一種慣性權(quán)重與種群多樣性協(xié)同調(diào)整的二進(jìn)制粒子群優(yōu)化算法

李浩君,張 廣,王萬(wàn)良

1(浙江工業(yè)大學(xué) 教育科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,杭州 310023) 2(浙江工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,杭州 310023)

1 引 言

粒子群算法(Particle Optical Swarm)是由美國(guó)心理學(xué)家Kennedy和電氣工程師Eberhart[1]在1995年提出的一種演化計(jì)算技術(shù),廣泛應(yīng)用于電力、化工、經(jīng)濟(jì)等工程領(lǐng)域的優(yōu)化問(wèn)題[2-4].由于實(shí)際當(dāng)中很多問(wèn)題并非是連續(xù)性的問(wèn)題而是離散性的問(wèn)題,Kennedy[5]又提出一種二進(jìn)制粒子群算法,用來(lái)解決工程領(lǐng)域離散性的優(yōu)化組合問(wèn)題.不論是標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法還是二進(jìn)制粒子群算法,都是根據(jù)種群之間的信息來(lái)判斷搜索最優(yōu)值,所以種群多樣性和搜索能力往往決定著粒子群算法的效率和準(zhǔn)確度.但標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法慣性權(quán)重值不能動(dòng)態(tài)改變進(jìn)而調(diào)整粒子群算法的搜索范圍,并隨著種群多樣性的下降,易過(guò)早陷入局部收斂,不能獲取最優(yōu)值.針對(duì)粒子群算法的缺點(diǎn),很多學(xué)者都提出了改進(jìn)策略,首先Shi等學(xué)者[6,7]根據(jù)粒子群算法的迭代次數(shù)與多樣性之間的線性關(guān)系,動(dòng)態(tài)改變標(biāo)準(zhǔn)粒子群的慣性權(quán)重值,權(quán)重值隨著迭代次數(shù)增加不斷下降,從而在算法前期以較大權(quán)重值提高粒子群算法全局搜索能力,在算法后期以較小權(quán)重值增加局部探索能力,但只根據(jù)粒子群與權(quán)重之間簡(jiǎn)單的線性關(guān)系,還無(wú)法根據(jù)種群多樣性精確地調(diào)節(jié)權(quán)值.Riget等學(xué)者[8-10]提出基于粒子之間的歐氏距離判斷種群多樣性,動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)算法的權(quán)重,但是又往往忽略的權(quán)重值與迭代次數(shù)之間的線性關(guān)系.目前有關(guān)二進(jìn)制粒子群算法的種群多樣性與慣性權(quán)重相互影響的關(guān)系研究還比較少.部分學(xué)者[11-13]還引入混沌理論對(duì)粒子群的種群多樣性進(jìn)行改進(jìn),但是缺少使用混沌理論對(duì)二進(jìn)制粒子群算法的種群多樣性進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整的研究.

本文提出一種基于種群多樣性與慣性權(quán)重協(xié)同調(diào)整的粒子群優(yōu)化算法Coordinated Adjustment Binary Practical Swarm Optimization(CBPSO),根據(jù)二進(jìn)制粒子群的海明距離均值和迭代次數(shù)變化動(dòng)態(tài)調(diào)整權(quán)重值,再根據(jù)海明距離使用混沌理論動(dòng)態(tài)調(diào)整種群多樣性,最后根據(jù)種群多樣性的變化在新的迭代中重新調(diào)整慣性權(quán)重值,從而改進(jìn)種群無(wú)法有效探索以及隨著迭代次數(shù)增加種群多樣性過(guò)快下降的缺點(diǎn),進(jìn)而提高二進(jìn)制粒子群算法的效率,實(shí)驗(yàn)證明,該算法具有較好的準(zhǔn)確性與魯棒性.

