1 實索及其優(yōu)化安裝阻尼器的相關參數(shù)

根據(jù)索-梁耦合振動對拉索減振性能的研究[10]發(fā)現(xiàn)，根據(jù)使拉索對數(shù)衰減率為0.04設計的黏滯阻尼器，當發(fā)生索-梁耦合振動時，其可為拉索提供的對數(shù)衰減率大小僅為0.015。為此，必須使附加TMD對拉索減振的貢獻達到0.025時，才能滿足拉索減振要求。

本文以表1拉索為例，利用式(16)討論TMD參數(shù)對拉索并附加黏滯阻尼器系統(tǒng)減振效果的影響。由工程經(jīng)驗確定了TMD各基本參數(shù)及相應各參數(shù)的取值范圍，具體見表2。根據(jù)上文理論結(jié)果表達式(16)分析TMD各主要參數(shù)對實際斜拉索減振效果的影響情況，具體如圖2～圖4所示。

表2 TMD基本參數(shù)及其取值范圍

圖2 質(zhì)量的影響

圖3 阻尼的影響

圖4 頻率比的影響

由圖2可知TMD較大的質(zhì)量有助于提高黏滯阻尼器減振效果，但考慮實際情況，安裝質(zhì)量不宜過大；圖3可知較小的阻尼比，特別是<0.005時，有利于提高粘滯阻尼器減振效果；通過圖4可以看出TMD頻率敏感性極強，只有當其自振頻率與拉索所要控制頻率相接近時才能有助于提高常規(guī)黏滯阻尼器對拉索的減振效果。上述結(jié)果與羅帥等[11]的研究是一致的，圖2～圖4也驗證了式(16)的合理性。

眾所周知，TMD的減振效果受其安裝質(zhì)量、自振頻率及阻尼的影響。以TMD頻率比為1.0、安裝質(zhì)量盡可能小為原則進行參數(shù)設計，為使附加TMD對拉索減振的貢獻達到理論設計值0.025，通過式(16)計算可以得到一組較好的參數(shù)取值，TMD的相對參數(shù)分別為：TMD安裝質(zhì)量比0.0042，ρ為1.0，TMD阻尼比為0.001。

2 試驗研究

本文通過理論與試驗相結(jié)合的方法研究常規(guī)粘滯阻尼器附加TMD的復合減振效果，為此試驗建立了包括拉索、Kelvin阻尼器與TMD組成的簡化力學模型，選用與圖1理論分析模型相似的物理模型，見圖5。

圖5 試驗模型

2.1 試驗概述

考慮到試驗條件和實驗室具體情況，本試驗中選用一根直徑為9.3 mm的鋼絲繩作為拉索，試驗拉索安裝小質(zhì)量塊來增加自重。模型索水平放置，其各項參數(shù)見表3。

表3 試驗模型索和TMD的物理參數(shù)

本文試驗設計了簡易阻尼器裝置，包含TMD和Kelvin阻尼器，具體構(gòu)造見圖6。試驗設計的TMD由錐形質(zhì)量塊、輕質(zhì)高強鋁材框架、彈簧、兩根豎向細桿和黃油桶等組成，系統(tǒng)中阻尼力通過油阻尼的形式施加，由于混合油自重會大大增加TMD的額外自重，故將黃油以固定邊界的形式施加到模型中；Kelvin阻尼器采用油桶和插片，以混合油作為阻尼介質(zhì)。TMD參數(shù)見表3。

試驗中拉索采用激振器激勵，根據(jù)試驗要求設計了如圖7所示的激振裝置。為了盡量減少各種摩阻力，位移數(shù)據(jù)使用激光位移計進行采集；安裝拉壓力傳感器用于索力及阻尼力的測定。試驗各傳感器的布置及具體用途如圖8所示。

圖6 試驗模型-阻尼器Fig.6 Testmodal-damper圖7 激振裝置Fig.7 Thevibrationexciter

本文通過自由振動的衰減來考察減振效果，首先利用激振器在拉索一端0.6 m處激振，激振待拉索振型穩(wěn)定后去除，即可得到索-阻尼器(+TMD)系統(tǒng)平面內(nèi)的自由振動。拉索自由振動條件下，對試驗采集的時程曲線進行指數(shù)函數(shù)的曲線擬合，通過對拉索二分點處時程曲線的曲線擬合可以求得拉索發(fā)生一階模態(tài)振動時的對數(shù)衰減率δ1；同樣，對拉索四分點進行擬合可以得到相應的拉索二階模態(tài)振動下的對數(shù)衰減率δ2。本文采用的試驗步驟為：① 安裝試驗所用拉索，兩端錨固；② 調(diào)整拉索使其水平，安裝拉索張拉設備及測力傳感器并張拉索力至設定值；③ 安裝試驗所設計的模型阻尼器裝置及位移傳感器和拉壓力測量傳感器；④ 進行試驗，拉索激勵、采集記錄數(shù)據(jù)、去除激振(SBD工況除外)、本工況完成。

