初始條件對(duì)網(wǎng)絡(luò)滲流變換的影響

王潤(rùn)禎，楊 春，陳 全，付傳技，高雅純，賈 嘯，李嘉陽

(1.電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 成都 611731；2.電子科技大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院 成都 611731；3.電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院 成都 610054；4.四川師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院 成都 610101)

滲流是描述非平衡態(tài)系統(tǒng)相變的基礎(chǔ)性模型[1-2]。為描述流體在多孔介質(zhì)中的流動(dòng)行為，文獻(xiàn)[3]首次引入了滲流概念。文獻(xiàn)[4-5]研究了隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型(經(jīng)典ER滲流模型)：初始系統(tǒng)由N個(gè)完全孤立的頂點(diǎn)組成，以完全隨機(jī)的方式在任選的兩頂點(diǎn)間逐步添邊。結(jié)果表明：1)序參量隨添邊密度的演化行為是連續(xù)相變過程；2)在相變點(diǎn)附近，分支尺度分布服從冪律分布；3)敏感度在相變點(diǎn)滿足著名的居里-外斯定律。

經(jīng)典ER滲流模型是研究真實(shí)系統(tǒng)(如多孔巖石[1]、森林火災(zāi)[6]、電阻網(wǎng)絡(luò)[7]、疾病傳播[8]、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)[9]等)突變行為的重要理想模型。由于其規(guī)則的簡(jiǎn)單性，對(duì)用數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理方法研究自然界中廣泛存在的相變現(xiàn)象有著重要指導(dǎo)意義。文獻(xiàn)[10]對(duì)經(jīng)典ER滲流模型進(jìn)行簡(jiǎn)單修改，發(fā)現(xiàn)了有趣“爆炸滲流”現(xiàn)象，引起了人們對(duì)網(wǎng)絡(luò)滲流的廣泛興趣，獲得了許多研究成果[11-12]。

然而，目前提出的所有滲流模型中，總假定系統(tǒng)起始于孤立頂點(diǎn)和單一的演化規(guī)則。事實(shí)上，大量真實(shí)系統(tǒng)生長(zhǎng)演化過程的初始狀態(tài)并不都是由孤立頂點(diǎn)組成的簡(jiǎn)單系統(tǒng)，同時(shí)演化規(guī)則可能呈現(xiàn)階段性變化。因此，研究滲流現(xiàn)象，應(yīng)該考慮不同的初始條件和混合演化規(guī)則。文獻(xiàn)[13-14]開始研究系統(tǒng)初始條件對(duì)網(wǎng)絡(luò)滲流的影響，在一個(gè)特定的模型上，研究了初始分支尺度分布為冪律的情況下對(duì)連續(xù)滲流和爆炸滲流的影響。結(jié)果表明：不同的初始冪律指數(shù)將對(duì)滲流的相變點(diǎn)、相變點(diǎn)處的分支尺度分布、最大分支的臨界奇異性、各種臨界指數(shù)、以及敏感度等產(chǎn)生影響。

該文進(jìn)一步研究初始分支尺度分布為指數(shù)的情況下，初始條件對(duì)經(jīng)典ER滲流過程的影響。通過解析分析和數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn): 1)滲流變換仍然屬于連續(xù)的二階相變；2)在相變點(diǎn)附近，分支尺度分布不再具有嚴(yán)格的冪律分布特征，出現(xiàn)了冪律彎曲現(xiàn)象；3)敏感度在相變點(diǎn)不再滿足居里-外斯定律。這說明網(wǎng)絡(luò)滲流的性質(zhì)，不僅取決于模型的添邊規(guī)則，而且還取決于系統(tǒng)中分支尺度的初始分布狀況。對(duì)該現(xiàn)象的深入研究有助于深刻認(rèn)識(shí)和理解復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)滲流過程。

1 模型描述

設(shè)時(shí)間t表示系統(tǒng)中的邊數(shù)與系統(tǒng)總頂點(diǎn)數(shù)的比值，s表示系統(tǒng)中連通分支的尺度，序參量S(t)表示最大連通分支尺度與系統(tǒng)總頂點(diǎn)數(shù)的比值，定義P(s,t)為t時(shí)刻從系統(tǒng)中任取的一個(gè)頂點(diǎn)屬于尺度為s連通分支的概率。在t=0時(shí)刻，假定其中a0是大于零的正常數(shù)，是初始時(shí)刻分布指數(shù)。a0與~的設(shè)置需保證系統(tǒng)中初始時(shí)刻最大分支尺度為微觀，即S～0。同時(shí)假定滲流過程的演化規(guī)則與ER隨機(jī)規(guī)則相同。

2 序參量S(t)