2 二進(jìn)制粒子群算法優(yōu)化的基本原理

粒子群算法以模擬鳥(niǎo)的群體智能為特征,每只鳥(niǎo)被稱之為一個(gè)粒子.粒子群優(yōu)化算法首先初始化包含一群隨機(jī)的d維粒子的種群,每個(gè)粒子的每一維都由其速度和位置兩方面向量信息進(jìn)行表示,第i個(gè)粒子的速度和位置表示如下:Vi=[vi1,vi2,…,vij],Xi=[xi1,xi2,…,xij].算法采用一個(gè)適應(yīng)度函數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)粒子當(dāng)前位置的優(yōu)劣,通過(guò)不斷迭代,最終找到最優(yōu)解或近似最優(yōu)解.在每次迭代中,粒子通過(guò)跟蹤個(gè)體最優(yōu)解和群體最優(yōu)解來(lái)更新自己的速度和位置.更新公式如下:

(1)

(2)

k迭代次數(shù);c1、c2為學(xué)習(xí)因子;r1、r2是分布在[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù);pij為粒子本身找到的個(gè)體最優(yōu)解;gij為整個(gè)粒子群中當(dāng)前找到的群體最優(yōu)解.

基本粒子群算法是針對(duì)連續(xù)域的問(wèn)題設(shè)計(jì)的,但許多優(yōu)化問(wèn)題是針對(duì)離散的,因此文獻(xiàn)[5]對(duì)此進(jìn)行了擴(kuò)展,提出一種離散二進(jìn)制BPSO算法,在二進(jìn)制粒子群算法中,粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡和速度是從概率角度定義的,每個(gè)粒子的每一位xi的取值為0或取1的概率 其基本公式如下:

(3)

S函數(shù)一般用Sigmoid函數(shù)表示,二進(jìn)制粒子群算法的其他部分同基本粒子群算法.

3 協(xié)同調(diào)整的二進(jìn)制粒子群優(yōu)化算法

3.1 算法基本思想

粒子群算法運(yùn)行時(shí),在保持慣性權(quán)重不斷下降和粒子群逐漸收斂的趨勢(shì)下,當(dāng)種群多樣性較差陷入局部最優(yōu)時(shí),需要對(duì)種群進(jìn)行發(fā)散操作增加多樣性,慣性權(quán)重值也應(yīng)該相應(yīng)的增大,使粒子群在更大范圍內(nèi)進(jìn)行探索,從而能夠跳出局部最優(yōu);當(dāng)種群多樣性較好,則通過(guò)海明距離均值和當(dāng)前迭代狀態(tài)共同動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重值,從而平衡全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力,使之逐步收斂至全局最優(yōu)值.

本文采用這一研究思路對(duì)慣性權(quán)重和種群多樣性進(jìn)行協(xié)同調(diào)整,提出根據(jù)每個(gè)粒子與最優(yōu)粒子的海明距離均值與當(dāng)前迭代狀態(tài),動(dòng)態(tài)協(xié)同調(diào)整粒子群慣性權(quán)重和多樣性的粒子群優(yōu)化算法.首先使用混沌函數(shù)初始化種群;其次把海明距離均值與之前學(xué)者提出的慣性權(quán)重遞減方法結(jié)合,在保持慣性權(quán)重整體下降的前提下,根據(jù)海明距離均值變化更加有針對(duì)性的對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行動(dòng)態(tài)增減,從而更好平衡粒子群的全局搜索能力與局部開(kāi)發(fā)能力;再次根據(jù)每個(gè)粒子和最優(yōu)粒子的海明距離均值對(duì)種群多樣性進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整,改善種群多樣性,防止過(guò)早收斂陷入局部最優(yōu),同時(shí)又不過(guò)度干擾粒子群算法不斷收斂的趨勢(shì).最后根據(jù)種群多樣性的變化,在新的迭次過(guò)程中,對(duì)慣性權(quán)重值進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整.

3.1.1 混沌初始化

為了保持種群多樣性與遍歷性,用Logistic映射產(chǎn)生混沌序列X.