圖8 傳感器布置及測量對象示意圖

具體試驗工況見表4，在進行組合試驗前，先利用SBD工況對圖6的模型Kelvin阻尼器做了性能試驗；SAC工況用來測得在發(fā)生某階自由振動時拉索自身的阻尼特性；對比SBK工況與SCT工況，可以了解附加TMD后對黏滯阻尼器減振效果的影響情況。

表4 工況匯總

2.2 試驗結(jié)果

2.2.1 阻尼器單體性能試驗及參數(shù)的確定

本文給出部分SBD工況Kelvin阻尼器的滯回曲線，圖9為模型Kelvin阻尼器振動頻率分別為拉索的一階、二階振動頻率(SAC工況測得)時的滯回曲線。

分別找出SBD工況中相應各工況下位移為零時的阻尼力值與瞬時速度值，建立直角坐標系橫坐標設為速度、縱坐標為阻尼力，將全部工況下對應的點在坐標系中標出，對散點進行過原點的直線擬合，得到該激振頻率下的Kelvin阻尼器等效阻尼系數(shù)，如圖10。擬合直線斜率即為某一激振頻率下模型Kelvin阻尼器的等效阻尼系數(shù)的大小值。SAC工況測得拉索一階振動頻率為2.9 Hz，二階振動頻率為5.8 Hz，通過圖10擬合發(fā)現(xiàn)，當對模型Kelvin阻尼器進行2.9 Hz激振時，計算出等效阻尼系數(shù)等于43.668 N·s/m；5.9 Hz進行激振時，其等效阻尼系數(shù)為30.425 N·s/m。

目前，線性黏滯阻尼器理論分析發(fā)現(xiàn)其等效阻尼系數(shù)為一常數(shù)，而大量試驗研究結(jié)果表明拉索上安裝的線性粘滯阻尼器的等效阻尼系數(shù)主要取決于拉索的振動頻率，對于同一阻尼器當激振頻率不同時會計算出不同的等效阻尼系數(shù)。所以，在試驗中進行等效阻尼系數(shù)的具體數(shù)值的確定時，要以模型Kelvin阻尼器工作頻率范圍內(nèi)所測得的特性為依據(jù)。

(a) 激振頻率2.9 Hz

(b) 激振頻率5.8 Hz

另外，TMD的阻尼參數(shù)同樣可以通過上述方法確定，TMD的阻尼力由傳感器⑨測得，位移時程通過激光位移計⑥測得；TMD自振頻率通過改變彈簧長度確定，頻率具體數(shù)值通過激光位移計⑥測得的時程曲線確定。圖11為拉索振動時某一振幅下TMD位移時程曲線與對應的阻尼力大小，通過位移時程曲線可以得到TMD自振頻率大小2.9 Hz；圖12為某一工況下試驗TMD的阻尼器滯回曲線，計算得到阻尼系數(shù)為0.034。

圖10 模型Kelvin阻尼器等效阻尼系數(shù)的計算

圖11 TMD質(zhì)量塊振動時程曲線及對應的阻尼力

Fig.11 Vibration time-history curve and corresponding damping force of TMD

圖12 TMD滯回曲線

2.2.2 組合系統(tǒng)試驗

本文試驗，首先通過SBD工況單體性能試驗明確模型Kelvin阻尼器力學性能及驗證設計的合理性，然后將其安裝在拉索上形成組合系統(tǒng)模型，進一步展開了組合系統(tǒng)振動試驗的研究。文中給出了部分典型工況下的試驗結(jié)果，圖13為裸索一階振動試驗結(jié)果，圖14、圖16分別為拉索安裝Kelvin阻尼器后一階、二階振動試驗結(jié)果，圖15、圖17分別為拉索安裝復合減振裝置后一階、二階振動試驗結(jié)果。由于其余各試驗工況下測得的位移時程曲線及對應的反應譜曲線與文中給出的相似，不再全部列出。通過測試得到的拉索位移時程曲線容易發(fā)現(xiàn)，采集記錄的時程數(shù)據(jù)峰值點可以用一條比較光滑的包絡線進行包絡；通過對應的反應譜曲線不難發(fā)現(xiàn)，拉索除試驗控制的主要階模態(tài)振動的能量較大外，在其他各階模態(tài)振動的能量都比較小，這表明試驗時拉索所發(fā)生的振動是單純的某階模態(tài)。通過上述判斷指標可以判定本文所進行的組合系統(tǒng)試驗取得了較為真實的試驗結(jié)果。

