三維分形接觸熱導(dǎo)的建模與多參數(shù)影響分析

李小彭， 劉 洋， 王 雪， 戶丹丹， 毛 昕， 王冰冰

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 沈陽 110819)

機(jī)械系統(tǒng)中存在大量的結(jié)合面[1]，當(dāng)結(jié)合面相互接觸時(shí)，微凸體間會(huì)產(chǎn)生間隙，從而使熱量的傳遞受到阻礙，產(chǎn)生不同的接觸熱導(dǎo)。隨著強(qiáng)化傳熱技術(shù)的發(fā)展，接觸熱導(dǎo)對(duì)機(jī)械制造、微電子、航空航天以及低溫超導(dǎo)、熱交換器等領(lǐng)域的影響，引起了人們極大的重視[2]。

研究表明，接觸熱導(dǎo)是受材料熱物性、機(jī)械特性、表面性質(zhì)、接觸面壓力、表面粗糙度及負(fù)載、溫度、介質(zhì)等眾多因素影響的非線性問題[3]。溫度對(duì)接觸熱阻的影響表現(xiàn)為溫度使接觸表面的形狀發(fā)生變化并產(chǎn)生蠕變現(xiàn)象[4]。王宗仁等[5]采用帶有補(bǔ)償加熱的接觸熱導(dǎo)測(cè)試設(shè)備對(duì)高溫合金進(jìn)行試驗(yàn)研究，黃明輝等[6]通過瞬態(tài)法初步測(cè)試了接觸熱導(dǎo)隨壓力的變化規(guī)律，證明了接觸熱導(dǎo)與壓力基本呈正相關(guān)。馬麗娜[7]建立了接觸熱導(dǎo)二維分形模型，并分析了分形維數(shù)、法向載荷、材料性能參數(shù)對(duì)熱導(dǎo)的影響。近年來，李小彭等[8-9]對(duì)三維分形理論、接觸熱導(dǎo)的研究取得進(jìn)一步成果。不過，以往分析僅研究單一變量的影響，對(duì)其他參數(shù)只零散取點(diǎn)分析，取值連續(xù)性及結(jié)論準(zhǔn)確性不足，而本文耦合兩種因素的影響，更清晰地體現(xiàn)了多參數(shù)的影響規(guī)律，提高了結(jié)論的準(zhǔn)確性。

本文基于傳統(tǒng)M-B接觸模型，結(jié)合W-M修正函數(shù)，推導(dǎo)三維分形結(jié)合面的接觸模型，建立了三維分形接觸熱導(dǎo)模型，仿真分析了法向載荷、實(shí)際接觸面積、分形維數(shù)、分形尺度參數(shù)、材料特性參數(shù)對(duì)接觸熱導(dǎo)的耦合影響。

1 三維分形結(jié)合面的接觸模型

1.1 三維分形微凸體表面輪廓的數(shù)學(xué)模型

為了更準(zhǔn)確地描述構(gòu)件的真實(shí)接觸表面，Yan等[10]對(duì)用二維分形曲線描述表面形貌的傳統(tǒng)W-M函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，得到三維分形曲面下的W-M修正函數(shù)，此時(shí)2

利用修正后的W-M函數(shù)可得三維微凸體的表面輪廓，而微凸體的變形量δ就是微凸體波峰與波谷的幅值差，即

δ=2(11-3D)/2G(D-2)(lnγ)1/2π(D-3)/2a(3-D)/2

(1)

式中：γ為表征頻率密度的參數(shù)，γ>1，近似計(jì)算時(shí)常取γ=1.5；a為單個(gè)微凸體實(shí)際接觸面積。

微凸體的曲率半徑可以表示為

(2)

1.2 微凸體的法向接觸載荷

根據(jù)Hertz接觸理論，單個(gè)微凸體發(fā)生彈性變形時(shí)，法向載荷與接觸變形量δ的關(guān)系為[11]

(3)

式中：E為材料等效彈性模量；R為微凸體曲率半徑。

由式(1)、式(2)與式(3)可得，單個(gè)微凸體發(fā)生彈性變形時(shí)，載荷與接觸面積的關(guān)系為

(4)

