向量在平面幾何中的應(yīng)用

摘 要：向量在中學(xué)學(xué)習(xí)和研究中占有比較重要的地位，在平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用，如何用向量的知識去解決平面幾何問題是比較重要的。向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題。實際向量在幾何類問題中的考察要多角度，多方位的思考，注重數(shù)形結(jié)合，增加思維維度。

關(guān)鍵詞：向量；平面幾何；方法；應(yīng)用

一、 證明線段平行問題

證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的充要條件：a∥ba=λb（x1y2-x2y1=0）。

【例1】 如圖1，若ABCD是平行四邊形，EF∥AB，AE與BF、DE與CF分別相交于N和M。求證：MN∥AD。

圖1

分析：本例是典型的平面幾何問題，如果利用平面幾何知識證明，很難找到突破口，而且思維過程較復(fù)雜，但用向量法處理就可使得問題變得簡單多了，關(guān)鍵在于已知向量或基向量的確定。

要證明MN∥AD，只要證明AD=λMN（λ≠0）即可。

證明：∵EF∥AB，

∴△NEF∽△NAB。

設(shè)AB=λ′EF（λ′≠1），

則ANEN=λ′，

∴AN-ENEN=AEEN=λ′-1，

∴AE=（λ′-1）EN，

同理，由于EF∥DC得DE=（λ′-1）EM，

于是AD=AE-DE=（λ′-1）EN-（λ′-1）EM=（λ′-1）（EN-EM）=（λ′-1）MN，

令λ=λ′-1，則AD=λMN（λ≠0），

∴MN∥AD。

二、 證明線段垂直問題

證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件：a⊥ba·b=0（x1x2+y1y2=0）。

【例2】 如圖2所示，O為△ABC的外心，E為三角形內(nèi)一點，滿足OE=OA+OB+OC。求證：AE⊥BC。

圖2

分析：要證AE⊥BC，即證AE·BC=0，選取OB，OC，將AE，BC表示出即可。

證明：∵ AE=OE-OA

=（OA+OB+OC）-OA

=OB+OC，

又∵BC=OC-OB，

∴AE·BC=（OC-OB）·（OC+OB）=|OC|2-|OB|2，

∵O為外心，∴|OC|2=|OB|2，

即AE·BC=0，AE⊥BC。

做題過程中，我們通常需要建立平面幾何與向量的聯(lián)系，確定已知向量或基向量，將其余所需要的向量用已知向量或基向量表示，或建立平面直角坐標(biāo)系，將所需要向量用坐標(biāo)表示出來，即用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，注意分清已知向量和未知向量，進而選擇適當(dāng)?shù)南蛄窟\算公式和定理，通過向量的運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，最后將運算結(jié)果還原成幾何關(guān)系。

三、 用向量解決問題的一般方法

用向量的方法解決平面幾何問題可以分為三步：

1. 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題。

2. 通過向量運算、研究幾何元素之間的關(guān)系。

3. 把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。

向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性。因而向量方法是幾何研究的一個有力工具。而“三步曲”給出了利用向量的代數(shù)運算研究幾何問題的基本思想。在解決平面幾何問題時，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題是關(guān)鍵。

作者簡介：

葉巧渝，重慶市，重慶育才成功學(xué)校。