圖13 SAC-1工況試驗結(jié)果

圖14 SBK-1工況試驗結(jié)果

2.3 理論計算結(jié)果與試驗結(jié)果的對比分析

本文從拉索的頻率及振動衰減兩個方面進行理論與試驗結(jié)果的對比分析。理論值通過圖1建立的理論分析模型計算得到，試驗所用的索、阻尼器和TMD的力學參數(shù)見表3。

圖15 SCT-1工況試驗結(jié)果

圖16 SBK-2工況試驗結(jié)果

圖17 SCT-2工況試驗結(jié)果

2.3.1 拉索頻率的對比分析

表5 模型拉索頻率

通過表5對比知，各工況下拉索理論頻率與試驗頻率基本相同，這表明在整個試驗過程中，試驗組合體系的邊界條件和力學特性等與理論分析模型基本一致，其中較小的差異對結(jié)果的影響可忽略不計；試驗過程中還發(fā)現(xiàn)相同階次的拉索振動在不同次數(shù)時測試的頻率也不盡相同，但無論是一階還是二階振動拉索頻率的變化都比較小，最大時僅有0.6%，可見試驗模型在試驗過程中具有較好的穩(wěn)定性，較小的差異不影響結(jié)果的分析。綜上可以認為理論分析模型與試驗模型具有一致性，試驗過程中的試驗模型具有同一性。

2.3.2 拉索振動衰減的對比分析

試驗SAC工況通過對拉索自由振動條件下位移時程數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)裸索在一階、二階振動時對數(shù)衰減率都比較小，分別為0.002 3和0.001 8。

表6為模型拉索在分別安裝Kelvin阻尼器和復合減振裝置后對數(shù)衰減率的對比數(shù)據(jù)，其中理論結(jié)果由式(16)計算得到。相比SAC工況無論是SBK工況還是SCT工況拉索對數(shù)衰減率數(shù)值上都有較為顯著的提高，故本試驗結(jié)果可以不計拉索自身阻尼。

表6 拉索對數(shù)衰減率

表6中SBK工況與對應階次SCT工況對比，無論是理論結(jié)果還是試驗結(jié)果都能看出復合減振方法可以大幅提高減振效果。

3 實索應用示例

為了了解附加TMD后阻尼器的減振作用及其參數(shù)絕對數(shù)值的大小，本文選取了具有實際工程背景的跨度分別為1 000 m、650 m、400 m級的三座不同跨徑斜拉橋的主跨最長拉索為例，見表7。

表7 斜拉索的分析參數(shù)

在討論中，斜拉索減振的設計目標定為使拉索對數(shù)衰減率不小于0.04。因為索-梁發(fā)生了耦合振動，常規(guī)的阻尼器減振效果會被明顯的減弱，其所能提供的對數(shù)衰減率最低時僅為0.015，為彌補這部分損失，附加TMD對拉索減振的貢獻達到0.025，根據(jù)式(16)進行參數(shù)的計算和優(yōu)化，表8給出索-梁耦合振動下減振裝置的參數(shù)設計及減振效果的對比情況。應當指出的是，表8中的TMD參數(shù)是理論計算值，在實際工程應用中，可根據(jù)設計參數(shù)將其離散為多個小型TMD，分別安裝有拉索兩端，以方便工程應用。

表8 耦合振動下減振裝置的參數(shù)設計及效果對比

4 結(jié) 論

針對大跨度斜拉橋發(fā)生索-梁耦合振動的情況，常規(guī)拉索減振裝置的抑振效果將大幅降低，而無法有效控制拉索振動的情況。本文嘗試將黏滯阻尼器與TMD結(jié)合起來，利用復合減振方法應對索-梁耦合振動下的拉索振動。理論分析與試驗研究結(jié)果表明：在索-梁耦合振動發(fā)生情況時，結(jié)合黏滯阻尼器與TMD的復合減振方法可有效抑制超長拉索的振動。

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