Xn+1=μXn(1-Xn)

(4)

X0=r and(0,1),μ=4且Xn≠0.25,0.75,0.5;如果Xn大于0.5,Xn等于1,反之等于0.

3.1.2 二進(jìn)制粒子群多樣性和距離度量方法

為了表示兩個(gè)粒子之間的距離,引入了海明距離,定義粒子含有決策變量的個(gè)數(shù)即為粒子的維數(shù),如Xij,其下標(biāo) i 表示群體中的第 i 個(gè)粒子,j 表示該粒子的第j個(gè)決策變量.若粒子的每一維決策變量用m個(gè)二進(jìn)制位編碼表示,任意兩個(gè)粒子X(jué)1和X2的距離可由海明距離表示為:|X1-X2|=D(X1,X2).其中D是計(jì)算海明距離的函數(shù),其值為兩個(gè)二進(jìn)制位串中不同位的個(gè)數(shù).為了降低計(jì)算的復(fù)雜度,計(jì)算每個(gè)粒子與全局最優(yōu)粒子之間的海明距離均值來(lái)判斷種群的多樣性,并不是計(jì)算所有粒子之間的海明距離均值.

3.1.3 權(quán)重協(xié)同調(diào)整

通過(guò)海明距離均值、慣性權(quán)重與迭代次數(shù)之間的線性關(guān)系共同調(diào)節(jié)慣性權(quán)重,公式(5)的前半部分((1-e-HD/k)*a)為通過(guò)海明距離均值的權(quán)重調(diào)節(jié)公式,公式(5)后半部分((1- t/T )(Wmax-Wwin)+Wwin)為通過(guò)迭代次數(shù)調(diào)整的調(diào)節(jié)公式.

W=((1-e-HD/k)*a)*((1-t/T)*(Wmax-Wwin)+Wwin)

(5)

其中HD為當(dāng)前粒子與最優(yōu)值粒子之間的海明距離均值,其值隨著多樣性變化動(dòng)態(tài)改變.T為粒子群算法的最大迭代次數(shù),t當(dāng)前迭代次數(shù),Wmax和Wwin為權(quán)重最大值和最小值,k用來(lái)調(diào)節(jié)指數(shù)函數(shù)對(duì)HD變化的敏感度,a用來(lái)調(diào)整公式(5)前半部分和后半部分共同變化的速率.

公式(5)慣性權(quán)重隨著海明距離均值和迭代次數(shù)共同變化,在搜索初期慣性權(quán)重W較大,使粒子群在可以在全局范圍內(nèi)進(jìn)行探索;在搜索中后期,隨著海明距離均值與迭代次數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)整,有利于平衡粒子群全局探索和局部開(kāi)發(fā)能力.

3.1.4 種群多樣性自適應(yīng)調(diào)整

計(jì)算每個(gè)粒子與全局最優(yōu)粒子之間的海明距離均值HD,然后設(shè)定閾值D的變化區(qū)間.如果HD小于閾值,對(duì)種群多樣性進(jìn)行發(fā)散調(diào)整,同時(shí)閾值動(dòng)態(tài)減小.由于二進(jìn)制粒子群算法的隨機(jī)性,其他算法如加速度調(diào)節(jié)算法、權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整[14,15],對(duì)參數(shù)的變化區(qū)間都是根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)觀察設(shè)定.本文根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)觀察設(shè)定閾值D的范圍.

3.2 算法步驟

步驟1.混沌初始化

對(duì)所有粒子用公式(4)混沌初始化位置.

步驟2.初始化種群參數(shù)

初始化粒子群的個(gè)體學(xué)習(xí)因子和社會(huì)學(xué)習(xí)因子值、迭代次數(shù)、Fitness數(shù)值精度、加速度值為位于區(qū)間(0,1)隨機(jī)值,初始權(quán)重值設(shè)為1.

步驟3.初始化閾值

設(shè)定閾值下限為粒子維度的1/7,上限為粒子維度的4/7.

