一種酉權(quán)重量子感知機

周曉彥,嵇福高,劉文杰,安星星,潘道蒙

1(江蘇省氣象傳感網(wǎng)技術(shù)工程中心,南京 210044) 2(江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,南京 210044) 3(南京信息工程大學 電子與信息工程學院,南京 210044) 4(南京信息工程大學 計算機與軟件學院,南京 210044)

1 引 言

現(xiàn)有的量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分為四種不同的實現(xiàn)方法[6]:(1)量子測量取代階躍函數(shù);(2)量子線路模擬經(jīng)典神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);(3)量子感知機;(4)量子點相互作用建立量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.在本文中,聚焦于第3種方法,即采用量子機制對感知機算法進行設(shè)計和改進.

2001年,Altaisky[7]首次提出量子感知機模型,克服了經(jīng)典感知機無法解決的問題.他的量子感知機模型的輸出為:

(1)

本文剩下內(nèi)容組織如下:第2節(jié)相關(guān)知識準備;第3節(jié)提出本文的量子感知機算法并進行實例分析;最后對本文內(nèi)容總結(jié).

2 知識準備

2.1 量子比特

在經(jīng)典計算中,經(jīng)典比特采用二進制數(shù)0或1表示.與經(jīng)典計算不同,量子比特是兩個基態(tài)(|0〉和|1〉)的任意線性組合,

|Ψ〉=α|0〉+β|1〉

(2)

2.2 經(jīng)典感知機

1958年,Rosenblatt[12]首次提出了經(jīng)典感知機.經(jīng)典感知機是二分類的線性可分模型,由兩層神經(jīng)元組成,輸入層神經(jīng)元用來接收外界輸入信號并傳送給輸出層,輸出層是M-P神經(jīng)元.在M-P神經(jīng)元模型中,神經(jīng)元接收外界N個其他神經(jīng)元xj通過帶權(quán)重wj的連接傳送過來的輸入信號,然后通過激活函數(shù)f(x)處理,最終得到神經(jīng)元的輸出y.神經(jīng)元輸出y為:

(3)

感知機學習規(guī)則比較簡單,對于訓練實例(x,d),若當前的感知機訓練得到預測結(jié)果為y,則感知機的權(quán)重學習規(guī)則為:

wj(t+1)=wj(t)+η(d-y)xj

(4)

其中η∈(0,1)稱為學習效率.從公式(4)可知,當神經(jīng)元預測結(jié)果與訓練實例一致時,則感知機不發(fā)生變化,否則需要進行權(quán)重調(diào)整.

2.3 奇異值分解

任意矩形矩陣A,都可以分解三個矩陣滿足:

A=UΣVT

(5)

其中U是酉矩陣,即UU+=U+U=I(單位矩陣),Σ是對角陣(對角線的元素是A的奇異值),V是酉矩陣,即VV+=V+V=I(單位矩陣).

3 基于酉權(quán)重的量子感知機算法

3.1 算法過程

量子感知機算法通過一步迭代和保持量子計算權(quán)重的酉性來進行訓練學習,最終得到正確的訓練結(jié)果.具體算法流程如下:

算法準備:先準備N個訓練算例:

{(|x1〉},|y1〉),(|x2〉,|y2〉),…(|xj〉,|yj〉),…,(|xN〉,|yN〉)}

1)求輸入|xj〉的共軛轉(zhuǎn)置:

|xj〉+=〈xj|

(6)

(7)

(8)

5)得到量子感知機的形式為:

(9)

3.2 實例驗證

一個任意量子門可以由Hadamard門、相位門、受控非門、π/8門組成[13].我們將選擇這些門來驗證所提量子感知機算法的正確性.與Seow等人所提出的量子感知機模型[11]不同,我們選擇的算例是非理想化的,即考慮到超完備與欠完備兩種情形.此外,我們選擇了一個由多個量子門構(gòu)成的組合門作為實例,對算法的通用性進行了進一步驗證.