在熱力學(xué)極限下，系統(tǒng)中分支聚集的動(dòng)力學(xué)方程(斯莫羅科夫斯基凝聚方程[15])為：

為了對(duì)方程作解析分析，引入如下生成函數(shù)：

將式(2)代入式(1)，得到生成函數(shù)微分方程：

通過Hordgraph變換[16]，得到式(3)的解為：

其中，g(ρ)由分支尺度初始分布確定。

由此求出：

式(4)中，令t=0，有l(wèi)nz=g(ρ)，因此得：

將(5)代入(4)，得：

由式(7)得：

圖1為序參量S(t)隨時(shí)間t變化曲線的理論值與實(shí)驗(yàn)值的比較，在相變點(diǎn)附近理論曲線和數(shù)值實(shí)驗(yàn)曲線符合得較好，其中

圖1 序參量S(t)隨時(shí)間t變化曲線的理論值與實(shí)驗(yàn)值的比較

3 分支尺度分布函數(shù)P(s,t)

P(s,t)是關(guān)于t的解析函數(shù)。所以，P(s,t)在t=0的冪級(jí)數(shù)展開為：

3.1 分支尺度分布函數(shù)P(s,t)的一階近似

由演化方程式(1)得到：

將式(10)改寫并將初始分布代入得到：

特別地，當(dāng)t＜＜1時(shí)，忽略高階無窮小量，得到分支尺度分布的漸進(jìn)線性分布表達(dá)式：

3.2 分支尺度分布函數(shù)P(s,t)的二階近似

由演化方程式(1)得到：

將式(11)改寫為：

由此獲得了分支尺度分布的二階近似表達(dá)式為：

對(duì)于一般的系數(shù)An(s)，同樣可以計(jì)算出來，但考慮到t＜＜1，所以不再計(jì)算，只考慮分支尺度分布的一階或二階近似。

從式(12)可以看出，分支尺度分布并非指數(shù)分布，也非冪律分布。這和經(jīng)典ER滲流模型中分支尺度在相變點(diǎn)附近服從冪律分布相違背。在圖1的參數(shù)與系統(tǒng)規(guī)模設(shè)置下，本文對(duì)系統(tǒng)在相變點(diǎn)附近的分支尺度分布進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，其中圖2a表示系統(tǒng)初始時(shí)刻分支尺度分布，屬于指數(shù)分布；圖2b～圖2d分別表示系統(tǒng)在臨界點(diǎn)tc左鄰域、臨界點(diǎn)和右鄰域中3個(gè)特定點(diǎn)處的分支尺度分布。從圖中不難看出，分布曲線不是標(biāo)準(zhǔn)的冪律分布曲線，而是具有冪律彎曲現(xiàn)象，同時(shí)也不是指數(shù)分布曲線。

圖2 在相變點(diǎn)附近系統(tǒng)分支尺度分布曲線圖

4 敏感度χ(t)

在網(wǎng)絡(luò)滲流中，敏感度為隨機(jī)選擇一個(gè)頂點(diǎn)所屬分支尺度是平均分支尺度的概率，即P(s,t)的一階矩：

由斯莫洛科夫斯基凝聚方程，可以推出χ與S的關(guān)系為：

同時(shí)，根據(jù)式(15)和式(16)，不難發(fā)現(xiàn)敏感度在相變點(diǎn)附近不滿足居里-外斯定律：這和經(jīng)典ER滲流結(jié)果相違背。

對(duì)?ε>0，令t=tc+ε，即，由式(8)，得到顯然，這是關(guān)于ε的一個(gè)連續(xù)函數(shù)。當(dāng)ε=0時(shí)，S=0，說明初始條件為指數(shù)分布下的經(jīng)典ER滲流仍然為連續(xù)滲流。

5 結(jié)束語

網(wǎng)絡(luò)滲流的研究方法與結(jié)果可以為統(tǒng)計(jì)物理相變問題研究提供借鑒，同時(shí)，在傳播動(dòng)力學(xué)、基礎(chǔ)設(shè)施級(jí)聯(lián)失效、網(wǎng)絡(luò)同步等問題的研究中有其重要應(yīng)用。特別是近年來，人們?cè)趹?yīng)用網(wǎng)絡(luò)滲流研究人腦科學(xué)、人體基因科學(xué)以及尋找復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)等方面都取得重要進(jìn)展[17-19]。本文研究系統(tǒng)初始狀態(tài)對(duì)滲流變換的影響，不僅對(duì)深入認(rèn)識(shí)網(wǎng)絡(luò)滲流的特征具有重要的理論意義，而且也具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，如在疾病傳播過程中，不同的初始感染比例及病毒攜帶者在人群中的分布狀況對(duì)疾病的擴(kuò)散會(huì)產(chǎn)生不同的影響，對(duì)其作優(yōu)化控制，可以消除或減緩疾病傳播。

目前，研究各種初始狀態(tài)對(duì)網(wǎng)絡(luò)滲流的影響還主要停留在數(shù)值模擬層面，本文的理論分析是一個(gè)重要嘗試，如何把數(shù)值模擬與理論分析相結(jié)合，這是值得進(jìn)一步探討的問題。此外，研究初始條件對(duì)不連續(xù)滲流的影響也是今后研究的一個(gè)方向。

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