構(gòu)造函數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

嚴(yán)俊

摘 要：在高中數(shù)學(xué)中，構(gòu)造函數(shù)是常見方法之一。文章結(jié)合教學(xué)實踐，探討如何通過構(gòu)造函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；高中數(shù)學(xué)；解題應(yīng)用

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號：1008-3561（2015）31-0063-01

高中數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，是將未知、陌生的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題。通過對已知條件及結(jié)論的分析，構(gòu)造出函數(shù)、方程、不等式、向量、復(fù)數(shù)等輔助元素，進(jìn)而聯(lián)系條件和結(jié)論找到解題途徑。這稱為構(gòu)造法。在高中數(shù)學(xué)中，構(gòu)造函數(shù)是常見方法之一，有構(gòu)造高次函數(shù)、構(gòu)造指數(shù)函數(shù)、構(gòu)造一次函數(shù)、構(gòu)造二次函數(shù)、構(gòu)造分式函數(shù)、構(gòu)造三角函數(shù)函數(shù)及構(gòu)造可求導(dǎo)函數(shù)等多種類型。

一、構(gòu)造高次函數(shù)解題

例1：如果sin3θ-cos3θ>，且θ∈（0，2π），那么角θ的取值范圍是（ ）.解答：不等式sin3θ-cos3θ>等價于sin3θ+>cos3θ+ 。設(shè)f（x）=x3+x5，顯然f（x）=x3+x5是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，于是有不等式f（sinθ）>f（cosθ），從而得sinθ>cosθ，再結(jié)合θ∈（0，2π），得<θ<.這里構(gòu)造高次函數(shù)f（x）=x3+x5，再利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化原不等式，得到所求變量的取值范圍。

二、構(gòu)造指數(shù)函數(shù)解題

例2：已知a、b、c為三角形的三邊，且a2+b2=c2，n為正整數(shù)，且n>2，求證：cn>an+bn. 證明：由a2+b2=c2，知0x+

x，易證f（x）在（2，+∞）上是減函數(shù)。所以n>2時，f（n）

x+

x<

2+

2=1，故an+bn

x+

x（x>2）證明了不等式cn>an+bn。

三、構(gòu)造一次函數(shù)解題

例3：設(shè)不等式2x-1>m（x2-1）對于一切滿足|m|≤2的值均成立，求x的取值范圍. 解答：原不等式可化為（x2-1）m-（2x-1）<0，構(gòu)造函數(shù)f（m）=（x2-1）m-（2x-1），（|m|≤2）.由一次函數(shù)的圖像性質(zhì)知f（-2）<0

f（2）<0，解得

四、構(gòu)造二次函數(shù)解題

例4：已知c、b、c∈R，a+b+c=1，a2+b2+c2=1，則a的取值范圍是（ ）. 解答：b+c=1-a，b2+c2=1-a2，構(gòu)造函數(shù)f（x）=2x2-2（b+c）x+b2+c2=（x-b）2+（x-c）2≥0恒成立，故有Δ=4（b+c）2-8（b2+c2）≤0，也即4（1-a）2-8（1-a2）≤0，解得-≤a≤1.本題將b+c和b2+c2看作整體，構(gòu)造二次函數(shù)f（x）=2x2-2（b+c）x+b2+c2，利用二次函數(shù)性質(zhì)得到判別式的不等式，從而求得結(jié)果。

五、構(gòu)造分式函數(shù)解題

例5：證明對任意的實數(shù)a和b，不等式≤+成立. 證明：構(gòu)造f（x）=（x≥0），f′（x）=>0，所以f（x）在[0，+∞]上單調(diào)遞增，而|a+b|≤|a|+|b|，故f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即≤=+≤+，所以原不等式成立.這道題構(gòu)造分式函數(shù)f（x）=（x≥0），將原本復(fù)雜的不等式證明變得簡單。

六、構(gòu)造三角函數(shù)解題

例6：求函數(shù)y=的值域. 解答：原函數(shù)可化為：y==··，設(shè)x=tana，則=cos2a，=sin2a，所以y=cos2a·sin2a=sin4a. 根據(jù)-1≤sin4a≤1，得y∈[-，]. 這里將原函數(shù)變形后容易聯(lián)想到三角中的萬能公式，進(jìn)而把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，容易求得值域。

七、構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)解題

例7：若x∈（0，+∞），求證：0，所以t>1，x=，則原不等式等價于1-1），f（t）=1->0，所以f（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故f（t）>f（1）=0，即lnt1），g′（t）=-=>0，所以g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故g（t）>g（1）=0，即lnt>1-，所以原不等式成立。本題通過換元將原不等式的對數(shù)真數(shù)部分化簡，再構(gòu)造兩個可導(dǎo)函數(shù)，從而證明原不等式成立，這種構(gòu)造思想在證明不等式中經(jīng)常使用。

八、結(jié)束語

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，利用構(gòu)造函數(shù)思想解題較為普遍。這需要學(xué)生熟悉函數(shù)的形式及函數(shù)性質(zhì)，才能選對函數(shù)模型，從而既解決問題，又事半功倍。

參考文獻(xiàn)：

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