1)Hadamard門

實例1.(超完備):假設(shè)算例為:

(a=1,b=2)

感知機訓練:根據(jù)3.1算法過程,首先,應用公式(6)計算輸入|xj〉的共軛轉(zhuǎn)置,并通過公式(7)求解

修正后的結(jié)果為:

最后,得到量子感知機的形式為:

正確性驗證:利用得到的量子感知機對各種輸入進行驗證計算,即,判斷|youtput〉是否為對應算例的預期輸出.

|y1〉

|y2〉

實例2.(欠完備):假設(shè)算例為:

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到量子感知機為:

正確性驗證:

2)相位門

實例3.(超完備):假設(shè)算例為:

|x1〉=|0〉,|y1〉=|0〉

|x2〉=|1〉,|y2〉=i|1〉

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到量子感知機為:

正確性驗證:

實例4.(欠完備):假設(shè)算例為:

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到量子感知機為:

正確性驗證:

3)受控非門

實例5.(超完備):假設(shè)算例為:

|x1〉=|00〉,|y1〉=|00〉

|x2〉=|01〉,|y2〉=|01〉

|x3〉=|10〉,|y3〉=|11〉

|x4〉=|11〉,|y4〉=|10〉

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到量子感知機為:

正確性驗證:

實例6.(欠完備):假設(shè)算例為:

|x1〉=|00〉,|y1〉=|00〉

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到量子感知機為:

正確性驗證：

4)π/8門

實例7.(超完備):假設(shè)算例為:

|x1〉=|0〉,|y1〉=|0〉

|x2〉=|1〉,|y2〉=eiπ/4|1〉

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到量子感知機為:

正確性驗證:

實例8.(欠完備):假設(shè)算例為:

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到子感知機為:

正確性驗證：

5)組合門

為了驗證所提出的量子感知機算法適用于多個門的組合計算,我們將Hadamard門、相位門、受控非門、π/8門進行組合,構(gòu)造出一個組合門(如圖1所示),通過對該組合門進行訓練學習,來驗證算法的通用性.

圖1 組合門量子線路Fig.1 Quantum circuit of the composite gate

實例9.假設(shè)算例為:

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到量子感知機為:

正確性驗證:

4 結(jié)束語

利用量子計算來解決人工網(wǎng)絡(luò)的具體問題,一個基本規(guī)則就是不能破壞量子力學本身固有的屬性,即激活算子和權(quán)重矩陣的酉性.本文提出的量子感知機的算法是酉性權(quán)重矩陣的,且具有以下優(yōu)點,(1)通過分析計算參數(shù)使權(quán)重保持酉性,不需要多次迭代學習,就能得到正確結(jié)果;(2)該量子感知機能夠?qū)崿F(xiàn)Hadamard門、相位門、受控非門、π/8門等基本量子門功能.此外,通過對多個量子門構(gòu)成的組合門進行訓練學習,進一步驗證該算法的通用性.我們下一步工作將基于該量子感知機研究更為復雜的量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).

[1] Feynman R P.Quantum mechanical computers [J].Foundations of Physics,1986,16(6):507-531.

[2] Feynman R P.Simulating physics with computers [J].International Journal of Theoretical Physics,1982,21(6):467-488.

[3] Shor P W.Algorithms for quantum computation:discrete logarithms and factoring [C].Proceedings 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science,New mexico,USA:IEEE Conference Publications,1994.

[4] Shor P W.Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer [J].Siam Review,1997,41(2):1484-1509.

[5] Grover L K.Quantum mechanics helps in searching for a needle in a haystack [J].Physical Review Letters,1997,79 (2):325-328.

[6] Schuld M,Sinayskiy I,Petruccione F.The quest for a quantum neural network [J].Quantum Information Processing,2014,13 (11):2567-2586.

[7] Altaisky M V.Quantum neural network [J].International Journal of Theoretical Physics,2001,36(12):2855-2875.

[8] Zhou Ri-gui.Research on quantum neural network model[D].Nanjing:Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,2008.

[9] Sagheer A,Zidan M.Autonomous quantum perceptron neural network [J].Physics Chemical Research in Chinese Universities,2013,66(11):1813-1818.

[10] Siomau M.A quantum model for autonomous learning automata [J].Quantum Information Processing,2014,13 (2):1211-1221.

[11] Seow K L,Behrman E,Steck J.Efficient learning algorithm for quantum perceptron unitary weights [J].ArXiv Preprint,2015,1512(00522):1-10.

[12] Rosenblatt F.The perceptron:a probabilistic model for information storage and organization in the brain [J].Psychological Review,1958,65(6):386-408.

[13] Nielsen M A,Chuang I L.Quantum computation and quantum information[M].Cambridgeshire,UK:Cambridge University Press,2000.

附中文參考文獻：

[8] 周日貴.量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型研究[D].南京:南京航空航天大學,2008.