當(dāng)接觸表面的單個(gè)微凸體發(fā)生塑性接觸時(shí)，載荷與接觸面積的關(guān)系為[12]

Pp(a)=λσya

(5)

式中：λ為與硬度H和屈服強(qiáng)度σy相關(guān)的系數(shù)，三者的關(guān)系為H=λσy。

1.3 三維分形結(jié)合面的接觸模型

1.3.1 結(jié)合面的接觸面積

n(a)為接觸點(diǎn)處的面積分布，與最大接觸面積al的關(guān)系為[13]

(6)

式中：Ψ為分形區(qū)域擴(kuò)展系數(shù)，與分形維數(shù)D有關(guān)，可通過查閱文獻(xiàn)[13]表B1得到。

結(jié)合面的實(shí)際接觸面積Ar，應(yīng)包括有塑性接觸面積與彈性接觸面積，即

(7)

式中：ac為塑性變形與彈性變形的臨界接觸面積。

1.3.2 結(jié)合面的接觸載荷

① 當(dāng)al>ac且D≠2.5時(shí)，結(jié)合面所受的總載荷為塑性接觸載荷與彈性接觸載荷之和

(8)

將式(8)無量綱化為

(9)

② 當(dāng)al>ac且D=2.5時(shí)，結(jié)合面所受的總載荷為

(10)

將式(10)無量綱化為

(11)

2 三維分形接觸熱導(dǎo)模型

2.1 接觸熱導(dǎo)

組合機(jī)械中，當(dāng)熱流經(jīng)過結(jié)合面時(shí)，傳熱方式有[14-15]：①接觸面間的熱傳導(dǎo)；②通過間隙中介質(zhì)的熱傳導(dǎo)；由于間隙中介質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)和固體本身的導(dǎo)熱系數(shù)相差很大，會(huì)形成一種阻礙熱傳遞的附加阻力，稱為接觸熱阻，接觸熱阻的倒數(shù)即為接觸熱導(dǎo)。接觸熱阻對(duì)熱流的阻力很大，會(huì)導(dǎo)致結(jié)合面處溫度發(fā)生突變。工程中，實(shí)際結(jié)合面的熱傳遞如圖1所示。

圖1中，A為接觸平面，Q為流經(jīng)該機(jī)械的總熱流，Qi為流經(jīng)單個(gè)微凸體接觸區(qū)的熱流，T1為部件1上表面的溫度，T2為部件2下表面的溫度，T1A、T2A分別為部件1、2在接觸區(qū)的溫度。

2.2 三維分形接觸熱導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型

文獻(xiàn)[16]給出了微凸體的單點(diǎn)接觸熱導(dǎo)

(12)

圖1 結(jié)合面微觀接觸熱傳導(dǎo)示意圖

式中：hi為單個(gè)微凸體的接觸熱導(dǎo)，W/(m2·K)；λs為導(dǎo)熱系數(shù)，表征微凸體接觸區(qū)的導(dǎo)熱能力，W/(m·K)，據(jù)文獻(xiàn)工程經(jīng)驗(yàn)常取λs=13.8 W/(m·K)；R為微凸體的曲率半徑；p為單個(gè)微凸體的接觸載荷；φ為接觸熱導(dǎo)因子，是單點(diǎn)接觸半徑與曲率半徑之比r/R的函數(shù)，φ=(1-r/R)3/2，一般r?R，故近似計(jì)算時(shí)常取φ=1。

則整個(gè)結(jié)合面的接觸熱導(dǎo)為

(13)

將式(2)、式(4)、式(5)與式(6)代入式(13)中，得結(jié)合面的接觸熱導(dǎo)為

(14)

將式(14)無量綱化為

(15)

3 三維分形接觸熱導(dǎo)模型數(shù)值仿真

3.1 法向載荷對(duì)接觸熱導(dǎo)的影響

根據(jù)式(9)、式(11)與式(15)，分析接觸熱導(dǎo)h*與法向載荷P*在不同分形維數(shù)D下的關(guān)系。根據(jù)前文所述，取φ=1.0，λs=13.8 W/(m·K)，λ=1.0；且多數(shù)材料的材料特性參數(shù)在0.5～1.8之間[17]，本文選取φ=1.0；無量綱G*通常取值10-11～10-9，本文選取G*=10-10進(jìn)行分析，分析結(jié)果如圖2所示。

