含Sobolev-Hardy臨界指數(shù)的p-Laplace方程組正解的存在性

杜 剛

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 新疆 喀什 844006)

本文主要研究以下p-Laplace方程組

(1)

其中,Ω是RN中的有界光滑區(qū)域，2

含臨界增長的奇異p-Laplace方程組因其在物理、天文、反應(yīng)擴(kuò)散等領(lǐng)域的重要應(yīng)用而廣受關(guān)注[1-4].文獻(xiàn)[1]借助Nehari流形得到了方程組

多解的存在性.文獻(xiàn)[2]利用山路引理和極值原理得到了非線性項F(x,u)在次線性、超線性和共振情形下，方程組

一系列解的存在性結(jié)果.文獻(xiàn)[3]利用集中緊原理得到了非線性項F(x,u)是臨界情形時非平凡解的存在性.受上述文獻(xiàn)啟發(fā),本文利用變分法、Nehari流形和集中緊原理給出方程組(1)正解的存在性.

1 預(yù)備知識及主要引理

先給出一些記號和假設(shè).記

當(dāng)r=p*(t)時,將Aμ,t,p*(t)簡記為Aμ,t,·.Aμ,0是最佳Sobolev常數(shù)

問題1所對應(yīng)能量泛函

在Nehari流形上考慮這個問題,定義Nehari流形

其中

由文獻(xiàn)[6]得到Aμ,0在Ω=RN上的達(dá)到函數(shù)為

引理1.1設(shè)p<α+β0,0≤μ<(N-p)p/pp,則Iλ|Nλ有界.

證明由Nehari流形的定義(4),經(jīng)計算可知,對任意(u,v)∈X{0,0},存在sλ>0,使得sλ(u,v)∈Nλ,且sλ是下列方程的唯一正解

(6)

則對任意(u,v)∈X{0,0},由(6)式可得

由(7)式及Iλ的齊性，存在常數(shù)cλ>0,對于任意(u,v)∈Nλ有

‖(u,v)‖X≥cλ,

所以Iλ|Nλ有界.

引理1.2設(shè)α>1,β>1,20,則(Vε,0),(0,Vε)是Iλ在Nλ中的一個鞍點.

(g(s)Vε,sg(s)u)∈Nλ,

由(6)式知g(s)是由以下等式所定義的隱函數(shù)

‖Vε‖p+sp‖u‖p=λpgα+β-p(s)|s|β×

則

|s|β-2s(1+o(1)).

因而,當(dāng)s→0時有

|s|β(1+o(1)),

|s|β(1+o(1)).

(8)

由(6)和(8)式有

Iλ(g(s)Vε,sg(s)u)-Iλ(Vε,0)=

因此(Vε,0)是Iλ沿著一條在流形Nλ上的路徑的一個局部嚴(yán)格極大值點.同理可證(0,Vε)是Iλ在Nλ中的一個鞍點.

▽u|pdx,

則對每一個至多在可數(shù)集J中的j,有:

證明由條件可得,當(dāng)n→∞時有

c+o(1)+o(‖(un,vn)‖X),

從而

|v|p*)dx=c+o(1)+o(‖(un,vn)‖X),

因此{(lán)(un,vn)}在X中有界.故在X中un?u,vn?v;在M+中

(9)

而

由Brezis-Lieb引理

所以當(dāng)n→∞時，

即{(un,vn)}在X上強(qiáng)收斂到(u,v).

2 主要結(jié)論

本文的主要結(jié)果可歸結(jié)為以下定理.

定理2.1設(shè)α>1,β>1,20,問題(1)至少存在一組極小正能量解.

從而由引理2.3知,存在一組極小能量解(U,V)∈Nλ.由于(|U|,|V|)∈Nλ,且Iλ(U,V)=Iλ(|U|,|V|),故可假設(shè)U≥0,V≥0,由經(jīng)典的正則性結(jié)果,(U,V)是光滑的且在Ω{0}中.下證U?0且V?0若V≡0,則U≥0,U?0滿足方程

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