半群OIn(k,m)的秩

易 林， 游泰杰， 趙 平

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 貴州 貴陽 550001)

設(shè)[n]={1,2,…,n},并賦予自然序,Tn、Pn、In和Sn分別是[n]上的全變換半群、部分變換半群、對稱逆半群和對稱群.設(shè)α∈Pn,若對任意x,y∈dom(α),x≤y?xα≤yα,則稱α是保序的.設(shè)On為Tn中所有保序變換之集(不含[n]上的恒等變換),則On是Tn的子半群,稱On為[n]上的保序變換半群;設(shè)POn為Pn中所有保序變換之集(不含[n]上的恒等變換),則POn是Pn的子半群,稱POn為[n]上的部分保序變換半群;設(shè)OIn為嚴(yán)格對稱逆半群InSn中的所有保序變換之集,則OIn是InSn的逆子半群,稱OIn為保序嚴(yán)格部分一一變換半群.對任意1≤k,m≤n,令

On(k)={α∈On:(?x∈[n])x≤k?xα≤k},
POn(k)={α∈POn:(?x∈dom(α))x≤k?xα≤k},
POn(k,m)={α∈POn:(?x,y∈dom(α))x≤
k?xα≤k,y≥m?yα≥m},

則On(k)、POn(k)和POn(k,m)均是POn的子半群.

通常,一個半群S的秩定義為

rank S=min{|A|:A?S,〈A〉=S}.

變換半群秩的相關(guān)研究一直以來都是半群理論研究中的熱點之一[1-9].特別地,文獻(xiàn)[1]證明了On(=On(n))的秩是n和POn(=POn(n))的秩是2n-1;文獻(xiàn)[2]得到了半群On(k)秩是n;文獻(xiàn)[3]得到了半群POn(k)秩為2n-1;文獻(xiàn)[4]得到了半群POn(k,k+1)秩為2n-2和半群POn(k,m)(m≠k+1)秩為2n-1;文獻(xiàn)[5]研究了半群OIn的表示與秩,得到了半群OIn的秩是n.本文將考慮半群

OIn(k,m)={α∈OIn:(?x,y∈dom(α))x≤
k?xα≤k,y≥m?yα≥m}

的秩,其中1≤k≤n-1,2≤m≤n,證明了半群OIn(k,k+1)的秩為n,且半群OIn(k,m)(m≠k+1)的秩為n+2.注意到,當(dāng)k=n,m=1時,OIn(n,1)=OIn.因此,本文是對文獻(xiàn)[5]結(jié)果的推廣.

設(shè)U是半群S的任意子集,通常用E(U)表示U中所有冪等元構(gòu)成的集合.本文未定義的術(shù)語及記法參見文獻(xiàn)[10-12].

1 預(yù)備知識

為了敘述方便,在OIn(k,m)上引入下面二元關(guān)系:對任意α,β∈OIn(k,m),定義：

αR◇β?ker(α)=ker(β)，

αL◇β?im(α)=im(β)，

αJ◇β?|im(α)|=|im(β)|，

2 主要結(jié)果及證明

證明任意取

情形2若α為非恒等變換,則以下分5種子情形討論:

1)m≤br≤k.由b1

2)m≤k

(i) |{1,2,…,m-1}{a1,…,as-1}|=0且|{k+1,k+2,…,n}{ai,ai+1,…,ar}|=0.注意到

令

(ii) |{k+1,k+2,…,n}{ai,ai+1,…,ar}|=1.由r≤n-2可得存在2個不同元素x,y∈[n],使得x∈{1,2,…,k}{a1,…,ai-1},y∈{k+1,k+2,…,n}{bi,…,br}.假設(shè)au

(iii) |{k+1,k+2,…,n}{ai,ai+1,…,ar}|≥2.令

3)k≤mm(s

4)k≤br

5)br

令

G(k,m)=

引理2設(shè)1≤k≤n-1,且2≤m≤n,則

情形1k+1=m.以下分4種子情形討論:

2) 若j≤i≤m-1,易驗證

4) 若m

情形2k+1

2) 若j≤i≤k≤n-1,易驗證

3) 若k+1≤j≤i≤m-1,易驗證

4) 若k+1≤j≤m-1≤i≤n-1,易驗證

6) 若m≤j

情形3m≤k.以下分6種子情形討論:

2) 若1

3) 若1≤j≤m-1≤i

4) 若m≤j≤i≤k,易驗證

6) 若m≤j≤i

引理3設(shè)α,β∈OIn(k,m),若

(α,β)∈J◇, (α,αβ)∈J◇,

則

(αβ,β)∈L◇, (α,αβ)∈R◇.

證明對α,β∈OIn(k,m),若

(α,β)∈J◇, (α,αβ)∈J◇,

則

|im(α)|=|im(β)|=|im(αβ)|.

再由im(αβ)?im(β),ker(α)?ker(αβ)(由|im(α)|=|im(αβ)|易得dom(α)?dom(β),從而ker(α?ker(αβ))可得im(αβ)=im(β),ker(α)=ker(αβ)).因此

(αβ,β)∈L◇, (α,αβ)∈R◇.

證明假設(shè)

且ci=bi(i∈{1,2,…,n-1}),從而可得

對任意0≤r≤n-1,記

OIn,r(k,m)={α∈OIn(k,m):|im(α)|≤r},

則OIn,r(k,m)是半群OIn(k,m)的理想.顯然OIn,n-1(k,m)=OIn(k,m).

為方便起見,引入符號

其中∧,Σ是[n]的任意2個非空子集.

引理5設(shè)1≤k≤n-1,且2≤m≤n,S是OIn(k,m)任意非空子集,則:

(i) 若m=k+1,則|S|≥n;

(ii) 若m≠k+1,則|S|≥n+2.

(ii) 若m≠k+1,則分以下2種情形討論:

情形12≤k+1

其中

P1={1,2,…,k},
P2={k+1,k+2,…,m-1},
P3=[n](P1∪P2).

另一方面,將證明|S∩H◇(P1,P2)|≥1且|S∩H◇(P3,P2)|≥1.對任意α,β∈H◇(Pi,Pi)(i∈{1,2,3}),由引理3可得αR◇αβL◇β或αβ∈OIn,n-2(k,m).注意到,對任意α∈H◇(P1,P1),β∈H◇(P2,P2),則

再由引理4可得αβ即

αβH◇(P1,P2),

|S∩H◇(P1,P2)|≥1.

同理可證,對任意

α∈H◇(P3,P3),β∈H◇(P2,P2),

則

αβH◇(P3,P2),

|S∩H◇(P3,P2)|≥1.

情形22≤m≤k≤n.注意到

其中

P1={1,2,…,m-1},
P2={m,m+1,…,k},
P3=[n](P1∪P2).

證明過程類似情形1.

綜合情形1和2可得:|S|≥n+2.

定理1設(shè)1≤k≤n-1,且2≤m≤n,則

證明由推論1及引理2可得

OIn(k,m)?〈G(k,m)〉,

從而

rankOIn(k,m)≤|G(k,m)|.

易驗證

因此

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