巧用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解函數(shù)相關(guān)問題

摘 要：隨著課改的不斷深入，高考對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)考查的要求逐漸加強(qiáng)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立、求最值、方程的根、不等式的證明等問題是近幾年高考中出現(xiàn)的一類熱點(diǎn)題型。本文就導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問題中一些應(yīng)用技巧從四個(gè)方面作個(gè)初步探究。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；函數(shù)問題；解題技巧

導(dǎo)數(shù)是對(duì)函數(shù)圖像和性質(zhì)的總結(jié)和拓展，是研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值，討論函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)的重要工具，它的引入為解決函數(shù)相關(guān)問題提供了新的視野。數(shù)學(xué)上的許多問題，用初等數(shù)學(xué)方法是不能解決的，或者難以解決，而通過數(shù)學(xué)模型建立函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)思想，然后用導(dǎo)數(shù)來研究其性質(zhì)，充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具性和應(yīng)用性的作用，可以輕松簡(jiǎn)捷地獲得問題的解決。

技巧一：巧用導(dǎo)數(shù)證明不等式

不等式的證明因其靈活多變、技巧性強(qiáng)著稱，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)作為研究一些不等式恒成立問題的工具，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用上的新穎性以及導(dǎo)數(shù)思想的重要性。利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，只要函數(shù)構(gòu)造恰當(dāng)，推證過程就會(huì)變得特別簡(jiǎn)潔、明快。這種方法不僅有獨(dú)特的功能，而且還可以培養(yǎng)思維能力和邏輯推理能力，提高解題效率。

【例1】 證明：當(dāng)x>1時(shí)，有l(wèi)n2（x+1）>lnx·ln（x+2）。

分析：本題不等式比較復(fù)雜，直接用初等的方法證明難度較大，但如果通過巧妙的變形，證明就會(huì)化難為易。只要把要證的不等式變形為ln（x+1）lnx>ln（x+2）ln（x+1），構(gòu)造輔助函數(shù) f（x）=ln（x+1）lnx，則只要證明f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)即可。

證明：取輔助函數(shù)f（x）=ln（x+1）lnx（x>1），

于是有f′（x）=lnxx+1-ln（x+1）xln2x=xlnx-（x+1）ln（x+1）x（x+1）ln2x。

由于1

因而在（1，+∞）內(nèi)恒有f′（x）<0，所以f（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)嚴(yán)格遞減，

于是，由1f（x+1）即ln（x+1）lnx>ln（x+2）ln（x+1），

從而有l(wèi)n2（x+1）>lnx·ln（x+2）。

技巧精髓：解題中常遇到一些不等式的證明，看似簡(jiǎn)單，但卻無從下手，很難找到切入點(diǎn)。這時(shí)不妨變換一下思維角度，從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合自己已有知識(shí)，構(gòu)造一個(gè)新的可導(dǎo)函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性或求最值，利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式，其步驟一般是：構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)——研究單調(diào)性或最值——得出不等關(guān)系——整理得出結(jié)論。

技巧二：巧用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定存在性問題或恒成立問題中的參數(shù)取值范圍是一類常見的探索性問題，此類問題涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)。解決的主要途徑是在函數(shù)思想的指引下，將含參數(shù)不等式的存在性或恒成立問題根據(jù)其不等式的結(jié)構(gòu)特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，靈活地進(jìn)行代數(shù)變形，綜合地運(yùn)用多科知識(shí)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值討論。

【例2】 已知函數(shù)f（x）=a+-x2-4x，g（x）=43x+1，若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范圍。

分析：本題考查了導(dǎo)數(shù)在求參數(shù)范圍中的應(yīng)用，通過移項(xiàng)作差構(gòu)造輔助函數(shù)作為橋梁，利用導(dǎo)函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，從而把問題巧妙解決。

解：由不等式f（x）≤g（x）得：a+-x2-4x≤43x+1即：

a≤--x2-4x+43x+1 ①

構(gòu)造函數(shù)，令h（x）=--x2-4x+43x+1，x∈[-4，0]。

要使不等式①恒成立，只要a≤h（x）min即可，

用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可以求得h（x）min=-5，故a≤-5，

∴a的取值范圍為（-∞，-5]。

技巧精髓：參數(shù)問題形式多樣，方法靈活多變，技巧性較強(qiáng)。解決這類問題，主要是運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，巧妙利用題設(shè)條件建立變量的關(guān)系式，將所求變量和另一已知變量分離，得到函數(shù)關(guān)系，通過不斷地轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡(jiǎn)單的問題，從而使這種具有函數(shù)背景的范圍問題迎刃而解。

技巧三：巧用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

方程的根就是與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)的零點(diǎn)，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的圖像，然后根據(jù)函數(shù)的圖像確定函數(shù)零點(diǎn)的情況，這就是使用導(dǎo)數(shù)的方法研究方程的根的基本思想。利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的過程中用的主要數(shù)學(xué)思想方法就是數(shù)形結(jié)合，此法在高次方程以及超越方程根的分布問題的研究中有著傳統(tǒng)工具無法比擬的優(yōu)越性。

技巧精髓：使用導(dǎo)數(shù)的方法研究方程的根的個(gè)數(shù)問題，其基本思路是構(gòu)造函數(shù)后，使用數(shù)形結(jié)合方法，討論兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。即先通過“數(shù)”的計(jì)算得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再使用“形”的直觀性確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況，從而得到方程根的分布情況，解題時(shí)應(yīng)牢記：導(dǎo)數(shù)是工具、圖形是核心、找根是目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李海富.如何利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù)問題[J].試題研究：教學(xué)論壇，2013年第4期.

[2]何偉軍.如何利用導(dǎo)數(shù)證明不等式[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2012年4月.

作者簡(jiǎn)介：

趙芯，福建省福州市，福建師大二附中。