步驟4.計(jì)算初始化適應(yīng)度值

根據(jù)初始化的粒子位置與速度,帶入適應(yīng)度函數(shù),求出適應(yīng)度值.如能滿足要求則終止,不能滿足要求則繼續(xù)執(zhí)行.

步驟5.計(jì)算海明距離均值并排序

計(jì)算每個(gè)粒子與全局最優(yōu)粒子之間的海明距離均值,并按與最優(yōu)粒子之間的海明距離對(duì)粒子群從小到大排序.

步驟6.慣性權(quán)重協(xié)同調(diào)整

按公式(5)計(jì)算慣性權(quán)重的值,并且判斷慣性權(quán)重w的值是否在范圍Wmax和Wwin之間,如果大于Wmax,則值為如果小于Wwin,則值為Wwin,根據(jù)慣性權(quán)重調(diào)整策略對(duì)權(quán)重進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整.

步驟7.粒子位置速度更新策略

速度更新公式:

(6)

位置更新公式:

(7)

步驟8.種群多樣性自適應(yīng)調(diào)整

如果海明距離均值HD小于動(dòng)態(tài)閾值,對(duì)種群按海明距離由小到大排序,取前50%種群再次進(jìn)行混沌化處理,如果海明距離均值HD大于閾值下限,D減去1.

步驟9.終止條件判斷

判斷算法是否達(dá)到最大迭代次數(shù)或者適應(yīng)度值滿足要求,如果滿足就轉(zhuǎn)步驟十.否則就轉(zhuǎn)步驟五,并重新計(jì)算海明距離均值,并根據(jù)海明距離均值重新計(jì)算新的慣性權(quán)重值;

步驟10.輸出數(shù)據(jù)

輸出全局最優(yōu)解,并求出相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值,算法結(jié)束.

圖1 函數(shù)均值收斂曲線Fig.1 Convergence curve of function mean

表1 算法在Sphere函數(shù)上實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 1 Algorithm results on the Sphere function

表2 算法在Rosenbrock函數(shù)上實(shí)驗(yàn)結(jié)果
Table 2 Algorithm results on the Rosenbrock function

F4D=30，M=10，Imax=100D=50，M=30，Imax=300D=100，M=50，Imax=10000均值方差成功率耗時(shí)/s均值方差成功率耗時(shí)/s均值方差成功率耗時(shí)/sCBPSOBPSOIBPSO760088009700268E+05308E+05368E+050．370．280．253．02．62．6414004600052300134E+06160E+06196E+060．050．020．019．19．59．776E+0499E+0495E+04706E+05886E+05871E+050．030．010．00656679690

表3 算法在Rastrigrin函數(shù)上實(shí)驗(yàn)結(jié)果
Table 3 Algorithm results on the Rastrigrin function

F2D=30，M=10，Imax=100D=50，M=30，Imax=300D=100，M=50，Imax=10000均值方差成功率耗時(shí)/s均值方差成功率耗時(shí)/s均值方差成功率耗時(shí)/sCBPSOBPSOIBPSO0．070．130．10605E?04983E?04810E?040．930．870．902．72．32．30．080．150．14677E?041083E?041035E?040．900．850．867．27．57．50．991．081．03204E?04110E?03518E?040．060．010．02635650652

表4 算法在Griewank函數(shù)上實(shí)驗(yàn)結(jié)果
Table 4 Algorithm results on the Griewank function

F3D=30，M=10，Imax=100D=50，M=30，Imax=300D=100，M=50，Imax=10000均值方差成功率耗時(shí)/s均值方差成功率耗時(shí)/s均值方差成功率耗時(shí)/sCBPSOBPSOIBPSO0．00130．00190．0022263E?07198E?07335E?070．920．860．842．82．52．60．0070．0100．009354E?07867E?07565E?070．880．830．807．37．57．90．00010．00030．0002102E?08203E?08201E?080．050．010．01665671686