從圖2可以看出，隨著法向載荷P*的增大，接觸熱導(dǎo)h*也在增大；且當(dāng)2.1≤D≤2.4時(shí)，接觸熱導(dǎo)h*與法向載荷P*存在著明顯的非線性關(guān)系；當(dāng)2.5≤D≤2.9時(shí)，接觸熱導(dǎo)h*與法向載荷P*趨于線性關(guān)系。

3.2 分形維數(shù)與分形尺度參數(shù)的耦合影響

3.3 分形維數(shù)與材料特性參數(shù)的耦合影響

3.4 分形尺度參數(shù)與材料特性參數(shù)的耦合影響

(a) D=2.1

(b) D=2.2

(c) D=2.3

(d) D=2.4

(e) D=2.5

(f) D=2.6

(g) D=2.7

(h) D=2.8

(i) D=2.9

(1) h*與D和G*的關(guān)系

(2) G*取值過程中h*與D的峰值關(guān)系

(1) h*與D和G*的關(guān)系

(2) G*取值過程中h*與D的峰值關(guān)系

圖3 分形維數(shù)和分形尺度參數(shù)對(duì)接觸熱導(dǎo)的影響

Fig.3 Influence of fractal dimensions and fractal scale parameters on contact thermal conductivity

(1) h*與D和φ的關(guān)系

(2) φ取值過程中h*與D的峰值關(guān)系

(1) h*與D和φ的關(guān)系

(2) φ取值過程中h*與D的峰值關(guān)系

圖4 分形維數(shù)和材料特性參數(shù)對(duì)接觸熱導(dǎo)的影響

Fig.4 Influence of fractal dimensions and material characteristic parameters on contact thermal conductivity

(b) D=2.5

(c) D=2.7

(d) D=2.9

(e) D=2.95

(f) D=2.99

從圖5可以看出，接觸熱導(dǎo)與分形尺度參數(shù)呈負(fù)相關(guān)，與材料特性參數(shù)呈正相關(guān)；隨著分形尺度參數(shù)G*的減小和材料特性參數(shù)φ的增大，接觸熱導(dǎo)h*先是平穩(wěn)增大；當(dāng)分形尺度參數(shù)G*減小和材料特性參數(shù)φ增大到一定程度時(shí)，接觸熱導(dǎo)h*陡然增大，產(chǎn)生了很大的數(shù)量級(jí)差，且分形維數(shù)D越大該現(xiàn)象越明顯。

4 結(jié) 論

經(jīng)過上述研究，得到結(jié)論：

(1) 本文引入三維分形理論修正的W-M函數(shù)并推導(dǎo)結(jié)合面三維接觸模型，考慮多參數(shù)對(duì)接觸熱導(dǎo)的影響，建立了三維分形接觸熱導(dǎo)模型，為后期的接觸熱導(dǎo)研究提供了理論基礎(chǔ)。

(2) 接觸熱導(dǎo)與法向載荷呈正相關(guān)，當(dāng)2.1≤D≤2.4時(shí)，兩者存在非線性關(guān)系，當(dāng)2.5≤D≤2.9時(shí)，兩者趨于線性關(guān)系，即隨著分形維數(shù)的增大，兩者由非線性關(guān)系趨于線性關(guān)系。

(3) 接觸熱導(dǎo)與實(shí)際接觸面積呈正相關(guān)；較大的接觸熱導(dǎo)發(fā)生在分形維數(shù)較大、分形尺度參數(shù)較小、材料特性參數(shù)較大的區(qū)域，且在靠近該參數(shù)區(qū)域時(shí)接觸熱導(dǎo)變化趨勢(shì)明顯增強(qiáng)。D=2.95是接觸熱導(dǎo)與分形維數(shù)正負(fù)相關(guān)的分界點(diǎn)，當(dāng)2.0

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