4 試驗(yàn)及分析

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

二進(jìn)制粒子群算法常用的實(shí)驗(yàn)方法有基于Benchmark函數(shù)和背包問(wèn)題兩種測(cè)試方法,本文選用基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行測(cè)試,基本粒子群算法粒子初始值為實(shí)數(shù),不同于基本粒子群算法,二進(jìn)制粒子群算法初始粒子初始值為二進(jìn)制值.選用廣泛使用的Sphere、Rastrigrin、Griewank、Rosenbrock函數(shù)對(duì)算法進(jìn)行測(cè)試,其中Sphere、Rosenbrock為單峰函數(shù),其它兩個(gè)函數(shù)為復(fù)雜的多峰函數(shù).具體函數(shù)參數(shù)如表5所示.

表5 測(cè)試函數(shù)
Table 5 Test functions

函數(shù)名稱表達(dá)式極值SphereF1=∑Di=1x2i0RastrigrinF2=∑Di=1[x2i-10cos(2πxi)+10]0GriewankF3=1/400∑Di=1x2i-∏Di=1cosxii+10RosenbrockF4=∑Di=1(1-xi)2+100(xi+1-x2)20

算法的參數(shù)設(shè)置如下:Wmax=1.5,Wmin=0.5.Dmax=n/7,Dmax=4n/7,a=2,k=4.表1至表4中,D代表維度,M代表種群數(shù)量,Imax代表迭代次數(shù).本文引入Shi和Eberhart提出的慣性權(quán)重改進(jìn)算法[6]進(jìn)行對(duì)比,文中命名此算法為IBPSO.

本次實(shí)驗(yàn)采用以下評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)判斷三種算法的效率,評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)如下:

1)最優(yōu)值:算法迭代t次收斂后,適應(yīng)度函數(shù)的最小值即最優(yōu)值.

2)均值:算法執(zhí)行n次后,n個(gè)最優(yōu)值的均值.

3)方差:算法執(zhí)行n次后,n個(gè)最優(yōu)值的方差.

4)成功率:算法收斂至全局最優(yōu)解次數(shù)與實(shí)驗(yàn)次數(shù)的比值,再乘以100%.

5)耗時(shí):算法執(zhí)行n次后,收斂至全局最優(yōu)解時(shí),執(zhí)行時(shí)間的均值.

算法仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Windows10操作系統(tǒng),編程語(yǔ)言環(huán)境Python3.3.硬件環(huán)境為intel酷睿處理器i5-2250,主頻為 2.50GHz,內(nèi)存為4GB.

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

表1-表4分別為四個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)在維度為30、50、100,不同迭代次數(shù)條件下,算法執(zhí)行50次的均值、方差、耗時(shí)和成功率.對(duì)于復(fù)雜度不高的單峰函數(shù)Sphere,三種算法在不同維度下均能取得了較好的成功率,其中CBPSO算法成功率最高,均值和方差最小,BPSO和IBPSO算法相近,IBPSO算法效果稍好于BPSO算法,但效率提升并不大.

對(duì)于較難尋優(yōu)的復(fù)雜函數(shù)及多峰函數(shù),F3,F4,由表2至表4可以看出CBPSO算法均值最小,尋優(yōu)成功率高.原因是CBPSO算法根據(jù)種海明距離均值和迭代次數(shù)兩種因素協(xié)同調(diào)整慣性權(quán)重,在迭代初期能以較大的慣性權(quán)重進(jìn)行全局搜索,在迭代中后期慣性權(quán)重值能根據(jù)種群多樣性變化更加精準(zhǔn)調(diào)整,且不會(huì)下降過(guò)早造成全局搜索能力過(guò)早下降.而IBPSO算法的尋優(yōu)成功率不如BPSO,原因是IBPSO在迭代次數(shù)較少的情況下,如果權(quán)重值設(shè)置較小,權(quán)重值會(huì)根據(jù)迭代次數(shù)下降過(guò)快,在算法需要在全局搜索最優(yōu)值的時(shí)候,不能在全局進(jìn)行探索.

由于文中對(duì)Rosenbrock函數(shù)采用二進(jìn)制方式編碼進(jìn)行優(yōu)化,適應(yīng)度值呈階梯狀下降,所以均值和方差數(shù)值較大.

圖1為三種算法在維度為50的情況下,平均適應(yīng)度值的收斂曲線.可以看出在相同的參數(shù)下,IBPSO算法收斂的平均代數(shù)最少,平均收斂值最小.由于迭代過(guò)程中通過(guò)對(duì)種群多樣性和慣性權(quán)重值的動(dòng)態(tài)調(diào)整,單峰函數(shù)函數(shù)通過(guò)CBPSO算法尋優(yōu)的過(guò)程中,適應(yīng)度值變化較快,在提高收斂精度的情況下,尋優(yōu)成功率也提高.對(duì)于其他函數(shù),由于極值點(diǎn)分布在多峰的谷底,難以尋優(yōu),而CBPSO算法通過(guò)對(duì)多樣性調(diào)整,重新增加了種群多樣性,增大了慣性權(quán)重值,使算法可以跳出局部最優(yōu),重新探索全局最優(yōu)值;在粒子群不斷收斂在局部尋找最優(yōu)值時(shí),慣性權(quán)重可以動(dòng)態(tài)增減,使函數(shù)在谷底進(jìn)行更好的局部探索.改變了IBPSO算法慣性權(quán)重下降過(guò)快、不夠準(zhǔn)確的缺點(diǎn).能更加精確根據(jù)對(duì)慣性權(quán)重和粒子群多樣性進(jìn)行變化控制.

對(duì)比CBPSO、BPSO和IBPSO算法在種群數(shù)量為30,50,100時(shí)算法收斂時(shí)執(zhí)行時(shí)間,對(duì)算法執(zhí)行50次,得到算法收斂至全局最優(yōu)解的平均執(zhí)行時(shí)間,如表2所示:CBPSO算法執(zhí)行時(shí)間開(kāi)始略高于IBPSO、BPSO算法,原因是CBPSO 算法增加了種群多樣性,一定程度干擾了粒子群不斷收斂的趨勢(shì),對(duì)于海明距離均值的計(jì)算增加了算法時(shí)間復(fù)雜度.但隨著資源數(shù)量增加帶來(lái)問(wèn)題復(fù)雜度的增長(zhǎng),CBPSO算法對(duì)種群多樣性和慣性權(quán)重進(jìn)行動(dòng)態(tài)協(xié)同調(diào)整,從而使收斂更為準(zhǔn)確的優(yōu)勢(shì)展現(xiàn)出來(lái),尤其在其他兩種算法陷入局部最優(yōu)難以逃離的時(shí),CBPSO算法更為快速的收斂至最優(yōu)值,CBPSO算法在準(zhǔn)確率提高的情況下,收斂至全局最優(yōu)解的平均執(zhí)行時(shí)間也逐步優(yōu)于其他算法.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出的CBPSO算法,利用海明距離均值提升粒子群的探索能力,實(shí)現(xiàn)了協(xié)同調(diào)整慣性權(quán)重值和粒子群種群多樣性的目標(biāo).實(shí)驗(yàn)表明,本文提出的算法具有較高的精準(zhǔn)度和較好的魯棒性,CBPSO算法在迭代過(guò)程中具有較好的跳出和探索能力,從而能在一定程度上提高種群多樣性與探索能力,提高搜索的準(zhǔn)確度,獲得精確的適應(yīng)度值.但本文的多樣性調(diào)整策略,在執(zhí)行過(guò)程中存在調(diào)整次數(shù)過(guò)多導(dǎo)致時(shí)間復(fù)雜度較高的問(wèn)題,在權(quán)重調(diào)整中,函數(shù)對(duì)海明距離變化敏感度不夠靈敏的問(wèn)題,需要在以后工作中持續(xù)研究改進(jìn).

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